Лабораторная. 25 ИРИТ ТУиМАРЭИ ЛР1. Методические указания к лабораторной работе по дисциплине Технологии управления и методы анализа результатов экспериментальных исследований для студентов, обучающихся по программе магистратуры по направлению подготовки
 Скачать 1.49 Mb.
|
1 , X 2 , …, X n ), реализацией которых является данный ряд, зависимы и также зависимы случайные ошибки i в случайных измерениях. Основное предположение модели случайного процесса состоит в том, что ряд наблюдений, зависящих от параметра, есть значения функции x(t), являющейся реализацией СФ X(t), распределение и характеристики которой заранее неизвестны. Пусть имеется m рядов наблюдений, проведенных в одних и тех же условиях. Их можно свести в таблицу, в которой в строках расположены реализации, а в столбцах – сечения по параметру t (табл. 4). Данными этой таблицы могут быть, например, многолетние метеорологические наблюдения за температурой воздуха в каком-нибудь пункте в определенный месяц года. Таблица 4 x(t) t t 1 t 2 … t n x 1 (t) x 1 (t 1 ) x 1 (t 2 ) … x 1 (t n ) x 2 (t) x 2 (t 1 ) x 2 (t 2 ) … x 2 (t n ) … … … … … x m (t) x m (t 1 ) x m (t 2 ) … x m (t n ) Обработка построенной таблицы может вестись как по столбцам (модель выборки, таки по строкам (модель регрессии. Полученные при различных значениях аргумента t результаты числовых характеристик в дальнейшем аппроксимируются по МНК аналитическими выражениями. Если по каким-либо причинам получение нескольких статистических рядов невозможно, то для применения модели случайного процесса требуются дополнительные предположения о его характере (например, стационарность процесса. При статистическом моделировании применяется метод статистических испытаний – метод Монте-Карло. При этом результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели процесса функционирования системы, являются реализациями случайных величин и функций, и для нахождения характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение с последующей статистической обработкой информации. 21 Основная идея метода Монте-Карло заключается в следующем. Пусть необходимо определить значение детерминированной величины y. Допустим, ее можно представить в виде детерминированной функции y = f(x 1 , x 2 , …, x N ), где x i – детерминированная переменная. Заменим переменные x 1 , x 2 , …, x N на случайные функции с известным законом распределения. Тогда значение y заменяется на случайную величину Y. Для решения задач такого вида применяется следующий алгоритм 1) по каждой из величин x 1 , x 2 , …, x N производится случайное испытание, в результате которого определяется некоторое конкретное значение случайной величины x 1i , x 2i , …, x Ni ; 2) используя найденные величины, определяется одночастное значение по вышеприведенной зависимости 3) предыдущие операции повторяются N разв результате чего определяется значений случайной величины Y; 4) на основании N значений величины Y находится ее эмпирическая функция распределения, математическое ожидание Y и дисперсия При обработке результатов моделирования приходится довольствоваться лишь некоторыми оценками моментов, полученными наконечном числе реализации При независимых наблюдениях значений случайной величины Y в качестве таких оценок используются N i i Y y N Y 1 1 , N i i Y b Y y N S 1 2 2 2 ) ( 1 1 , где Y и 2 b S – выборочное среднее и выборочная дисперсия соответственно. Знак над Y и 2 Y означает, что эти выборочные моменты используются в качестве оценок математического ожидания Y и дисперсии 2 Y 22 4 . МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 4 .1. Элементы одноконтурной САР Системы автоматического регулирования (САР) являются разновидностью систем управления. Основная функция САР состоит в поддержании выходной величины системы вблизи заданного значения. Одноконтурная САР является простейшей из всех прочих САР. По этой причине элементы моделирования систем автоматического управления целесообразно изучать на базе такой САР. Структурная схема простейшей одноконтурной САР представлена на рис. 7, где введены следующие обозначения g – задающее воздействие (устав- ка f вн – внутреннее возмущение по каналу регулирования – сигнал ошибки U – управляющее воздействие на объект управления (ОУ); y – выходной сигнал ОУ; R(s) – передаточная функция (ПФ) регулятора об) – ПФ объекта управления по управляющему воздействию. g U y f вн Рис. 7. Структурная схема одноконтурной САР Для составления модели одноконтурной САР проводится синтез, при котором выбирают закон регулирования и определяют настройки блока регулирования. Вовремя анализа САР определяют ее устойчивость и качество по переходному процессу. Процедуры анализа являются основными элементами процесса моделирования