теория вероятности и статистика. Методическое пособие для второго курса студентов всех специальностей
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
Тема с решениями для самостоятельного выполнения Раздел I. Теория вероятностей 1. Классификация событий 1.1, 1.10–1.16 1.37–1.49 2. Основные теоремы 1.17–1.31, 1.34, 1.35 1.53–1.78 3. Повторные неза- висимые испытания 2.1–2.12 2.13–2.34 4. Дискретные слу- чайные величины 3.1–3.10, 3.18, 3.19а, 3.20–22, 4.1, 4.2, 4.5 3.25–3.46, 3.49–3.61, 4.11–4.16 5. Непрерывные случайные величи- ны. Нормальный закон распределения 3.11–3.14, 3.24, 4.9 3.47, 3.48, 3.62–3.66, 4.19–4.23 6. Двумерные (n-мер- ные) случайные ве- личины 5.2, 5.5 5.10, 5.14 7. Закон больших чисел 6.1–6.4, 6.6–6.8 6.9–6.22 Раздел II. Математическая статистика 8. Вариационные ряды 8.2, 8.3, 8.6, 8.8 8.10–8.12 9. Основы выбороч- ного метода 9.6, 9.7, 9.10–9.13 9.19–9.27, 9.30 10. Элементы про- верки статистиче- ских гипотез 10.12 10.28–10.30 11. Элементы тео- рии корреляции 12.1–12.6 12.14–12.18 23 «Теория вероятностей», а контрольная работа № 4 — материал раз дела «Математическая статистика». Обе контрольные работы (№ 3 и № 4) студенты и вечерних и дневных групп выполняют дома по приведенным в данном посо бии вариантам и направляют в институт для проверки в сроки, уста новленные индивидуальным графиком студента. Однако эти сроки являются крайними. Поэтому, чтобы работа была своевременно проверена, при необходимости доработана и сдана повторно, ее над лежит выслать значительно раньше указанного срока. Студентам дневных групп рекомендуется во время установочной (зимней экзаменационной) сессии вчерне выполнить домашнюю контрольную работу № 3 (№ 4), чтобы получить консультацию по возникшим вопросам. В течение двух недель после окончания сес сии контрольная работа должна быть завершена и представлена на проверку. Если контрольная работа имеет существенные недочеты и тре буется повторное решение задач, то она получает оценку «Не допус кается к собеседованию». Такую работу необходимо переделать в со ответствии с замечаниями преподавателя, проверившего работу. Ра бота выполняется в той же (если есть место) или в новой тетради с надписью «Повторная» и вместе с первоначальной работой на правляется для проверки. На обложке тетради необходимо указать фамилию преподавателя, которым работа ранее была не зачтена. Если работа оценивается положительно, то на ней делается за пись «Допускается к собеседованию». При этом в работе могут иметь место отдельные недочеты или ошибки, которые следует устранить. Выполненную работу над ошибками необходимо представить пре подавателю на собеседовании. Собеседование проходят все студенты по каждой контрольной работе, оцененной положительно. Время проведения собеседования устанавливается территориальным подразделением (филиалом). Если со студентом дневной группы собеседование не проводилось в межсессионный период, то оно будет проведено во время экзамена ционной сессии. В ходе собеседования проверяется самостоятель ность выполнения работы, выявляется знание основных теоретичес ких положений учебно программного материала, охватываемого данной работой. 24 По результатам собеседования ставится зачет или незачет. К эк замену допускаются только те студенты, которые успешно прошли собеседование по двум контрольным работам (№ 3 и № 4). Замечание. В соответствии с учебным планом по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» может быть предусмотрено компьютерное тестирование. В этом случае допол нительным обязательным условием допуска к экзамену является положительная оценка студентов на тестировании. Основные требования к выполнению и оформлению контрольной работы Прежде чем приступить к решению задачи, необходимо перепи сать ее условие, а затем после слова «Решение» привести решение, к каждому этапу которого должны быть даны развернутые объясне ния и описание вводимых обозначений. Используемые формулы и теоремы должны записываться с необходимыми пояснениями. Окончательный ответ следует выделить и сформулировать словесно. Все расчеты нужно проводить тщательно, применяя правила приближенных вычислений 1 . Учитывая, что используемые при ре шении задач таблицы являются четырехзначными, все промежуточ ные вычисления следует проводить с четырьмя верными знаками после запятой, а окончательный ответ – дать с тремя верными зна ками, правильно округлив полученный до этого результат. При выполнении громоздких расчетов, связанных с обработкой вариационных рядов и корреляционных таблиц, рекомендуется вос пользоваться упрощенной схемой вычислений [1, § 8.4, 12.2]. Прежде чем приступить к решению задачи 2 контрольной работы № 4, озна комьтесь с замечанием, приведенным в учебнике [1, § 10.7]. В конце работы указывается список использованной литерату ры, ставятся дата ее окончания и подпись. Поля в тетради, в которой выполняется работа, должны быть не менее 3 см. 1 Математический анализ и линейная алгебра: учебно методическое пособие для студентов I курса всех специальностей и слушателей факультета непре рывного обучения / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Вузовский учебник, 2010. – С. 9, 10. 