Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине математика для студентов направления подготовки 43. 03. 03 Гостиничное дело Направленность (профиль) Гостиничная деятельность

• Название: Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине математика для студентов направления подготовки 43. 03. 03 Гостиничное дело Направленность (профиль) Гостиничная деятельность
• Анкор: Metid
• Дата: 17.05.2023
• Размер: 1.79 Mb.
• Имя файла: Metod_Matem._43.03.03_2020_PR.pdf
• Тип: Методические указания; #1138250
• страница: 2 из 5

Тема занятия. Функции и пределы.

12
Цель занятия. Сформировать навыки вычисления пределов функций, а также вычисления приближенных значений функций.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
-основные методы вычисления пределов функций, приближенных значений функций.
Уметь:
- вычислять пределы функций, приближенные значения функций.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Пределы функций используются в экономических расчетах при нахождении предельных экономических показателей.
Теоретическая часть.
Пусть функция
)
(x
f
y

задана в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точкиa.
Число A называется пределом функции
)
(x
f
в точке
a
x

, если для любого положительного числа
0


найдётся такое положительное число
0
)
(



, что для всех
x
, удовлетворяющих неравенству




a
x
0
, выполняется неравенство



b
x
f
)
(
. В этом случае записывают
A
x
f
a
x


)
(
lim
Дадим геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке
(рис. 1.)
Рисунок 1.
Для всех точекx, отстоящих от точки a не дальше, чем на

, точки
M
графика функции
)
(x
f
лежат внутри полосы шириной

2
, ограниченной прямыми
,






b
y
b
y
Рассмотрим некоторые свойства пределов функций.
Пусть
B
x
g
A
x
f
a
x
a
x




)
(
lim
,
)
(
lim
, С- постоянная величина ,тогда y x b+ε b–ε b f (x)
2ε
ε
M a+δ a–δ a x
0

13 1.
С
С
a
x


lim
,
2.
A
C
x
f
С
x
f
С
a
x
a
x







)
(
))
(
(
lim lim
,
3.
A
C
x
f
С
x
f
С
a
x
a
x







)
(
))
(
(
lim lim
,
4.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
))
x
(
g
)
x
(
f
(
lim a
x a
x a
x








,
5.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
))
x
(
g
)
x
(
f
(
lim a
x a
x a
x








,
6.
B
A
)
x
(
g lim
)
x
(
f lim
)
x
(
g
)
x
(
f lim a
x a
x a
x





, если
0
)
x
(
g lim a
x


Два замечательных предела
Первый замечательный предел имеет вид:
1
sin lim
0


x
x
x
Второй замечательный предел имеет вид:


1 0
x lim
,
1 1
x lim
e
x
1
x
e
x
x













Рассмотрим примеры на вычисление пределов функций.
Пример 1.Вычислить предел
7 4
5 12
lim
2 2





x
x
x
x
Р е ш е н и е
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида


В примерах подобного типа числитель и знаменатель делят почленно на x n
, гдеn ˗степень многочлена в знаменателе.Разделим числитель и знаменатель на на
2
x
. В результате получим:
,
3 0
4 0
12 7
4 5
12
lim
7 4
5 12
lim
2 2
2

















x
x
x
x
x
x
x
Так как, при


x
функции
x
5
и
2 7
x
стремятся к нулю.
Пример 2.Вычислить предел
9 3
5 18 3
4
lim
2 3
2 3
3







x
x
x
x
x
x
x

14
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида
0 0
, чтобы ее раскрыть разложим числитель и знаменатель на множители:







 
 








 
 


 


 

1 3
2 3
9 3
5 18 3
4 1
3 1
3 3
3 2
3 9
3 5
2 3
2 3
3 6
3 18 3
4 2
2 2
3 2
3 2
2 2
3 2
2 2
3







































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Сократим числитель и знаменатель на множитель


2 3

x
, в результате получим:
4 5
1 2
lim
9 3
5 18 3
4
lim
3 2
3 2
3 3












x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример 3.Вычислить предел
3 2
3 9
1 2
13
lim





x
x
x
x
При подстановке предельного значения аргумента получаем неопределенность вида
0 0
, чтобы ее раскрыть умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю,а выражение, стоящее в знаменателе разложим на множители.



























