4809872 вар 7. Решение. Событие а на обеих костях появилось одинаковое число очков. Используем классическое определение вероятности

Название	Решение. Событие а на обеих костях появилось одинаковое число очков. Используем классическое определение вероятности
Дата	21.05.2022
Размер	291.5 Kb.
Формат файла
Имя файла	4809872 вар 7.doc
Тип	Решение #541466

1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на обеих костях появится одинаковое число очков.

Решение.

Событие А – на обеих костях появилось одинаковое число очков.

Используем классическое определение вероятности

.

Всего при бросании двух кубиков возможно

комбинаций выпадения очков.

Найдем число благоприятных исходов: 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6,

т.е.

- число выпадений одинакового количества очков.

Тогда получим:

Ответ:

.

2. Вероятность того, что некоторое изделие имеется в первом магазине 0,5; во втором – 0,7; в третьем – 0,4. Какова вероятность, что изделие найдется:

а. хотя бы в одном магазине;

б. только в одном магазине.

Решение.

Пусть событие

- изделие найдется в

-м магазине,

,

тогда

- в

-м магазине изделия нет.

По условию, вероятности того, что изделие найдется в 1-ом, 2-ом и 3-ем магазине соответственно, равны:

.

Тогда вероятности того, что в 1-ом, 2-ом и 3-ем магазине соответственно изделия нет, равна:

.

а. Событие А – изделие найдется хотя бы в одном магазине.

Так как наличие изделия в одном магазине не зависит от его наличия в другом магазине, т.е.

независимы, то используем формулу вероятности хотя бы одного события:

.

Тогда искомая вероятность равна:

б. Событие В – изделие найдется только в одном магазине.

Используя предыдущие обозначения получим:

Так как наличие изделия в одном магазине не зависит от его наличия в другом магазине, т.е.

независимы, а события-слагаемые несовместны, то искомая вероятность равна:

Ответ: а. 0,91; б. 0,36.

3. У сборщика имеется 20 деталей: 10 – I сорта, 6 - II сорта, 4 - III сорта. Наудачу взяты 3 детали. Найти вероятность, что все они III сорта.

Решение.

Событие А – все взятые детали III сорта.

По классическому определению вероятности,

,

где

- число способов, которыми из 20 деталей можно выбрать 3;

- число способов, которыми из 4 деталей III сорта можно выбрать 3.

Используя формулу сочетаний

, получим:

Ответ:

.

4. Вероятность изготовления детали отличного качества равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей 9 отличного качества.

Решение.

Событие А – среди взятых наугад 10 деталей 9 отличного качества.

Так как число деталей невелико, то используем формулу Бернулли:

, где

.

По условию, число деталей

, вероятность изготовления детали отличного качества равна

, тогда получим:

Ответ: 0,387.

5. Составить закон распределения случайной величины

– числа попаданий мячом в корзину при 3-х бросаниях, если вероятность попадания при одном броске 0,3. Найти

, функцию распределения

.

Решение.

Случайная величина

– число попаданий мячом в корзину при 3-х бросаниях - может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Вычислим значения этой случайной величины, используя формулу Бернулли:

.

Вероятность попадания при одном броске

, тогда получим:

Тогда закон распределения имеет вид:

	0	1	2	3
	0,343	0,441	0,189	0,027

Контроль:

.

Распределение, при котором значения СВ

вычисляются по формуле Бернулли, называется биномиальным.

Математическое ожидание биномиального распределения находится по формуле:

.

Дисперсия биномиального распределения находится по формуле:

.

Среднее квадратическое отклонение:

.

4) Найдем интегральную функцию распределения:

.

Если

, то

, так как значений, меньших 0 СВ

не принимает.

Если

, то

Если

, то

Если

, то

Если

, то

, так как событие

достоверно.

Таким образом, функция распределения имеет вид:

График функции распределения имеет вид:

6. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчиняются нормальному закону с

см,

см². Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Решение.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превысит

, равна:

.

По условию,

см,

см²,

тогда

см,

см.

Подставляя данные значения в формулу, получим:

Т.е. автомат изготавливает

годных деталей.

Ответ: 59,74%.

7. На склад магазина поступают изделия, из которых 80% высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 наудачу взятых изделий не менее 65 высшего сорта.

Решение.

Событие А – из 100 наудачу взятых изделий не менее 65 высшего сорта.

Так как число изделий велико, то используем интегральную теорему Лапласа:

По условию, число изделий

, вероятность появления изделия высшего сорта равна

,

тогда

.

Подставив найденные значения и ,

в формулу, получим:

Ответ: 0,9999.

8. По данной выборке найти несмещенные оценки средней генеральной, генеральной дисперсии и генерального среднего квадратического отклонения. Найти доверительный интервал для средней генеральной с указанной доверительной вероятностью

	12	15	20	22	25	30	31
	3	5	17	15	6	3	1

Решение.

Найдем объем выборки:

.

Для вычисления средней выборочной и дисперсии составим таблицу.


12	3	36	432
15	5	75	1125
20	17	340	6800
22	15	330	7260
25	6	150	3750
30	3	90	2700
31	1	31	961
	50	1052	23028

Найдем выборочную среднюю:

Найдем выборочную дисперсию:

Точечная несмещенная оценка средней генеральной - выборочная средняя:

Точечная оценка генеральной дисперсии – исправленное среднее квадратическое отклонение:

Точечная оценка генерального среднего квадратического отклонения – исправленное среднее квадратическое отклонение:

Найдем доверительный интервал для средней генеральной с доверительной вероятностью

.

При известном генеральном среднем квадратическом отклонении (СКО) доверительный интервал для оценки средней генеральной (математического ожидания) при заданной надежности находится с помощью функции Лапласа и имеет вид: