лаб. Теория вероятностей и математическая статистика (1). Методические указания по их выполнению, а также программа курса и необходимый для решения задач теоретический материал

• Название: Методические указания по их выполнению, а также программа курса и необходимый для решения задач теоретический материал
• Дата: 08.10.2021
• Размер: 1.1 Mb.
• Имя файла: Теория вероятностей и математическая статистика (1).doc
• Тип: Методические указания; #243587
• страница: 6 из 6

81 – 90. Выравнивание статистического ряда производилось на основании гипотезы о нормальном распределении исследуемой случайной величины. Было найдено .

Для заданного значения уровня значимости найдите критическое значение , если число разрядов равно k, а в качестве математического ожидания и среднего квадратического отклонения были взяты: а) произвольные числа a и σ; б) и . Примите решение о принятии или отвержении гипотезы при помощи критерия Пирсона.

81. k=13, α = 0,01; = 24,2.

82. k =12, α = 0,05; = 18,1.

83. k = 11, α = 0,01; = 21,3.

84.k = 10, α = 0,05; = 15,3.

85.k = 13, α = 0,05; = 19,1.

86.k = 12, α = 0,01; = 22,5.

87.k = 11, α = 0,05; = 17,3.

88.k = 10, α = 0,01; = 20,5.

89.k = 13, α = 0,025; = 21,4.

90.k= 10, α = 0,025; = 18,2.

Комментарии к контрольным заданиям

1 – 10. При решении этих задач используются определения и формулы, приведённые в первом параграфе.

11 – 20. При решении задач этой десятки используется формула

.

21 – 30. Задачи этой десятки решаются по формуле = .

31 – 40. Нужные для решения задач формулы и чертёж приведены в третьем параграфе. M[ X ²] вычисляется по формуле

M[ X ²] = .

41 – 50. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины X вычисляются по формулам, приведённым в третьем параграфе.

y F(x) 1 x 0 10

Рассмотрим пример. Пусть Вычислим плотность распределения: ( не существует при x = 10). Тогда

y 1 p(x) x 0 10

, , D[X ] = =M [ X ²] –M ²[ X ] = , .

51 – 60. Вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал вычисляется по формуле

.

Приближённые значения функции Лапласа можно найти по таблицам, имеющимся в любом учебнике по теории вероятностей. Приведём некоторые значения функции Лапласа: (0,5)  0,1915; (1)  0,3413; (1,5)  0,4332; (2)  0,4772; (2,5)  0,4938.

61 – 70. Пусть двумерная случайная величина (X, Y) задана при помощи таблицы, называемой законом распределения.

Y X	–3	1	2
–2	0,1	0,2	0,1
1		0,2	0,1
3	0,1	0,1	0,1

Введём дополнительную строку и дополнительный столбец, просуммировав предварительно заданные вероятности по столбцам и строкам. В пустую клетке поставим 0, так как сумма всех вероятностей должна быть равной нулю. В нижней правой ячейке таблицы обычно ставится единица, представляющая сумму вероятностей, расположенных как в дополнительной строке, так и в дополнительном столбце.

Y X	–3	1	2
–2	0,1	0,2	0,1	0,4
1	0	0,2	0,1	0,3
3	0,1	0,1	0,1	0,3
	0,2	0,5	0,3	1

Ответим на вопрос, являются ли случайные величины X и Y независимыми. Если случайные величины независимы, то

, в частности, должно выполняться равенство . У нас , , то есть , а . Вывод: случайные величины X и Y независимыми не являются.

Вычислим M_X и M_Y. =

.

.

смешанный момент M_XY находим по формуле . Эта формула предписывает каждую вероятность умножить на значение случайной величины X, расположенное слева, и значение случайной величиныY, расположенное вверху, а затем полученные произведения сложить. Итак, M_XY =

= 0,2.

