лаб. Теория вероятностей и математическая статистика (1). Методические указания по их выполнению, а также программа курса и необходимый для решения задач теоретический материал
 Скачать 1.1 Mb.
|
Распределение  хорошо изучено. В частности, составлены таблицы критических значений . Критическим значением , отвечающим числу степеней свободы ν и уровню значимости4 α (0 < α < 1), называется такое число  , что  . На чертеже изображён график плотности распределения случайной величины при некотором ν. Площади заштрихованной и незаштрихованной частей бесконечной криволинейной трапеции равны, соответственно, α и 1 – α.Оказывается, что близкое к распределение имеет случайная величина, характеризующая расхождение между выравнивающими и наблюдёнными частотами. Эта случайная величина обозначается через  и определяется равенством  .При достаточно больших n распределение случайной величины можно считать распределением  , где число степеней свободы ν представляет собой разность между числом разрядов k и количеством параметров, использованных при вычислении выравнивающих частот.Плотность нормального распределения определяется двумя параметрами (  и  ), кроме того, соблюдено условие  . Поэтому при выравнивании при помощи нормального распределения с параметрами, зависящими от выборки, число степеней ν = k – 3.Если же задание математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормального распределения, о котором идёт речь в гипотезе, никак не связано с результатами наблюдений (выборкой), то ν = k – 1. § 11. Критерий согласия Пирсона Определение вида распределения случайной величины – одна из главных задач математической статистики. Как и задача нахождения параметров распределения, эта задача не решается точно. Мы можем только высказать гипотезу о характере распределения случайной величины и принять разумное правило, по которому станем судить о степени согласованности теоретического распределения с данными наблюдений. Назовём гипотезой H предположение, состоящее в том, что исследуемая случайная величина имеет плотность распределения  . Критерием согласия называется случайная величина, значения которой дают основание принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу. Случайная величина , определённая в предыдущем параграфе и рассматриваемая в качестве критерия согласия, называется критерием согласия Пирсона.Прежде применять тот или иной критерий согласия, нужно выбрать уровень значимости α. Уровень значимости выбирается из нематематических соображений. Наиболее употребительные значения уровня значимости – 0,1; 0,05; 0,01. В исследованиях общего характера принят пятипроцентный уровень значимости, то есть α = 0,05. Появление события с вероятностью, меньшей уровня значимости, заставляет усомниться в случайности происходящего. Если же вероятность события больше уровня значимости, его появление допустимо приписать случайным причинам . Выбрав уровень значимости α, по таблицам критических значений находим , отвечающее α и числу степеней свободы ν. Если (именно то, которое получено при условии, что выравнивающие частоты вычислены на основе гипотезы H) меньше , гипотезу принимаем. Если же больше, чем , гипотезу H отвергаем, так как , то есть вероятность события  слишком мала и его появление, скорее всего, объясняется неправильным выбором функции . При этом не исключена возможность ошибки, наблюдённое значение может оказаться больше критического, даже если гипотеза верна, но вероятность такой ошибки мала, поскольку совпадает с уровнем значимости.При использовании критерия согласия Пирсона частоты ni должны быть не слишком малы. Если частоты крайних разрядов меньше пяти, их нужно объединить. Контрольные задания Контрольная работа № 1 1 – 10. Задачи на классическое определение вероятности и теоремы сложения и умножения вероятностей. 1. В одной из коробок 4 белых и 8 чёрных шариков, в другой – 3 белых и 12 чёрных. Из каждой коробки наугад извлекается шарик. Какова вероятность того, что они разноцветные? 2. Студент выучил 8 из 10 вопросов по первому разделу курса и 9 из 12 – по второму. В билете содержится по одному вопросу из каждого раздела. Какова вероятность получения зачёта для этого студента, если зачёт ставится при условии, что хотя бы на один из вопросов дан правильный ответ? 3. Проводятся две лотереи. В одной из 100 билетов 20 выигрышных, в другой 120 билетов, среди которых 30 выигрышных. Какова вероятность того, что, имея по одному билету каждой из лотерей, получишь хотя бы один выигрыш? 4. В одной из коробок 6 белых и 4 чёрных шарика, в другой – 8 белых и два чёрных. Из каждой коробки наугад извлекается шарик. Какова вероятность, что они оба чёрные? 5. Студент выучил 5 из 10 вопросов по первому разделу курса и 8 из 12 вопросов – по второму. В билете содержится по одному вопросу из каждого раздела. Какова вероятность получения зачёта для этого студента, если зачёт ставится при условии, что на оба вопроса дан правильный ответ? 