САР. Для синтеза и анализа САР с одноконтурными регуляторами разработан программный модуль SIANRG. В этом модуле реализованы различные формы математического представления ОУ и блоков регулирования) об) 23 4 .2. Модели объекта управления ОУ описывается передаточными функциями, которые характеризуют реакцию выхода системы на управляющее и возмущающее воздействия. ОУ классифицируют по числу входов, выходов и связей между входами и выходами. Различают следующие структуры ОУ: с одним входом и одним выходом (риса с двумя входами и одним выходом (рис. 8, б с одним входом, двумя выходами и параллельным соединением звеньев рис. 8, в с одним входом, двумя выходами и последовательным соединением звеньев рис. 8, гс двумя входами и двумя выходами (рис. 8, да г Рис. 8. Структурные схемы объектов управления На рисунках переменной U обозначено управляющее воздействие на ОУ, которое реализуется с помощью регулирующего органа. об) W 1 (s) W 2 (s) U y U y 1 y об) W вш (s) W 10 (s) W 0 (s) W 21 (s) W 11 (s) W 2 (s) W 12 (s) б д f вш U 1 y 1 y U в U y 1 y 2 U 2 y 2 24 В общем случае между любой парой вход-выход может существовать динамическая связь (канал, которой на структурной схеме САР ставится в соответствие динамическое звено. ПФ такого звена в общем случае имеет вид об об об ) ( ) ( ) s A s W s k e B s , (7) где А) – полином числителя B(s) – полином знаменателя s = + j – комплексная переменная преобразования Лапласа об – коэффициент передачи ОУ; об – транспортное запаздывание ОУ, с. Как следует из рис. 8, ПФ канала ОУ может иметь другие индексы, помимо об, которые использованы в формуле (7). Полиномы числителя и знаменателя могут быть представлены водной из трех форма) или 1 2 ( ) ( )( ) ( ) m A s s s s ; (9) 1 2 ( ) ( )( ) ( ) n B s s s s , а) или 1 2 ( ) ( 1)( 1) ( 1) a a a m A s T s T s T s ; (10) 1 2 ( ) ( 1)( 1) ( 1) b b b n B s T s T s T s , а) где a i , b j – коэффициенты полиномов i , j – корни этих полиномов (в общем случае – комплексные a i T , b j T – постоянные времени, с m, n – степени полиномов. В программном модуле SIANRG предусмотрена возможность ввода полиномов числителя и знаменателя в трех перечисленных формах. При переходе от одной формы к другой следует помнить о необходимости корректировки значения коэффициента передачи объекта управления. Особенности полинома знаменателя ПФ ОУ позволяют разделить ОУ на два класса 25 1) статические (b 0 0); 2) астатические (b 0 = 0). Статические ОУ называются также ОУ с самовыравниванием. Зачастую об) записывают таким образом, чтобы выполнялись соотношения или a 0 = 1; b 0 = 1. Для достижения таких соотношений необходимо вынести за скобки значения соответствующих коэффициентов и пересчитать значение k об В некоторых методах расчета САР используют упрощенную форму ПФ для статического ОУ: об об об обили для астатического ОУ об об об ) s W s k e s (12) Коэффициент передачи статического ОУ определяется по формуле об y k U в рабочей точке регулировочной характеристики ОУ y(U) и измеряется веди- ницах выходной величины на процент хода регулирующего органа (РО. Приращения y и U выбирают вблизи их номинальных значений. 4 .3. Модели регуляторов Регулятор содержит следующие функциональные элементы САР: суммирующий элемент, блок регулирования, исполнительный механизм, задатчик если уставки регулятору задает оператор вручную. Регулирующие блоки САР обеспечивают типовые законы регулирования 1) пропорциональный, или П-регулятор; 2) интегральный, или И-регулятор; 3) пропорционально-интегральный, или ПИ-регулятор; 4) пропорционально-интегрально-дифференциальный или ПИД-регулятор; 5) пропорционально-дифференциальный, или ПД-регулятор. 26 Передаточные функции динамических звеньев, соответствующих регулирующим блокам, определяются следующим отношением ( ) ( ) ( ) U s R s s , где (s) – преобразование Лапласа входного сигнала блока регулирования U(s) – преобразование Лапласа выходного сигнала этого блока. ПФ регуляторов задают с использованием двух типов параметров, что приводит к двум формам их представления форма 1 и форма 2. ПФ регуляторов в форме 1 имеют следующий вид для П-регулятора R(s) = k p ; (13) для ПИ-регулятора R(s) = И 1 T s ; (14) для ПИД-регулятора R(s) = k p Д И 1 1 T s T s ; (15) или 2 p ИДИ pИ( ) k T T s k T s k R s T s ; (а) для И-регулятора R(s) = k p1 1 s ; (16) для ПД-регулятора R(s) = k p Д. (17) В этих формулах использованы следующие параметры k p – коэффициент передачи регулятора в процентах хода РО на единицу регулируемой величины так как выходная величина регулятора – ход исполнительного механизма – обычно равна входной величине ОУ – ходу регулирующего органа И – постоянная интегрирования (время изодрома, с Д – постоянная дифференцирования (время предварения, с. Для И-регулятора И = 1, а коэффициент передачи k p1 измеряется в процентах хода РО на единицу регулируемой величины за секунду. В серийно выпускаемых регулирующих блоках перечисленные параметры передаточных функций необходимо настраивать в зависимости от динамических свойств ОУ. По этой причине такие параметры называются настройками регуляторов. 