Лабораторная. 25 ИРИТ ТУиМАРЭИ ЛР1. Методические указания к лабораторной работе по дисциплине Технологии управления и методы анализа результатов экспериментальных исследований для студентов, обучающихся по программе магистратуры по направлению подготовки
 Скачать 1.49 Mb.
|
|
Министерство образования и науки Российской Федерации О.Г. Трофимова СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ВАРИАЦИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ НАСТРОЕК МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ) РЕГУЛЯТОРА Электронное текстовое издание Методические указания к лабораторной работе по дисциплине Технологии управления и методы анализа результатов экспериментальных исследований для студентов, обучающихся по программе магистратуры по направлению подготовки 220400 – Управление в технических системах Подготовлено кафедрой автоматики Сформулированы цели лабораторной работы 1. Рассмотрены модели систем автоматического регулирования (САР). Дано описание работы программного модуля для синтеза и анализа САР. Представлены задания для анализа САР при вариации вероятностных настроек (математического ожидания) регулятора Екатеринбург 2013 2 Цель лабораторной работы № 1 – провести стохастическое моделирование САР, те. провести синтез, получив оптимальные настройки регуляторов, а также провести анализ вероятностных характеристик показателей качества к случайным вариациям настроек (математического ожидания) регулятора. 1. ПЛАНИРОВАНИЕ ИМИТАЦИОННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ Процесс имитационного моделирования (создание модели и алгоритма функционирования реального объекта, создание программы и проведение вычислительных экспериментов) является итеративным. После построения компьютерной модели, ее идентификации, верификации, проверки на адекватность, она является готовым инструментом исследования поставленной цели и можно переходить к последнему этапу имитационного моделирования – проведению имитационного эксперимента. Эксперименты делятся по цели исследования на два основных типа де- скрипторные и оптимизационные. Цель дескрипторных экспериментов – исследования объекта. Цель оптимизационных экспериментов – выявление наилучших стратегий управления исходным объектом. Результаты имитационных экспериментов должны быть обработаны специальными методами и представлены пользователю в удобном для него виде. Проведение имитационного эксперимента включает в себя планирование эксперимента, расчеты по модели и обработку результатов эксперимента. При планировании эксперимента решается несколько задач при каких внешних воздействиях проводить расчеты, сколько расчетов проводить для того, чтобы быть уверенным в достоверности полученного решения и т. д. Цель эксперимента – установить связь между воздействиями на модель и ее откликом на это воздействие. На этом этапе модель можно представить в виде y = f(x), где x – воздействие на модель или фактору результат воздействия или реакция f – поверхность реакции. В общем случае хи уесть вектор-функции, зависящие от времени. Любой имитационный эксперимент в этом случае может быть направлен либо на исследование поверхности реакции (задачи прогнозирования, например, либо на поиск максимума или минимума поверхности реакции в некотором пространстве факторов (задачи оптимального управления объектом и т. п. Факторы могут быть либо количественными, либо качественными. Рассмотрим только факторы первого типа. Пусть для простоты поверхность реакции описывается функцией, зависящей от двух количественных факторов f = f(x 1 , причем x 1 и могут принимать дискретные фиксированные значения из областей и X 2 . Значения фактора назовем уровнем, а совокупность всех возможных пар (x 1 , x 2 )– полным факторным планом (рис. 1). Чем больше точек плана будет рассмотрено, те. чем полнее построен план, тем точнее представления о виде поверхности реакции. Однако, несмотря на это, применение полных факторных планов ограничено и возможно лишь в случае незначительного числа факторов и их уровней. Более часто используются неполные факторные планы, требующие меньшего числа точек плана и не приводящие при этом к ощутимым потерям информации о поверхности реакции. Здесь в основном исследуются несколько главных факторов, а неполные факторные планы применяются для отсеивания несущественных факторов. Процедура отсеивания состоит в последовательном построении неполных планов. Рассмотрим, например, двухфакторную