корреляционный момент . Поэтому коэффициент корреляции r тоже равен 0. Случайные величины оказались некоррелированными. В этом случае линейное корреляционное уравнение выписывать не имеет смысла, так как оно вырождается в равенство , то есть приближением случайной величины Y служит собственное математическое ожидание.

Если бы корреляционный момент был отличен от нуля, для вычисления коэффициента корреляции нам пришлось бы найти и . Покажем, как это делается.

.

Аналогично получаем, что =3,25.

Тогда , .

X	51	59	67	75	83	91	99
Час-тоты	2	3	12	38	27	13	5

71 – 80. Пусть дан статистический ряд. Объём выборки n равен сумме частот, 2+3+12+38+27+13+5=100.

Условные разряды	–3	–2	–1	0	1	2	3
Частоты	2	3	12	38	27	13	5

Количество разрядов k= 7, величина разряда c = 8. В качестве ложного нуля возьмём 75.

Получим условный статистический ряд. Найдём условные моменты, затем статистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения:

;

= ;

; , . Оценку среднего квадратического отклонения можно вычислить несколько иначе, а именно по формуле , где . Тогда .

Переходим к выравниванию статистического ряда. Выдвигаем гипотезу H: исследуемая случайная величина имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 78,52 и средним квадратическим отклонением 9,688. На основании этой гипотезы вычислим выравнивающие частоты.

Процесс вычислений оформим в виде таблицы.

	Вычисление выравнивающих частот5
	xi	ni	ui				i=2,…,6; p1=φ1+0,5		=100
	51	2	–3	–2,94	–2,43	–0,49	–0,49+0,5=0,01		1
	59	3	–2	–1,94	–1,60	–0,45	–0,45+0,49=0,04		4
	67	12	–1	–0,94	–0,78	–0,28	–0,28+0,45=0,17		17
	75	38	0	0,06	0,05	0,02	0,02+0,28=0,3		30
	83	27	1	1,06	0,88	0,31	0,31–0,02=0,29		29
	91	13	2	2,06	1,70	0,46	0,46–0,31=0,15		15
	99	5	3	3,06	2,53	= 0,5	0,5–0,46=0,04		4

ni Многоугольник частот и выравнивающая кривая 38 27 12 5 x 51 59 67 75 83 91 99

Построим точки ( , ), i= 1,2,…7. Соединим их отрезками прямых, получим многоугольник частот. На этом же чертеже построим точки . Соединив их плавной линией, получим выравнивающую кривую (i= 1,2,…7). Для завершённости картины обычно оба графика продолжают до пересечения с горизонтальной осью.

Прежде чем вычислять , объединим два первых разряда, сложив соответствующие наблюдённые и выравнивающие частоты. Если все наблюдённые частоты , то объединять разряды не нужно.

Вычисление
xi	59 и <	67	75	83	91	99
ni	5	12	38	27	13	5
	5	17	30	29	15	4
ni –	0	–5	8	–2	–2	1
	0	25	64	4	4	1
	0	1,47	2,13	0,14	0,27	0,25

Сложив числа, расположенные в последней строке, получим, что = 4,26.

После объединения число разрядов k стало равным 6. Число степеней свободы определяем по формуле ν = k – 3.

Тогда ν = 6 – 3 = 3.

В качестве уровня значимости возьмём

α = 0,05. По таблице находим критическое значение , отвечающее данному уровню значимости и числу степеней свободы ν = 3, получаем =7,8.

Поскольку 4,26 < 7,8, то есть < , нет основания сомневаться в справедливости гипотезы H, так что гипотеза принимается.

Число степеней свободы	Уровни значимости
	0,05	0,025	0,01
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	5,99 7,81 9,49 11,1 12,6 14,1 15,5 16,9 18,3 19,7 21,0	7,38 9,35 11,1 12,8 14,4 16,0 17,5 19,0 20,5 21,9 23,3	9,21 11,3 13,3 15,1 16,8 18,5 20,1 21,7 23,2 24,7 26,2

81 – 90. Приведём пример решения аналогичной задачи. Пусть α = 0,025; ; k= 8.