1 2
13 3
3 1
2 13 1
2 13
lim
9 1
2 13
lim
3 3
3 2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x


1 2
13 3
3 9
3
lim
3 3
3









x
x
x
x
x
x



 













1 2
13 3
3 3
3
lim
3 1
3 1
3
x
x
x
x
x
x






0 1
2 13 3
3 3
lim
3 1
3 1
3









x
x
x
x
x
Пример 4.Вычислить предел
4 3
sin lim
0
x
x
x

Имеем неопределённость вида
0 0
, раскроем ее с помощью первого замечательного предела.
4 3
3 3
sin lim
4 3
3 4
3
sin
3
lim
4 3
sin lim
0 0
0







x
x
x
x
x
x
x
x
x
Пример 5. Вычислить предел
x
x
x
x
cos
1
sin
2
lim
0


Воспользуемся тригонометрическими формулами:
,
2
cos
2
sin
2
sin
;
cos
1 2
sin
2 2
x
x
x
x
x



в результате получим

15 0
0 0
2 0
0 2
2 sin cos
2
cos
2 sin
0 2
2 2
lim lim lim
1
cos
0 2 sin sin
2 2
2 lim cos
2 1 2
4 1
sin
1 1
2 2
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x







 




 

 






Пример 6.Вычислить предел
4 3
1 3
lim
1 2











x
x
x
x
Подстановка предельного значения приводит к неопределённости вида

1 .
Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом.







 





 













































1 3
4 1
lim
3 1
1
lim
4 3
1 3
lim
3 4
1 3
1 1
lim
4 3
1 3
lim
2 2
1 2
1 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 4
3 1
1
lim
3 1
1
lim
3 10 3
10 3
8 3
2 3
8 4
3 3
2 3
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x























































Вопросы и задания.
1. Определение предела функции.
2. Основные свойства пределов функций.
3. Методы вычисления пределов функций.
4. Первый замечательный предел.
5. Второй замечательный предел.
Вычислить пределы функций.
4 3
5
lim
1 2
4



x
x
x
. 2.
7 49
lim
2 7



x
x
x

16 3.
3 5
2 1
2
lim
2 2
2 1





x
x
x
x
x
. 4.
8 2
6
lim
3 3
2





x
x
x
5.
1 6
8 8
4 5
lim
3 2
3






x
x
x
x
x
. 6.
3 5
4 2
2
lim
2 4






x
x
x
x
x
7.
2 4
3 2
x x
1
x lim x
x x

 
 
8.
x
0
sin 5x lim sin 2x

9.
2
x
0 1 cos x lim x


. 10.
3
x
0
tgx sin x lim x


11.
2
x
2 2
x
2x
2
lim
2x
1









. 12.


х
x
х
5 0
2 1
lim


Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 4.
Тема занятия
.
Производная и дифференциал функции одной переменной.
Цель занятия. Сформировать навыки вычисления производных сложной функции.
В результате освоения темы обучающийся должен:
Знать:
- таблицу производных и правила дифференцирования.
Уметь:
- находить производные сложных функций.
Владеть:
- способностью осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, применять системный подход для решения поставленных задач (УК-1)
Актуальность темы. Производная сложной функции используюется в управленческих задачах.
Теоретическая часть.
Определение производной
Производной функции у = f (x) называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю:

17
x
x
f
x
x
f
x
x
y
x
x
f













)
(
)
(
0 0
lim lim
)
(
Если этот предел конечный, то производная существует и функция f (x) называется дифференцируемой в точке x. Производная обозначаетсяу'(x) или
dy
dx
Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.
Правила дифференцирования функций
ПустьС

R— постоянная, и = и (х), v = v(x) — функции, имеющие производные.
1. С ' =0 . 2. (Си)' =С ∙ u' .
3. (u ± v)' = и' ± v'. 4. (u ∙ v)’ =u’ ∙ v + u ∙ v’ .
5.
 
