№ 2 (2 курс 2 сессия) Динамика (заоч). Методические указания входят задания по основному разделу теоретической механики динамике

• Название: Методические указания входят задания по основному разделу теоретической механики динамике
• Анкор: № 2 (2 курс 2 сессия) Динамика (заоч).doc
• Дата: 02.11.2017
• Размер: 5.15 Mb.
• Имя файла: № 2 (2 курс 2 сессия) Динамика (заоч).doc
• Тип: Методические указания; #10065

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
В настоящие методические указания входят задания по основному разделу теоретической механики - динамике.

Дается перечень вопросов, которые, как основная часть курса, должны изучаться студентами всех специальностей.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Раздел «Динамика»
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Введение в динамику. Предмет динамики. Основные понятия и определения: масса, материальная точка, сила. Законы механики Галилея-Ньютона. Инерциальная система отсчета. Задачи динамики.

Динамика точки. Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в декартовых координатах. Две основные задачи динамики для материальной точки. Решение первой задачи динамики.

Решение второй задачи динамики. Начальные условия. Постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям. Примеры интегрирования дифференциальных уравнений движения точки в случаях силы, зависящей от времени, от положения точки и от ее скорости.

Введение в динамику механической системы. Механическая система. Классификация сил, действующих на систему: силы активные (задаваемые) и реакции связей; силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Масса системы. Центр масс; радиус-вектор и координаты центра масс.

Общие теоремы динамики. Дифференциальные уравнения движения механической системы. Теорема о движении центра масс механической системы. Закон сохранения движения центра масс.

Количество движения материальной точки. Элементарный импульс силы. Импульс силы за конечный промежуток времени. Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной и в конечной формах.

Количество движения механической системы; его выражение через массу системы и скорость ее центра масс. Теорема об изменении количества движения механической системы в конечной форме. Закон сохранения количества движения механической системы.

Момент количества движения материальной точки относительно центра и относительно оси. Теорема об изменении момента количества движения точки.

Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы относительно центра и относительно оси. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Закон сохранения кинетического момента механической системы.

Кинетическая энергия материальной точки. Элементарная работа силы; аналитическое выражение элементарной работы. Работа силы на конечном перемещении точки ее приложения. Работа силы тяжести, силы упругости и силы тяготения. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Кинетическая энергия механической системы. Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении, при вращении вокруг неподвижной оси и при плоскопараллельном движении тела. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы. Равенство нулю суммы работ внутренних сил в твердом теле. Работа и мощность сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

Принцип Даламбера. Сила инерции материальной точки. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Воронков И.М. Курс теоретической механики. М., 1954 и последующие издания.

Гернет М.М. Курс теоретической механики. М., 1970 и последующие издания.

Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. М., 1963 и последующие издания.

Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М., 1970 и последующие издания.

Сборник задач по теоретической механике. / Под ред. К.С.Колесникова. М., 1983.

Сборник задач для курсовых работ по теоретической механике / Под ред. А.А. Яблонского. М., 1972 и последующие издания. (Содержит примеры решения задач.)

Пирогов С.П. Краткий курс лекций по теоретической механике. Тюмень, «Вектор Бук», 2001 г.

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЙ, ВЫБОР ВАРИАНТОВ,

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТ,

ОБЩИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ТЕКСТУ ЗАДАЧ
Контрольное задание состоит из четырех задач - Д1, Д2, Д3, Д4.

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. Д1.4- это рис. 4 к задаче Д1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4). Номера условий от 0 до 9 проставлены в 1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Студент во всех задачах выбирает номер рисунка по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице - по последней; например, если шифр оканчивается числом 46, то берет рис. 4 и условия № 6 из таблицы.

Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются : название дисциплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, факультет, специальность и адрес. На первой странице тетради записываются: номер работы, номера решаемых задач и год издания контрольных заданий.

Методические указания по решению задач, входящих в контрольные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой “Указания”; затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера - разъяснить ход решения, но не воспроизвести его полностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты должны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояснениями; в конце должны быть даны ответы.
Задача Д1
Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость v₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 - Д1.9, табл. Д1).

На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют постоянная сила Q (ее направление показано на рисунках).