6. Проводятся две лотереи. В одной из 40 билетов 10 выигрышных, в другой 30 билетов, среди которых 15 выигрышных. Какова вероятность того, что, имея по одному билету каждой из лотерей, выиграешь дважды? 7. В одном из ящиков лежат 6 исправных и 2 неисправные детали, в другом, соответственно, 8 и 4. Из каждого ящика наугад берут одну деталь. Какова вероятность того, что только одна из них окажется исправной? 8. В одной из коробок 5 белых и 10 чёрных шариков, в другой – 3 белых и 9 чёрных. Из каждой коробки наугад извлекается шарик. Какова вероятность того, что хотя бы один из них белый? 9. Студент выучил 6 из 18 вопросов по первому разделу курса и 4 из 16 – по второму. В билете содержится по одному вопросу из каждого раздела. Какова вероятность того, что студент не сдаст зачёт, если зачёт ставится при условии, что хотя бы на один из вопросов дан правильный ответ? 10. Проводятся две лотереи. В одной из 20 билетов 5 выигрышных, в другой 25 билетов, среди которых 10 выигрышных. Какова вероятность того, что, имея по одному билету каждой из лотерей, ничего не выиграешь? 11 – 20. Задачи на формулу полной вероятности. 11. В команде 2 стрелка имеют первый разряд, 3 – второй и 5 – третий. Вероятности попадания в цель для стрелков первого, второго и третьего разрядов равны, соответственно, 0,9, 0,8 и 0,7. Наугад выбранный спортсмен производит выстрел. Какова вероятность того, что он попадёт в цель? 12. В первом ящике 3 синих и 5 красных шариков, во втором, соответственно, 4 и 7. Из первого ящика случайным образом один шарик перекладывается во второй. Далее из второго ящика наугад извлекается один шарик. Какова вероятность, что он красный? 13. Вероятность выпуска бракованной детали на обычном станке – 0,1, на станке-автомате – 0,01. На обычных станках производится 60% деталей, на станках-автоматах – 40%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь бракованна? 14. Вероятность попадания в цель из обычной винтовки 0,8, из снайперской – 0,9. Имеется 7 обычных и 3 снайперских винтовки. Какова вероятность попадания, если винтовка выбирается случайным образом? 15. Вероятность попадания в цель при первом выстреле – 0,7. Вероятность попадания в цель при втором выстреле зависит от результата первого выстрела. Если первый выстрел был удачен, вероятность попадания при втором выстреле увеличивается и становится равной 0,9. Если же при первом выстреле имел место промах, вероятность попадания при втором выстреле становится равной 0,5. Какова вероятность попадания при втором выстреле? 16. В первом ящике 3 синих и 5 красных шариков, во втором, соответственно, 4 и 7. Из каждого ящика случайным образом извлекается по одному шарику, после чего из них наугад выбирается один. Какова вероятность того, что он красный? 17. В первом ящике 3 чёрных и 5 белых шариков, во втором, соответственно, 4 и 7. Из второго ящика случайным образом один шарик перекладывается в первый. Далее из первого ящика наугад извлекается один шарик. Какова вероятность, что он чёрный? 18. Имеется 10 одинаковых коробочек с разноцветными шариками. В половине коробочек шарики жёлтые, в двух – зелёные, в остальных количество зелёных в два раза больше, чем жёлтых. Из наугад выбранной коробочки извлекается шарик. Какова вероятность того, что он жёлтый? 19. Номер газеты напечатан в трёх типографиях. Вероятность брака в первой типографии 0,05, во второй – 0,02, в третьей – 0,03. Какова вероятность того, что купленная газета окажется бракованной, если 20% тиража напечатано в первой типографии, а 70% – во второй? 20. Имеется 10 шариков, 4 белых и 6 чёрных. Если первый выбранный наугад шарик оказывается белым, то половина чёрных шариков убирается, если же первым вытащен чёрный, то убирается половина белых. Какова вероятность того, что шарик, вытащенный вторым, чёрный? 21 – 30. Задачи на формулу Бернулли. 21. Игральную кость бросают 5 раз. Какова вероятность, что тройка выпадет дважды? 22. Монету бросают 9 раз. Какова вероятность, что цифра появится в два раза чаще, чем герб? 23. Какова вероятность того, что в семье, имеющей четверо детей, девочек и мальчиков поровну? 24. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,8. Какова вероятность двух промахов при шести выстрелах? 25. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что орёл и решка выпадут поровну? 26. Игральную кость бросают 6 раз. Какова вероятность того, что чётное число очков выпадет трижды? 27. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,7. Какова вероятность только одного попадания при трёх выстрелах? 28. Игральную кость бросают 6 раз. Какова вероятность того, что дважды выпадет число очков, делящееся на три? 29. Бросают 5 монет. Какова вероятность, что только на одной из них выпадет герб? 30. Игральную кость бросают 6 раз. Какова вероятность того, что нечётное число очков выпадет в два раза чаще, чем чётное? 31 – 40. Дискретная случайная величина задана своим законом распределения. Заполнить пустую клетку таблицы и найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Построить график её функции распределения.
|