2
v
v
u
v
u
v
u





Правило дифференцирования сложной функции
Если функция y = f(u) дифференцируема пои, а функцияи = φ
(x)дифференцируемапо х, то производная сложной функцииy = f(φ (x)) определяется формулой y' =f ' (u) ∙ u' (x) .
Таблица производных сложных функций
1.
u
u
n
u
n
n





1
)
(
1а.
 
u
u
u
2



1б.
 
 
2 1
1
u
u
u
u







2.
 
u
a
a
a
u
u





ln
2а.
 
u
e
e
u
u




3.


a
u
u
u
a
ln log




3а.
 
u
u
u



ln
4.




u
sin cosu

u

5.


u
u
u





sin cos
6.
 
u
u
u
2
cos tg



7. (ctgu)


u
u
2
sin


8.


2 1
arcsin
u
u
u




9.


2 1
arccos
u
u
u





10.


2 1
arctg
u
u
u




11.


2 1
arcctg
u
u
u





Производные второго порядка
Производной второго порядка (второй производной) от функции
)
(x
f
y

называется производная от ее производной, т. е.
)
)
(
(
)
(




x
f
x
f

18
Вторую производную также обозначают
)
(x
y

или
2 2
dx
y
d
. Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д.
Производную n-го порядка обозначают
)
(
)
(
x
y
n
или
n
n
dx
y
d
Покажем на примерах, как следует пользоваться приведенными выше формулами.
Пример1. Найти производную:
)
x
(
cos y
2 2

 
 


 
 

  
 
2 2
2 2
2 2
x
2
sin x
2
x x
sin x
cos
2
x cos x
cos
2
y













Пример 2. Найти производную: x
arcsin y

,
 
 
2 2
x x
2 1
x
1
x
2 1
x
1
x y








Пример 3. Найти производную:


1
x arctg ln y


Решение.






2 3
x x
2 1
1
x arctg
1 1
x
1 1
x
1
x arctg
1 1
x arctg
1
x arctg y

















Пример 4. Найти производную функции
x
x
x
tg
y
sin
2
ln


2 2
2 2
2 1
1 1
sin cos
1
sin cos sin sin cos
2
sin sin sin cos
2sin cos
2 2
2 2
cos sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
tg
x
x
x




 

 





Пример 5. Найти производную функции
8 4
1 2
x
x
arctg
y


3 8
7 4
8 2 3
11 11 3
11 8 2 8 2 8 2 8 2 8
8 2 3
8 3
8 2 8
1 8 (1
) ( 8
)2
(1
) (8 8
16
)
8 8
(1
)
(1
) (1
)
(1
)
4 1
(1
)
8 (1
)
8
(1
)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

 




 





















Вопросы и задания.
1. Дайте определение производной функции в точке.

19 2. Сформулируйте основные правила дифференцирования.
3. Запишите таблицу производных.
4. Как определяется производная второго, n-го порядка?
Найти производную функции.
1.


4 3
3
x
2 4
3
y


. Ответ:
4 3
3 2
3
x
2 4
3
x
2
y




2.
2
x
1
x y


. Ответ:


3 2
x
1 1
y



3.
2
x
1 1
arctg y


.Ответ:
4 2
x x
2 2
x
2
y





4.


3 2
2
x
2 6
2
x ln y



. Ответ:



2 2
3
x
3 2
x x
y




5. lnlntgx
y

Ответ:
2
sin 2 ln
y
x
tgx
 
6.
1
arcsin
x
y
e

Ответ:
1
arcsin
2 1
x
e
y
x x
  

Рекомендуемые источники информации
(№ источника)
Основная
Дополнительная
Методическая
Интернет-ресурсы
1 1
1,2 1,2
Практическое занятие 5.