Если была выдвинута гипотеза о нормальном распределении с заранее заданными числовыми значениями a и σ, то ν = k– 1 = 8 – 1 = 7. Тогда =16 и гипотеза принимается, так как 13,7 < 16.

Если же в качестве a и σ были взяты, соответственно, и , то ν = k– 3 = 8 – 3 = 5. Тогда =12,8 и гипотеза отвергается, так как 13,7 > 12,8.
Библиографический список

1. 
   Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, «Высшая школа», 2000.
   
2. 
   Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва, «Высшая школа», 2001.
   
3. 
   Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва, «Высшая школа», 2003.
   
4. 
   Вентцель Е. С. Теория вероятностей. Москва, «Наука», 2001.
   
5. 
   Алексеева В. Е. и др. Элементы математической статистики.
   

Оглавление

П р е д и с л о в и е...............................................................................................3

Программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»....................................................................................................................3

Теоретический минимум

§ 1. Вероятность случайного события……………………………………..4

§ 2. Формула Бернулли. Формула полной вероятности…………………..6

§ 3. Случайные величины. Функция распределения и числовые

характеристики случайных величин……………………………………….7

§ 4. Нормальное распределение…………………………………………….9

§ 5. Системы двух дискретных случайных величин……………………..12

§ 6. Линейное корреляционное уравнение………………………………..14

§ 7. Статистический ряд……………………………………………………15

§ 8. Статистические оценки параметров распределения случайной

величины……………………………………………………………………16

§ 9. Выравнивание статистического ряда………………………………...17

§ 10. Распределение …………………………………………………….19

§ 11. Критерий согласия Пирсона…………………………………………20

Контрольные задания...........................................................................21

Комментарии к контрольным заданиям...................................28

Библиографический список..............................................................................33

С о с т а в и т е л ь

Алексеева Валентина Евгеньевна

Теория ВЕРОятностей

и математическая статистика

Программа курса, контрольные задания

и методические указания

для студентов заочного отделения ФЭУ

(специальность 080100 экономика)


Отпечатано в авторской редакции

Компьютерная верстка



Подписано в печать с оригинал-макета

Формат 6084/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная.

Уч.-изд. л. . Печ. л. . Тираж 100 экз. Заказ № . С




Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия

Издательско-полиграфический отдел СПбГЛТУ

194021, Санкт-Петербург, Институтский пер., 5

1 Случаи, включены в определение в связи с необходимостью сделать изложение как можно более кратким.

2 Функция не имеет элементарной первообразной, поэтому формула Ньютона-Лейбница не может быть использована для вычисления значений функции φ (x). Значения функции Лапласа вычисляются приближённо. Таблицы приближённых значений функции Лапласа составлены задолго до появления вычислительной техники. Современные электронно-вычислительные машины позволяют получать значений функции φ (x) , не обращаясь к таблицам.

Иногда функцию Лапласа определяют несколько иначе, например, называют функ-цией Лапласа саму функцию распределения F(x). Поэтому прежде чем пользоваться та-блицами приближённых значений функции Лапласа, нужно посмотреть, какую именно функцию имеют в виду авторы.

3 В этом определении традиционно используются буквы греческого алфавита ξ (кси), χ (хи), ν (ню).

4 Уровнем значимости называется такое число, что события, вероятности которых мень-ше этого числа, считаются практически невозможными.

5 Поскольку контрольная работа по статистике является учебной работой и выполняется по существу вручную, значения функции Лапласа находятся по таблицам, в которых значения аргументов даются с двумя знаками после запятой. Поэтому значения аргументов мы округляем до двух знаков после запятой. Значения функции Лапласа также округляем до двух знаков. При выполнении настоящих научных исследований следует использовать современную вычислительную технику, которая обеспечивает высокую точность.