27 Сигнал на выходе ПИД-регулятора описывается формулой p p p Д И 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t k d t U t k t d k T T dt ПФ регуляторов в форме 2 (в параметрах) имеют следующий вид для П-регулятора R(s) = С (18) для ПИ-регулятора R(s) = С + С (19) для ПИД-регулятора R(s) = С + С +С, (20) или 2 2 1 0 ( ) C s C s C R s s (а) В этих формулах использованы следующие параметры С – коэффициент пропорциональной составляющей С – коэффициент интегральной составляющей С – коэффициент дифференциальной составляющей. Перечисленные коэффициенты являются настройками регулятора. Для параметров сигнал на выходе ПИД-регулятора связан с сигналом ошибки следующим выражением 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) t d t U t C t C d C dt Настройки разных типов взаимосвязаны формулами С = k p ; С = р И k T ; С = k p T Д 1 И 0 ; . C T C 2 Д) В программном модуле ПФ ПД- и ПИД-регуляторов рассчитываются с физически реализуемыми дифференциальными составляющими Д Д 1 0, 25 1 0, 25 T s C C s T s C s C (22) вместо физически нереализуемых составляющих T Д s и С. Правая часть равенства (22) выведена на основании соотношения (21) для Д. С учетом указанных составляющих ПФ ПИД-регулятора имеет вид 28 2 p И Д p Д И p 2 И Д И 1, 25 0, 25 ( ) 0, 25 k T T s k T T s k R s T T s T s (23) или 2 2 1 2 0 2 1 0 1 2 2 1 1, 25 0, 25 ( ) 0, 25 C C s C C C s C C R s C s C s (24) Для ПД-регулятора с учетом (22) можно найти следующие ПФ 2 p Д p Д 1, 25 ( ) 0, 25 1 k T s k R s T s или 2 1 2 1 2 1 1, 25 ( ) 0, 25 C C s C R s C Формулы (23), (24) были использованы в программном модуле, формирующем коэффициенты передаточных функций регулирующих блоков по введенным настройкам. 4.4. Показатели качества САР Целью моделирования САР является создание системы, удовлетворяющей определенным требованиям, которые формулируются в виде качественных показателей. Качество функционирования САР определяется по переходной характеристике (ПХ) h(t) – реакции системы на типовое воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t) – или некоторыми параметрами ПФ замкнутой системы. Ниже перечислены показатели качества, применяемые при моделировании САР. Обозначения, используемые в формулах, пояснены на рис. 9 и 10. Максимальное динамическое отклонение по управлению в единицах регулируемой величины уст (25) Максимальное динамическое отклонение по возмущению в единицах регулируемой величины 1 f y h (26) Перерегулирование в процентах по управлению уст уст (27) 29 Перерегулирование в процентах по возмущению 2 1 100 f f y y h h (28) Для апериодического процесса максимальное динамическое отклонение и перерегулирование равно нулю. а б Рис. 9. Переходные процессы по управлению а – колебательный процесс б – апериодический процессу ст ст t 2 ст уста б Рис. 10. Переходные процессы по возмущению а – колебательный процесс б – апериодический процесс Время регулирования t p в секундах, определяется при условии, когда сигнал зашел и больше не выходит из трубки, относительно установившегося значения, где = 5 %. Статическая ошибка ст в единицах регулируемой величины. Частота колебаний = Т. Время достижения первого максимума t max t f y h 1 f y h 2 f y h 3 f y h p t ст f y h ст f y h 1 31 Степень колебательности m , где и – вещественная и мнимая части корней характеристического уравнения замкнутой САР, наиболее близко расположенных к мнимой оси. Показатель колебательности max р, где A max ( p ) – максимум АЧХ (амплитудно-частотной характеристики) замкнутой САР на резонансной p или рабочей частоте A(0) – значение этой характеристики при нулевой частоте. Интегральный квадратичный критерий качества 2 0 ( ) I t dt , (29) где (t) – динамическая составляющая ошибки (без статической ошибки ст. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе A 0 , , которые определяются по АФЧХ разомкнутой САР, не нашли применения при проектировании САР в промышленности. Степень затухания переходного процесса по возмущению 1 3 1 f f y y f y h h h (30) Первые шесть оценок относятся к прямым, так как они определяются непосредственно по ПХ. Остальные показатели являются косвенными оценками качества. В ряде случаев качество САР задается типовым переходным процессом. Рассматривают три типовые ПХ: 1) апериодическая 2) см перерегулированием; 3) с минимумом интегрального квадратичного критерия 2 0 min min ( ) I t dt (31) |