В точке В груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок ВС трубы, где на него кроме силы тяжести действует переменная сила F, проекция которой F_x на ось х задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние АВ = l или время t₁ движения груза от точки А до точки В, найти закон движения

груза на участке ВС, т.е. х = f(t), где х = ВD. Трением груза о трубу пренебречь.









Указания. Задача Д1 - на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение основной задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение точки (груза) на участке АВ, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке АВ или длину этого участка, определить скорость груза в точке В. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке ВС. После этого нужно составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения груза на участке ВС тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке В, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда задана длина l участка, целесообразно перейти к переменному х, учтя, что .

На первом участке, где все силы постоянны, можно воспользоваться и теоремами об изменении количества движения или кинетической энергии точки.

Таблица Д1

	Номер	m, кг	v0, м/с	Q, H	l, м	t1, c	Fx, H
	условия
	0	2.4	12	5	1.5	-	4sin(4t)
	1	2	20	6	-	2.5	-5cos(4t)
	2	8	10	16	4	-	6t2
	3	1.8	24	5	-	2	-2cos(2t)
	4	6	15	12	5	-	-5sin(2t)
	5	4.5	22	9	-	3	3t
	6	4	12	10	2.5	-	6cos(4t)
	7	1.6	18	4	-	2	-3sin(4t)
	8	4.8	10	10	4	-	4cos(2t)
	9	3	22	9	-	3	4sin(2t)

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой m действуют сила тяжести и постоянная сила Q; расстояние от точки А, где v = v₀, до точки В равно l. На наклонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах.




Дано: m = 2 кг, Q=4 Н

v₀ = 5 м/с, l = 2.5 м, F_x = 16sin(4t).

Определить: x= f(t) - закон движения груза на участке ВС.

Решение. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы P = mg и R. Проводим ось А_Z и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось :
или (1)
Далее находим : P_Z = P = mg, Учтя , что v_z = v, получим
(2)

Разделяя в уравнении (2) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим
.
По начальным условиям при z = 0 v = v₀, что дает С₁ = 12,5

В результате находим

(3)
Полагая в равенстве (3) z = l = 2.5 м , определим скорость v_B груза в точке В :
= 8,06 м/с.
Теперь рассмотрим движение груза на участке ВС; найденная скорость v_B будет для движения на этом участке начальной скоростью (v₀ = v_B). Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы P = mg , N и F.

Проведем из точки В ось ВХ и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось :
. (4)
Так как Р_х = Psin30 = 0.5 mg , N_x = 0 , F_x = 16sin(4t) , то уравнение (4) примет вид

.

Разделив обе части равенства на m = 2 кг и полагая опять g  10 м/с² , получим

.
Умножая обе части уравнения на dt и интегрируя, найдем
v_x = 5t - 2cos(4t) + C₂ .
Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 v_x = v₀ = v_B ., Подставляя эти величины в (11), получим
С₂ = v_B + 2cos0 = 8,06 + 2 =10,06
Умножая здесь обе части на dt и снова интегрируя, найдем

x = 2.5 t² - 0.5sin(4t) + 10,06t + C₃

Так как при t = 0 x = 0 , то С₃ = 0 и окончательно искомый закон движения груза будет x = 2.5t² + 10,06t - 0.5sin(4t)
Задача Д2
Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты массой m₁= 18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m₂=6 кг (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В момент времени t₀ = 0, когда скорость плиты u₀ = 2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.

На рис. 0-3 желоб KE прямолинейный и при движении груза расстояние S = AD изменяется по закону S = f₁(t), а на рис. 4-9 желоб – окружность радиуса R = 0,8 м и при движении груза  = AC₁D изменяется по закону  = f₂(t). В табл. Д2 эти зависимости даны отдельно для рис. 0 и 1, для рис. 2и3 и т.д., где S выражено в метрах,  - в радианах, t – в секундах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями определить вертикальную реакцию направляющих и скорость плиты при t=1c.

Таблица Д2

Номер условия	S = f1(t)	 = f2(t)
	Рис.0-3	Рис. 4-9
0	0,8 sin (t/3)	t/3
1	1,2 cos (t/2)	t/4
2	0,6 (2t2-1)	t/6
3	0,4 sin (t/6)	2t/3
4	0,5 cos (t/6)	(1+t)/6
5	0,6 sin (t/4)	(t/3-1)/4
6	0,8 (2-3t2)	(t-1)/2
7	0,6 cos (t/3)	(t+1)/3
8	1,2 sin (t/6)	(t-1)/6
9	0,8 cos (t/4)	(t+1)/6

Указания. Задача Д2 – на применение теоремы о движении центра масс (для определения N = f(t)) и на применение теоремы об изменение количества движения системы (для определения u = f(t)).