модель f = f(x 1 , где факторы x 1 , x 2 имеют не более 2 уровней каждый. Сначала имитационный эксперимент проводится для начальных значений этих факторов ( 0 0 1 2 , x x ), аза- тем задается некоторое фиксированное изменение каждого уровня 1 и 2 , где 0 1 1 x n , 0 2 2 x n , n – число уровней для хи обычно одинаковое, и строятся неполные факторные планы. Реализация этих планов дает четыре точки поверхности реакции 1 1 f , 1 1 f , 2 2 f , 2 2 f , по которым можно судить о степени влияния каждого фактора. Так, если 4 | 1 1 f – 1 1 f | > | 2 2 f – 2 2 f |, то х 1 является более существенным фактором, и наоборот. Рис. 1. Полный факторный план Еще одна типичная задача планирования эксперимента состоит в аппроксимации истинной поверхности реакции некоторой функцией φ, зависящей от тех же факторов. Как правило, удается построить линейную зависимость 0 1 k i i i b x b , где b i – коэффициенты линейного многочлена. Пусть, например, количество факторов k = 2. Тогда для построения полиномах+ требуется проведение имитационного эксперимента по полному двухфактор- ному плану с уровнями 0 1 1 x , 0 2 2 x В случае неудовлетворительной аппроксимации есть возможность строить полиномы более высокой степени. Например, полином второй степени φ= b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 11 2 1 x + b 12 х 1 х 2 + b 22 2 2 x + b 112 2 1 x х + х 2 2 x + b 1122 2 1 x 2 Его коэффициенты находятся на основе новых экспериментов за счет дополнительных уровней. Процесс продолжается до тех пор, пока аппроксимация не даст удовлетворительных результатов. у Поверхность реакции (х 1 ,х 2 ) у = + 0 0 1 x х 1 Точки планах х 3 4 Уровни х х х 5 Описанный метод называется методом поверхности реакции. Более узкой является проблема поиска экстремумов поверхности реакции, для решения которой используются известные методы оптимизации на заданном множестве значений факторов. Среди них отметим метод наискорейшего спуска (или подъема, который состоит в исследовании поверхности реакции в окрестности некоторой точки с помощью линейных аппроксимирующих по- верхностей-гиперплоскостей. Такие гиперплоскости обычно строятся с помощью простых экспериментов, как правило, однофакторных (рис. 2). Рис. 1.2. Однофакторный эксперимент – начальные изменения * – дополнительные изменения По построенной гиперплоскости определяется направление движения к точке оптимума, а затем в этом направлении делается небольшой шаг. Далее процедура повторяется. Метод наискорейшего спуска не гарантирует минимума. Если допустить, что поверхность реакции имеет несколько локальных минимумов, то целесообразно несколько раз применять этот метод, отталкиваясь от сильно отличающихся начальных условий. Заметим, что линейная аппроксимация вблизи точки оптимума оказывается неэффективной. В окрестности точки оптимума, где поверхность реакции x 1 0 – δ 1 x 1 0 x 1 0 + δ 1 x 1 x 2 x 2 0 – δ 2 x 2 0 x 2 0 + δ 2 6 почти стационарна, используется аппроксимация более высокого порядка, например квадратичным полиномом. Все перечисленные методы планирования эксперимента относятся к детерминированным моделям. Для стохастических моделей однократная реализация построенного плана не позволяет получить желаемую информацию об изученной поверхности реакции. В этом случае необходимо несколько раз реализовывать один и тот же план с различными начальными состояниями генератора случайных чисел (каждая реализация называется репликой. Определение объема выборки (количества реплик) в имитационном эксперименте представляет собой очень трудную, но важную задачу. С одной стороны, увеличение объема ведет к увеличению затрат машинного времени и тем самым денежных средств. С другой стороны, чем больше количество реплик, тем более достоверна информация, полученная с помощью модели, и меньше возможные потери, обусловленные использованием недостоверной информации. Минимизация суммарных потерь всякий раз осуществляется с помощью методов статистического анализа и методов оптимизации. 