лаб. Теория вероятностей и математическая статистика (1). Методические указания по их выполнению, а также программа курса и необходимый для решения задач теоретический материал
 Скачать 1.1 Mb.
|
§ 4. Нормальное распределение
 . Эта функция чётная, её график симметричен относительно оси OY. Если провести её полное исследование, можно убедиться в том, что она имеет максимум в точке x= 0, точки x= –1 и x= 1 являются абсциссами точек перегиба, а прямая y = 0 – асимптотой.
 (интеграл Пуассона). Поэтому функция  не может служить плотностью распределения случайной величины. Но если эту функцию разделить на  , получится функция  , которую можно рассматривать как плотность распределения некоторой непрерывной случайной величины, поскольку  О п р е д е л е н и е. Непрерывная случайная величина, имеющая в качестве плотности распределения функцию  , называется нормированной нормальной случайной величиной. Функция распределения нормированной нормальной случайной величины,  , является первообразной для плотности распределения . Наряду с F(x), первообразной для φ (x) является интеграл с переменным верхним пределом  . Этот интеграл является функцией аргумента x, обозначается через φ (x) и называется функцией Лапласа.2 Так как  , F(x) = 0,5 + φ (x). При помощи функции Лапласа можно найти вероятность попадания нормированной нормальной случайной величины XНН (так мы будем обозначать нормированную нормальную случайную величину)в заданный интервал .  .Можно показать, что функция Лапласа нечётная, то есть φ (–x)= – φ (x). Ясно также, что φ (+∞) =  = 0,5, а φ (– ∞) = – φ (+∞) = – 0,5. Вычисления показывают, что математическое ожидание нормированной нормальной случайной величины равно нулю, а среднее квадратическое отклонение – единице. Нормированное нормальное распределение является частным случаем нормального распределения общего вида, которое определяется как распределение непрерывной случайной величины, имеющей в качестве плотности распределения  функцию  (a и σ – числа, σ > 0). Будем называть такую случайную величину нормальной и обозначать XН.M[XН] = a, σ[XН] = σ. Соответствующие вычисления можно найти в учебниках по теории вероятностей. Выведем формулу для вычисления вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал (, ).  Чтобы вычислить этот интеграл, сделаем замену переменных  , при этом  . Пределы интегрирования также изменятся. Получим  , равный (по формуле Ньютона-Лейбница) разности  . В итоге получаем формулу .Приведём пример применения этой формулы.   . По таблицам приближённых значений функции Лапласа  . Полученный результат часто называют правилом «трёх сигма»: вероятность того, что нормальная случайная величина отклонится от своего математического ожидания меньше, чем на три средних квадратических отклонения, практически равна единице.
, равна ≈ 0,9973.§ 5. Системы двух дискретных случайных величин Пусть при одном и том же испытании рассматриваются две случайные величины (X, Y) и Y. Тогда каждому элементарному исходу испытания соответствует пара значений (x, y). В этом случае говорят, что задана двумерная случайная величина (X, Y) или, что то же самое, система случайных величин X и Y.
