4809872 вар 7. Решение. Событие а на обеих костях появилось одинаковое число очков. Используем классическое определение вероятности
![]()
|
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что на обеих костях появится одинаковое число очков. Решение. Событие А – на обеих костях появилось одинаковое число очков. Используем классическое определение вероятности ![]() Всего при бросании двух кубиков возможно ![]() Найдем число благоприятных исходов: 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6, т.е. ![]() Тогда получим: ![]() Ответ: ![]() 2. Вероятность того, что некоторое изделие имеется в первом магазине 0,5; во втором – 0,7; в третьем – 0,4. Какова вероятность, что изделие найдется: а. хотя бы в одном магазине; б. только в одном магазине. Решение. Пусть событие ![]() ![]() ![]() тогда ![]() ![]() По условию, вероятности того, что изделие найдется в 1-ом, 2-ом и 3-ем магазине соответственно, равны: ![]() ![]() ![]() Тогда вероятности того, что в 1-ом, 2-ом и 3-ем магазине соответственно изделия нет, равна: ![]() ![]() ![]() а. Событие А – изделие найдется хотя бы в одном магазине. Так как наличие изделия в одном магазине не зависит от его наличия в другом магазине, т.е. ![]() ![]() Тогда искомая вероятность равна: ![]() б. Событие В – изделие найдется только в одном магазине. Используя предыдущие обозначения получим: ![]() Так как наличие изделия в одном магазине не зависит от его наличия в другом магазине, т.е. ![]() ![]() Ответ: а. 0,91; б. 0,36. 3. У сборщика имеется 20 деталей: 10 – I сорта, 6 - II сорта, 4 - III сорта. Наудачу взяты 3 детали. Найти вероятность, что все они III сорта. Решение. Событие А – все взятые детали III сорта. По классическому определению вероятности, ![]() где ![]() ![]() Используя формулу сочетаний ![]() ![]() Ответ: ![]() 4. Вероятность изготовления детали отличного качества равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей 9 отличного качества. Решение. Событие А – среди взятых наугад 10 деталей 9 отличного качества. Так как число деталей невелико, то используем формулу Бернулли: ![]() ![]() По условию, число деталей ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: 0,387. 5. Составить закон распределения случайной величины ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. Случайная величина ![]() Вычислим значения этой случайной величины, используя формулу Бернулли: ![]() Вероятность попадания при одном броске ![]() ![]() Тогда закон распределения имеет вид:
Контроль: ![]() Распределение, при котором значения СВ ![]() Математическое ожидание биномиального распределения находится по формуле: ![]() Дисперсия биномиального распределения находится по формуле: ![]() Среднее квадратическое отклонение: ![]() 4) Найдем интегральную функцию распределения: ![]() Если ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Таким образом, функция распределения имеет вид: ![]() График функции распределения имеет вид: ![]() 6. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчиняются нормальному закону с ![]() ![]() Решение. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений нормально распределенной случайной величины от ее математического ожидания не превысит ![]() ![]() По условию, ![]() ![]() тогда ![]() ![]() Подставляя данные значения в формулу, получим: ![]() Т.е. автомат изготавливает ![]() Ответ: 59,74%. 7. На склад магазина поступают изделия, из которых 80% высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 наудачу взятых изделий не менее 65 высшего сорта. Решение. Событие А – из 100 наудачу взятых изделий не менее 65 высшего сорта. Так как число изделий велико, то используем интегральную теорему Лапласа: ![]() По условию, число изделий ![]() ![]() ![]() тогда ![]() ![]() Подставив найденные значения и ![]() ![]() ![]() Ответ: 0,9999. 8. По данной выборке найти несмещенные оценки средней генеральной, генеральной дисперсии и генерального среднего квадратического отклонения. Найти доверительный интервал для средней генеральной с указанной доверительной вероятностью ![]()
Решение. Найдем объем выборки: ![]() Для вычисления средней выборочной и дисперсии составим таблицу.
Найдем выборочную среднюю: ![]() Найдем выборочную дисперсию: ![]() Точечная несмещенная оценка средней генеральной - выборочная средняя: ![]() Точечная оценка генеральной дисперсии – исправленное среднее квадратическое отклонение: ![]() Точечная оценка генерального среднего квадратического отклонения – исправленное среднее квадратическое отклонение: ![]() Найдем доверительный интервал для средней генеральной с доверительной вероятностью ![]() При известном генеральном среднем квадратическом отклонении (СКО) доверительный интервал для оценки средней генеральной (математического ожидания) при заданной надежности находится с помощью функции Лапласа и имеет вид: ![]() ![]() Ранее вычислены выборочное среднее ![]() ![]() ![]() Все параметры, кроме ![]() Построим доверительный интервал с помощью коэффициента Стьюдента. Найдем ![]() ![]() Тогда ![]() откуда получим: ![]() ![]() ![]() |