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ФОРМАЛИЗОВАННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ Статистические методы формализованного представления систем сформировались как самостоятельное научное направление в середине прошлого века (хотя возникли значительно раньше. Основу их составляет отображение явлений и процессов с помощью случайных (стохастических) событий и их по- ведений, которые описываются соответствующими вероятностными (статистическими) характеристиками и статистическими закономерностями. Термин стохастические уточняет понятие случайный, которое в обыденном смысле принято связывать с отсутствием причин появления событий, с появлением не только повторяющихся и подчиняющихся каким-то закономерностям, но и единичных событий. Процессы же, отображаемые статистическими закономерностями, должны быть жестко связаны с заранее заданными, 7 определенными причинами, а случайность означает, что они могут появиться или не появиться при наличии заданного комплекса причин. Статистические отображения системы в общем случае можно представить в виде размытой точки (размытой области) в мерном пространстве, в которую переводит систему (ее учитываемые в модели свойства) оператор Ф. Размытую точку следует понимать как некоторую область, характеризующую движение системы (ее поведение при этом границы области заданы сне- которой вероятностью р (размыты) и движение точки описывается некоторой случайной функцией. Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, можно получить срез по линии а – b, смысл которого – воздействие данного параметра на поведение системы, что можно описать статистическим распределением поэтому параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т. д. картины статистического распределения. Статистические закономерности можно представить или в виде дискретных случайных величини их вероятностей, или в виде непрерывных зависимостей распределения событий, процессов. Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины X и их вероятностями р = р) = Р = x i ) называют законом распределения и записывают в виде ряда (табл. 1) либо представляют в виде зависимостей F(x) (риса) или р) = если иначе 0, , если , (рис. 3, в. При этом x x i i x p x F ) ( ) ( (1) Таблицах х х х х n р(х) р 1 р 2 … р р 8 Рис. 3. Законы распределения для дискретных событий (а, в) и непрерывных случайных величин (б, г) Для непрерывных случайных величин (процессов) закон распределения представляют (в соответствии с дискретными законами) либо в виде функции распределения интегральный закон распределения – рис. 3, б, либо в виде плотности вероятностей дифференциальный закон распределения – рис. 3, г. В этом случае p(x) = dF(x)/dx и ΔF(x) = p(x)Δx, где p(x) – вероятность попадания случайных событий в интервал от x до x + Δx. Для полной группы несовместных событий имеет место условие нормирования. Сумма их вероятностей равна 1. Для функциональных характеристик это условие имеет вида) На практике применяют тот или иной вид зависимостей, приведенных на рис. 3, более подходящий для соответствующих приложений. а F(x) x 1 x 2 x j … x б F(x) x 1 x 2 x j … x в р) x 1 x 2 x j … x гр Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы. Однако получение закона (даже одномерного) или определение изменений этого закона при прохождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде случаев пользуются не распределением, а его характеристиками – начальными центральными моментами. Наибольшее применение получили – й начальный момент – математическое ожидание или среднее значение случайной величины n i i i x p x x 1 – для дискретных величин dx x p x x ) ( – для непрерывных величин (3) – й центральный момент – дисперсия случайной величины n i i x i x p x 1 2 2 ) ( – для дискретных величин dx x p x x i x ) ( ) ( 2 2 – для непрерывных величин. (4) Если дискретная случайная величина X задана некоторой выборкой {x 1 , …, x n }, то несмещенная оценка дисперсии равна n i i x i x p x n 1 2 2 ) ( 1 1 (а) На практике иногда используется не дисперсия 2 x , а среднее квадратиче- ское отклонение Связь между двумя случайными величинами в общем случае характеризуется ковариацией – моментом связи cov(x, y) = xy = Мху Ковариация нормированных отклонений – коэффициент корреляции y x y x xy y x M y x r ) )( ( ) , cov( , (6) где x' = (x – x )/σ x , y' = (y – y )/σ y – нормированные отклонения σ x , σ y – средние квадратические отклонения. В случае, когда n i i i y x 1 , является выборкой, коэффициент корреляции вычисляется по формуле n i y x y i x i xy y x n r 1 ) )( ( 1 а) Практическое применение получили в основном одномерные распределения, что связано со сложностью получения статистических закономерностей и доказательства адекватностиприменения двухмерных величин для конкретных приложений. При этом, как правило, используется понятие выборки Под выборкой понимается часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупности и распространяемые на нее с какой-то вероятностью. Для того чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокупность, выборка должна быть представительной репрезентативной, те. обладать определенными качественными и количественными характеристиками. Качественные характеристики связаны с содержательным аспектом выборки, тес определением, являются ли элементы, входящие в выборку, элементами исследуемой совокупности, правильно ли отобраны эти элементы сточки зрения цели исследования (с этой точки зрения выборка может быть случайной, направленной или смешанной. Количественные характеристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточного для того, чтобына основе ее исследования можно было делать выводы о совокупности в целом. В большинстве практических случаев вопрос о количественных характеристиках выборки является предметом специального исследования. 11 На базе статистических представлений развивается ряд математических теорий математическая статистика, объединяющая различные методы статистического анализа (регрессионный, дисперсионный, корреляционный, факторный и т. п теория статистических испытаний основой которой является метод Монте-Карло, а развитием – теория статистического имитационного моделирования теория выдвижения и проверки статистических гипотез возникшая для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии и базирующаяся на общей теории статистических решающих функций А. Вальда. Частным случаем теории выдвижения гипотез, важным для теории систем, является бай- есовский подход к исследованию процессов передачи информации в процессах общения, обучения и других ситуациях. В организационных системах используется теория потенциальной помехоустойчивости начала которой положены в работах В.А. Котельникова. Последние два направления обобщает теория статистических решений в рамках которой, в свою очередь, возник ряд интересных и полезных для практики направлений. Перечисленные направления в большинстве своем носят теоретико- прикладной характер и возникли из потребностей практики. Однако есть и ряд дисциплин, которые носят более выраженный прикладной характер. В их числе статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, экономическая статистика, теория массового обслуживания, а также развившиеся из направлений, возникших на базе аналитических представлений, стохастическое программирование новые разделы теории игр и т. п. Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при применении статистических представлений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями. Это позволяет, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования получать статистические закономерности и распространятьих на поведение системы в целом. 12 Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения статистических закономерностей. Если жене удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к неверным результатам. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Вероятностные (стохастические) модели описывают ситуации, в которых похожие причины приводят к различным следствиям, те. имеет место элемент случайности. Для построения вероятностной модели необходимо знать, какие величины можно считать случайными, а какие – неслучайными какой характер имеют законы распределения случайных величин и т. д. Вероятностные модели можно разделить на две группы (рис. 4) [1]: математическая модель, в которой можно точно указать законы распределения случайных величин, является теоретико-вероятностной; математическая модель, в которой заранее нельзя указать законы распределения случайных величин, является статистической. По степени сложности вероятностные модели делятся натри уровня. Простейшие теоретико-вероятностные модели первого уровня – случайное событие (СС) и случайная величина (СВ, являющиеся соответственно качественной и количественной характеристиками проведенного испытания. СС может быть простейшим (элементарным) или сложным (выраженным через элементарные. Для описания вероятностных свойств простейшегослу- чайного события А используется формула классической вероятности n m A P ) ( , где т – число случаев из пространства элементарных событий, благоприятных событию А n – общее число случаев в пространстве элементарных событий. 