Пример Д2. Прямоугольная вертикальная плиты массой m₁, движется вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д2). В момент времени t₀ = 0, когда скорость плиты u₀ = 1 м/с, груз D массой m₂ под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты окружности радиуса R = 1 м по закону  = AC₁D.

Д а н о: m₁= 15 кг, m₂=5 кг, u₀ = 1 м/с, R = 1 м,  =t²/6 рад (t – в секундах). Определить вертикальную реакцию направляющих и скорость плиты при t=1c.


Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты и груза D в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести и реакцию направляющих . Проведем координатные оси Оxy так, чтобы ось y проходила через точку С₁₀, где находился центр масс плиты в момент времени t₀ = 0.

а) Определение реакции N. Для определения N = f(t) воспользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальные уравнения движения центра масс системы в проекции на вертикальную ось у (рис. Д2):

или (1)

Отсюда получим, учтя, что P₁=m₁g:
(2)
По формуле определяющей ординату y_c центра масс системы,
где ,
получим

или

Продифференцировав обе части этого равенства по времени, найдем

Подставив это значение в уравнение (2), получим

При t=1c, N=194 H.

б) Определение скорости u. Чтобы определить u воспользуемся теоремой об изменении количества движения механической системы в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д2), то и теорема дает

откуда (3)

Для рассматриваемой механической системы

,
где и - количества движения вертикальной плиты и груза D соответственно (- скорость тележки, -скорость груза по отношению к осям 0xy).

Для определения рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к вертикальной плите 1 относительным, а движение самой вертикальной плиты 1 – переносным.
При t=0 , (4)
так как относительная скорость точки D равна нулю.
При t=1с ,,
(5)
Подставив (4) и (5) в (3) находим
. При t=1c, U₁=1,13 м/с.
Задача Д3
Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1) и ступенчатых шкивов 3 и 4 с радиусами ступеней R₃=0,3 м, r₃=0,1 м, R₄=0,2 м, r₄=0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д3.0-Д3.9, табл. Д3). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием постоянной силы F система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 3 и 4 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно М₃ и М₄. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно s₁. Искомая величина указана в столбце “Найти” таблицы, где обозначено: v₁ – скорость груза 1, ₃ - угловая скорость тела 3 и т.д.

Таблица Д3

Номер условия	m1, кг	m2, кг	m3, кг	m4, кг	M3, Нм	M4, Нм	F, H	s1, м	Найти
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	2 6 0 0 8 8 0 0 6 0	0 0 4 2 0 0 6 4 0 4	6 0 8 0 6 0 8 0 0 10	0 8 0 10 0 6 0 10 8 0	0 0,6 0 0,3 0 0,9 0 0,6 0,3 0	0,8 0 0,4 0 0,6 0 0,8 0 0 0,4	150 120 180 140 130 140 160 130 140 150	1,0 1,2 0,8 0,6 1,4 1,6 1,0 0,8 1,6 1,4	v1 4 v2 v2 4 v1 4 3 v1 v2

Указания. Задача Д3 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел: эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При определении работы все перемещения следует выразить через заданное перемещение s₁, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями. Когда по данным таблицы m₂=0, груз 2 на чертеже не изображать; шкивы 3 и 4 всегда входят в систему.

Пример Д3. Механическая система состоит из грузов 1 массой 4 кг и 2 массой 6 кг (коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1) и ступенчатого шкива 3 массой 8 кг с радиусами ступеней R₃=0,3 м, r₃=0,1 м, (массу шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д2). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Под действием постоянной силы F=50 Н система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив 3 действует постоянный момент сил сопротивлений, равный М =0,6 НМ.

Определить значение искомой скорости первого груза в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно 1 м.


Рис. Д3
Решение. Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы: для неизменяемой системы изменение кинетической энергии при ее некотором перемещении равно сумме работ внешних сил :
.
Кинетическая энергия системы в начальный момент времени Т₀=0, так как система находилась в покое.