 , …, ,…, – значения случайной величины X , а  , …, ,…, –значения случайной величины Y,  – вероятность того, что X = , Y= .Как и в случае одномерной случайной величины, сум-ма всех вероятностей равна единице, то есть  .Если вероятности просуммировать по строкам и столбцам, соответственно, получатся вероятности, с которыми случайные величины X и Y принимают свои значения. Действительно, событие  складывается из попарно несовместных событий  (j=1,2,…, m), поэтому  . Обозначая  через  , будем иметь  . Так же получаем, что  , где .Формулы для вычисления математических ожиданий X и Y приобретают вид:  ,  .(Если X и Y– компоненты двумерной случайной величины (X, Y), то их математические ожидания обозначаются обычно не  и  , а  и  . Аналогичный смысл имеют обозначения  ,  ,  ,  .)Основными числовыми характеристиками двумерной случайной величины (X, Y) являются смешанный момент  , корреляционный момент  и коэффициент корреляции r. Смешанный момент определяется равенством  . Поскольку  – одно из значений случайной величины XY, а  – вероятность, с которой это значение принимается, то смешанный момент совпадает с математическим ожиданием произведения случайных величин X и Y, то есть  .Корреляционный момент двумерной случайной величины определяется равенством  .Дискретные случайные величины X и Y называются независимыми, если P(X= a, Y= b) = P(X= a)P(Y=b). Если X и Y– компоненты двумерной случайной величины (X, Y), условие независимости приобретает вид:  , или  .Математическое ожидание независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий. Действительно,  .Очевидно, что корреляционный момент независимых случайных величин равен нулю. Коэффициент корреляции определяется равенством  . Как и корреляционный момент, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.Доказано, что коэффициент корреляции обладает свойством  .Если коэффициент корреляции равен нулю, случайные величины называются некоррелированными. Ясно, что независимые случайные величины являются некоррелированными. Обратное неверно, из некоррелированности независимость не следует. Говорят, что случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью, если Y= kX+ b, где kи b – некоторые числа, причём  .Можно доказать, что если случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью, то  . Верно и обратное, если абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице, случайные величины связаны линейной зависимостью.§ 6. Линейное корреляционное уравнение Пусть задана дискретная двумерная случайная величина X и Y. Если коэффициент корреляции по абсолютной величине отличен от единицы, то Yне связан сX линейной зависимостью. Возникает вопрос, при каких значениях коэффициентов kи b случайная величина  наилучшим образом приближает случайную величину Y.Для ответа на этот вопрос воспользуемся методом наименьших квадратов, состоящим в том, что наилучшим приближением случайной величины Y считается такое  , что математическое ожидание квадрата их разности минимально.Найдём математическое ожидание квадрата разности Y и (так как зависит от коэффициентов kи b, математическое ожидание также будет функцией аргументов kиb).M[ ( – Y)2] =  .Напомним, что необходимое условие экстремума функции двух переменных состоит в том, что в точке экстремума частные производные обращаются в 0. В нашей ситуации это означает, что  .Вычислим частные производные функции  и приравняем их к 0.  (Пояснение:  .)Получаем систему уравнений  . Главный определитель  . Решаем эту систему по формулам Крамера:  и, значит,  ;  ,  .Подставим найденные значения kи b в уравнение . Учитывая, что   , после преобразований получим уравнение,  , которое можно записать в более удобной для запоминания форме, а именно: .§ 7. Статистический ряд Пусть проведено n испытаний (наблюдений), в результате которых случайная величина приняла n значений, называемых обычно наблюдёнными значениями. Перечень этих значений (среди них могут быть равные) называют выборкой, число n – объёмом выборки. Сама по себе выборка, даже достаточно большого объёма, не даёт представления о характере распределения случайной величины. Чтобы закономерности распределения исследуемой случайной величины проявились, наблюдённые значения случайной величины сводят в интервалы. Как показывает практика обработки статистических данных, величину интервалов следует выбирать так, чтобы их число не более чем на 2-3 единицы отличалось от 12. Пусть Xmaxи Xmin – наибольшее и наименьшее значения выборки. Разделив разность между ними на 12 и округлив результат, получим величину интервала с, то есть  .В качестве начала первого интервала удобно взять округлённое в меньшую сторону значение Xmin. Число интервалов k должно быть таким, чтобы Xmax, попало в последний, k-й, интервал. Обозначим середины интервалов через ,…, ,…, и будем называть их разрядами. Совокупность k примыкающих друг к другу интервалов длины с назовём разрядной сеткой. Наблюдённые значения, попавшие в полуоткрытый интервал  , отнесём к разряду , а их число обозначим через  и назовём i-й разрядной частотой или частотой i-го разряда (i= 1,2,…k). Сумма разрядных частот совпадает с объёмом выборки,  .
По статистическому ряду строится многоугольник частот – ломаная, соединяющая точки ( , ), i= 1,2,…k. Многоугольник частот даёт первоначальное представление о форме кривой распределения (графика плотности распределения) случайной величины X. |