13 Рис. 4. Классификация вероятностных моделей Геометрическая форма классической формулы имеет вид ( ) ( ) , ( ) Α Ρ где А) – мера области благоприятных случаев А μ(D) – мера области всех случаев D. При этом А D. Для расчета вероятности используются теоремы сложения и умножения вероятностей Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А В Р(А В) = Р(А/В) Р(В), где Р(А/В) – условная вероятность события А при условии, что событие В произошло. Пусть n i i H 1 – полная несовместная группа событий (гипотез, тогда для определения вероятности сложных событий используется формула полной вероятности 1 ( ) ( ) ( ), n i i i Ρ А H Ρ A где Р(Н i ) – вероятность гипотезы Н РАН) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы Н i Модель выборки Вероятностная модель Статистическая Теоретико-вероятностная Модель регрессии Модель случайного процесса Случайное событие Случайная величина Многомерная случайная величина Случайная функция й уровень й уровень й уровень 14 СС и СВ связаны между собой через пространство элементарных событий. При этом вероятностные свойства СВ дискретного типа описываются функцией дискретного аргумента ) ( i i x f p , где x i – реализация СВ Х p i – соответствующая ей вероятность, а вероятностные свойства СВ непрерывного типа описываются функцией f(x) (плотностью распределения, определенной на всей числовой оси, неотрицательной и нормированной на области определения. Так, например, в биномиальном законе распределения, реализуемом в схеме независимых испытаний, пространство элементарных событий дискретной СВ Х есть конечное множество целых чисел, включая 0, те, а вероятности значений рассчитываются по формуле Бернулли m n m m n q p C n X P ) ( , где n m , 0 ; m n C – число сочетаний из n пор вероятность появления события в отдельном испытании q = 1 – p. Нормальный закон распределения – один из основных для непрерывной СВ X задается плотностью распределения 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( x x x x e x f , определенной для всех и удовлетворяющей условиями Здесь хи х – соответственно математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение СВ Х Отметим, что эти числовые характеристики являются основными для одномерной СВ Х имеющей любой закон распределения. Универсальной формой закона распределения, имеющей место как для дискретной, таки для непрерывной СВ, является функция распределения F(x) = P{X < x}. 15 Второй уровень теоретико-вероятностной модели, обобщающей модель одномерной СВ, связан с системой случайных величин (многомерной СВ, вероятностные свойства которой не исчерпываются свойствами отдельных величин, образующих систему, а описываются также зависимостью между ними. Так, для двумерной непрерывной СВ (X, Y) должны рассматриваться частные плотности распределения f 1 (x) и f 2 (y), а также совместная плотность f(x, у. При этом dy y x f x f ) , ( ) ( 1 ; 2 ( ) ( , ) f y f x y dx . Однако f(x, y) не всегда может быть определена через f 1 (x) и f 2 (y). Для мерной СВ (X 1 , X 2 , …, X n ) функции распределения имеют гораздо более громоздкий вид, поэтому на модельном уровне при описании объекта обычно используют набор числовых характеристик. Для двумерной случайной величины (X, Y) – это x , y , x , y , r xy ; для мерной случайной величины – это n x x x ,..., , 2 1 , n x x x ,..., , 2 1 , а также корреляционная матрица r ij , где коэффициент корреляции между случайными величинами X i и Обобщением модели мерной СВ служит модель третьего уровня – случайная функция (СФ) X(t), где t – вещественный параметр. Графически СФ представима в виде набора реализаций x i (t), где каждая x i (t) – неслучайная функция ( n i , 1 ) (рис. 5). При фиксированном t = t 0 имеем сечение СФ X(t 0 ), представляющее собой одномерную СВ. Таким образом, полное вероятностное описание СФ связано с заданием бесконечномерного закона распределения всех ее сечений. Обычно на модельном уровне ограничиваются рассмотрением СФ в рамках корреляционной теории, те. рассмотрением ее математического ожидания 16 x (t) и корреляционной функции K x (t 1 , t 2 ), являющихся неслучайными функциями соответственно одного и двух аргументов. Рис. 5. Случайная функция X(t) в виде набора реализации x i (t) Важным частным случаем модели СФ является модель стационарной СФ, для которой 1 2 ( ) const; ( , ) ( ), x x x t K t где = t 1 – Каждому из уровней теоретико-вероятностных моделей соответствует своя статистическая модель. Поскольку математическая статистика занимается обработкой