Кинетическая энергия системы в конечный момент времени равна сумме кинетической энергии всех входящих в нее тел:
Т=Т₁+Т₂+Т₃,
где , -кинетическая энергия тел 1 и 2, совершающих поступательное движение,

- кинетическая энергия тела 3, совершающего вращательное движение.

Находим соотношение между скоростями:

Осевой момент инерции тела 3 находится так же, как и однородного кольца:

,
так как масса распределена по его внешнему ободу)

Подставляя эти значения в формулу кинетической энергии, получим:



Подставляя значения масс тела, получим:

Вычисляем сумму работ внешних сил:

A(F)=FS₁=50 Дж – работа постоянной силы F,
А(Р₁)= m₁gh= m₁gS₁sinДж работа силы тяжести тела 1,

(h- вертикальное перемещение тела 1),
₃ S₁/R₃= - 2 ДЖ -работа вращающего момента,

(₃ - угол поворота тела 3),
A(F_тр1)= -F_тр1S₁=-fN₁S₁=-fm₁gcosS₁Дж -работа силы трения, приложенной к телу 1, (N₁= m₁gcos- нормальная реакция плоскости, на которой расположено тело 1),
A(F_тр2)= -F_тр2S₂=-fN₂S₂=-fm₂gS₁/3Дж- работа силы трения, приложенной к телу 2, (N₂ =m₂g - нормальная реакция плоскости, на которой расположено тело 1).
Работа остальных внешних сил - сил Р₂, Р₃, N₁, N₂ ,N₃ равна нулю, так как силы Р₂, N₁, N₂ перпендикулярны направлению перемещения, а силы Р₃ и N₃ приложены в неподвижной точке.
Подставляя значения определяем сумму работ внешних сил:
Дж.
Подставляя значения кинетической энергии и работы внешних сил в теорему об изменении кинетической энергии получим:
, откуда .

Задача Д4

По условию задачи Д3 найти ускорения грузов и угловые ускорения блоков, входящих в систему, а также силы натяжения нитей, связывающих тела системы.

Указания. Для определения ускорений можно использовать теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме или общее уравнение динамики.

Для определения силы натяжения нитей целесообразно использовать принцип Даламбера, при этом к каждому телу, которое движется поступательно приложить силу инерции, а к вращающимся телам –моменты инерции, после чего составить уравнения равновесия.
Пример Д4. Механическая система состоит из грузов 1 массой 4 кг и 2 массой 6 кг (коэффициент трения грузов о плоскость f=0,1) и ступенчатого шкива 3 массой 8 кг с радиусами ступеней R₃=0,3 м, r₃=0,1 м, (массу шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д4). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Под действием постоянной силы F=50 Н система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив 3 действует постоянный момент сил сопротивлений, равный М =0,6 НМ.

Определить ускорения грузов и угловое ускорение блока, а также силы натяжения нитей (рис.Д4,а).


Рис. Д4
Решение. Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы: для неизменяемой системы изменение кинетической энергии при ее некотором перемещении равно сумме работ внешних сил :
. (1)
Так как Т₀=0, то формула (1) примет вид:
. (2)
Кинетическая энергия системы в произвольный момент времени определена в примере Д3 в зависимости от скорости первого тела:
(3)
Сумму работ выразим как функцию перемещения S₁
.
Используя данные, полученные в примере Д3, имеем:
(F+ m₁g sin-/R₃ -fm₁gcos-fm₂g/3) S₁=75,1S₁. (4)
Подставляя значения кинетической энергии и работы в формулу (2) получим

(5)
Продифференцируем (5) по времени
, откуда а₁=71,5/12=5,96 м/с².
Ускорения остальных тел найдем, учитывая, что зависимости между ускорениями будут такие же, как и между скоростями.
а₂=а₁/3=1,99 м/с², =19,9 1/с².
Для определения натяжения нитей, используем принцип Даламбера.

Для это рассмотрим равновесие тел 1 и 2, прикладывая к ним силы инерции 23,8Н, 11,9Н. Направление сил инерции – противоположно соответственным ускорениям .

Проектируя уравновешенную систему сил, приложенных к телу 1 на ось Z (рис.Д4, б) получим:

, откуда=51,3Н.

Для системы сил, приложенных к телу 2 составим уравнение проекций на ось Х (рис.Д4,в)