информации при наличии неопределенности, тов основу построения статистической модели должны быть положены некоторые допущения. В зависимости от их математической сути различают три основные модели математической статистики 1) модель выборки 2) модель регрессии 3) модель случайного процесса. Каждая из них связана с определенным исходным материалом и решает свои специфические задачи. Однако все они имеют дело с большим объемом информации и достаточно трудоемкими методами ее обработки. Поэтому реа- Сечение СФ x n (t) x 3 (t) x 2 (t) x 1 (t) X(t) t = t n t 17 лизация статистических моделей осуществляется, как правило, на компьютере, для которых разработаны стандартные программы определения статистических законов распределения, вычисления статистических характеристик СВ, проверки гипотез по критериям согласия, расчета коэффициентов регрессии, статистических характеристик случайных процессов и т. д. В некоторых ситуациях получение исходных статистических данных путем специально организованных экспериментов невозможно. В этом случае необходимый статистический материал может быть получен с помощью специально созданных математических моделей. Их основу составляет статистическое моделирование на компьютере СС и СВ. Такой метод моделирования называется методом статистических испытаний метод Монте-Карло). Простейшей статистической моделью является одномерная модель выборки, в которой предполагается, что исходный статистический материал есть реализация одной СВ Х с законом распределения F(x). Основой для построения модели служит простая случайная выборка, представленная в виде ряда наблюдений (табл. 2). Таблица 2 i 1 2 … n x i x 1 x 2 … Например, при измерении расстояния до цели каким-либо прибором за счет чисто случайных причин результат изменяется от опыта копыту. Реализация модели связана с построением эмпирических (статистических) законов распределения f*(x) – статистическая плотность распределения F*(x) – статистическая функция распределения, аналогичная теоретическим законам для СВ Х. Графическим представлением f*(x) является гистограмма, a F*(x) – кривая накопленных частот. Найденные законы содержат элемент случайности, так как они определены по конечному числу наблюдений. Поэтому для уточнения модели следует провести сглаживание статистического ряда, те. выбрать теоретический закон 18 распределения, наилучшим образом описывающий исходный материал. Для этого используются критерии согласия Пирсона, Колмогорова и др. В некоторых ситуациях ограничиваются получением точечных и интервальных оценок основных числовых характеристики Если результаты наблюдений зависят от некоторого параметра и изменяются от измерения к измерению не только за счет случайных причинно и за счет существенных, то модель выборки неприменима к данному ряду наблюдений. В этом случае используют модель регрессии которая предполагает, что исходный статистический материал представляет собой реализации СВ, изменяющейся в зависимости от какого-либо параметра (времени, пространственной координаты и т. д. Исходный ряд наблюдений имеет вид, приведенный в табл. 3, где t n – значение параметра (i = 1, ..., n); x n – значение СВ, соответствующее данному значению параметра. Например, изменение температуры воздуха в данной точке в данный момент времени зависит от высоты. Таблица 3 t i t 1 t 2 … t n x i x 1 x 2 … Основным предположением модели регрессии, сводящим ее к рассмотренной ранее модели выборки, является следующее реализации СВ могут быть представлены в виде суммы x i = f(t i ) + i , где f(t i ) – неслучайная функция аргумента t; i – ошибки, содержащиеся в выборке. Предполагается,что ряд наблюдений {x 1 , x 2 , …, x n } является реализацией системы независимых СВ (X 1 , X 2 , …, X n ), частные распределения которых одинаковы, за исключением математического ожидания, для которого ( ). i x i f t 19 Функция f(t) называется сглаживающей, а ее график – линией регрессии. Основной задачей модели регрессии является определение линии регрессии f(t) и оценка точности результата (рис. 6). Рис. 6. Линия регрессии f(t) и оценка точности результата Сглаживающую функцию обычно задают параметрически f(b 1 , b 2 , …, т t), где вид функции известен и вычислению подлежат только параметры, т (m < n). Дляих определения используется стандартная процедура метода наименьших квадратов (МНК), основанная на соотношении 2 2 1 2 1 1 [ ( , , ..., , )] min n n i m i i i x f b b b t |