25 Зачетные контрольные работы хранятся у студента и обяза тельно предъявляются на экзамене. В случае успешной сдачи экза мена эти работы остаются у экзаменатора. Ниже приведены варианты заданий контрольных работ № 3 и № 4. Индивидуальный номер варианта контрольной работы соответ ствует последней цифре номера личного дела студента, который со впадает с номером зачетной книжки и студенческого билета. Контрольная работа не рассматривается, если ее вариант не со впадает с последней цифрой номера личного дела студента или она выполнена по вариантам прошлых лет. Варианты контрольных работ 1 Вариант 1 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1) Контрольная работа № 3 1. Из 40 вопросов курса высшей математики студент знает 32. На экзамене ему случайным образом предлагаются два вопроса. Какова вероятность того, что студент ответит правильно: а) хотя бы на один вопрос; б) на оба вопроса? 2. При высаживании рассады помидоров только 80% приживается. Найти вероятность того, что из шести высаженных растений приживется не менее пяти. 3. Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероят ностью 0,2. Найти вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа: а) купят газету 90 человек; б) не купят газету от 300 до 340 человек (включительно). 4. Пульт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Веро ятность поступления сигнала с этих объектов составляет 0,2, 0,3 и 0,6 соответственно. 1 Напоминаем, что номер личного дела студента совпадает с номером его зачет ной книжки и студенческого билета. 26 Составить закон распределения случайной величины – числа объектов, с которых поступит сигнал. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид: 0 при 1, 1 ( ) при 1 , 4 0 при x x x b x b Найти: а) параметр b; б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х; в) функцию распределения F(x) и построить ее график. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке [1,5; 4,5]. Вычислить эту вероятность с помощью функции распределе ния. Объяснить различие результатов. Контрольная работа № 4 1. С целью определения средней продолжительности обслужи вания клиентов в пенсионном фонде, число клиентов которого очень велико, по схеме собственно случайной бесповторной выборки про ведено обследование 100 клиентов. Результаты обследования пред ставлены в таблице. Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9946 заключено среднее время обслуживания всех клиентов пенсионного фонда; Время обслуживания, мин Менее 2 2–4 4–6 6–8 8–10 10–12 Более 12 Итого Число клиентов 6 10 21 39 15 6 3 100 27 б) вероятность того, что доля всех клиентов фонда с продолжи тельностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине); в) объем повторной выборки, при котором с вероятностью 0,9907 можно утверждать, что доля всех клиентов фонда с продолжи тельностью обслуживания менее 6 минут отличается от доли таких клиентов в выборке не более чем на 10% (по абсолютной величине). 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай ная величина Х – время обслуживания клиентов – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эм пирического распределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 50 предприятий пищевой промышленности по степени автоматизации производства Х (%) и росту производитель ности труда Y (%) представлено в таблице. Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; у х 5–9 9–13 13–17 17–21 21–25 Итого 15–21 3 2 1 6 21–27 1 2 3 2 8 27–33 2 7 3 12 33–39 2 5 8 15 39–45 2 2 1 5 45–51 2 2 4 Итого 4 8 18 17 3 50 28 в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить рост производительности труда при степени автоматизации произ водства 43%. Вариант 2 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2) Контрольная работа № 3 1. На складе имеется 20 приборов, из которых два неисправны. При отправке потребителю проверяется исправность приборов. Найти вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными. 2. В типографии имеется пять плоскопечатных машин. Для каж дой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает: а) две машины; б) хотя бы одна машина. 3. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров. Найти: а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высше го качества; б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества. 4. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отби рают две детали. Составить закон распределения случайной величины – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения. 5. Две непрерывные случайные величины заданы функциями распределения: 1 0 при 0, ( ) при 0 3, 3 при 3, x x F x x x 2 0 при 0, ( ) при 0 5, 5 1 при 5. x x F x x x 1 29 Найти математические ожидания этих величин. Для какой из них вероятность попадания в интервал (2; 4) больше? Используя неравенство Маркова, оценить для каждой случай ной величины вероятность того, что она примет значение: а) больше 2; б) не больше 3. Контрольная работа № 4 1. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно слу чайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в тече ние года. Полученные данные представлены в таблице. Найти: а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на боль ничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней; в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б)) можно гарантировать с вероятностью 0,98. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уров не значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная ве личина Х – число дней пребывания сотрудников предприятия на больничном листе – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического рас пределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 110 образцов полимерных композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов Х (%) и водопогло щению Y (%) представлено в таблице. Количество дней пребывания на больничном листе Менее 3 3–5 5–7 7–9 9–11 Более 11 Итого Число сотрудников 6 13 24 39 8 10 100 30 Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содер жательную интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах, содержащих 35% неф тешламов. Вариант 3 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 3) Контрольная работа № 3 1. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработа ет первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) два устройства; в) хотя бы одно устройство. у х 15–25 25–35 35–45 45–55 55–65 65–75 Итого 5–15 17 4 21 15–25 3 18 3 24 25–35 2 15 5 22 35–45 3 13 7 23 45–55 6 14 20 Итого 20 24 21 18 13 14 110 31 2. В каждом испытании некоторое событие А происходит с веро ятностью р = 0,5. Произведено 1600 независимых испытаний. Найти границы для частости, симметричные относительно р, которые можно гарантировать с вероятностью 0,95. 3. Каждый пятый клиент банка приходит брать проценты с вклада. Сейчас в банке ожидают своей очереди обслуживания пять человек. Составить закон распределения числа клиентов, которые при шли снять проценты с вклада. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 4. На двух станках получают детали одинаковой номенклатуры. Случайные величины X и Y – число бракованных деталей в партиях деталей за смену, произведенных на каждом из станков, – характери зуются следующими законами распределения: X: Y: Составить закон распределения случайной величины Z – обще го числа бракованных деталей в объединенной партии деталей, про изведенных на двух станках. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения. 5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид: 2 18 1 3 2 x a x e Известно, что вероятность ( 4) 0,5 P X Найти: а) параметр a; б) дисперсию D(Х); в) вероятность (2 5) P Х ; г) функции распределения F(x). Контрольная работа № 4 1. В некотором городе по схеме собственно случайной беспов торной выборки было обследовано 80 магазинов розничной торгов х i 1 2 3 p i 0,3 0,5 0,2 y j 0 1 2 p j 0,6 0,3 0,1 32 ли из 2500 с целью изучения объема розничного товарооборота. По лучены следующие данные. Найти: а) вероятность того, что средний объем розничного товарооборо та во всех магазинах города отличается от среднего объема рознич ного товарооборота, полученного в выборке, не более чем на 4 у.е. (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,98 заключена доля ма газинов с объемом розничного товарооборота от 60 до 90 у.е.; в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема розничного товарооборота (см. п. а) можно гаран тировать с вероятностью 0,95. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай ная величина Х – объем розничного товарооборота – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического рас пределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Имеются следующие выборочные данные о рыночной стоимо сти квартир Y (тыс. у.е.) и их общей площади Х (м 2 ). Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. Товарооборот, у.е. Менее 60 60–70 70–80 80–90 90–100 Более 100 Итого Число магазинов 12 19 23 18 5 3 80 у х 13–18 18–23 23–28 28–33 33–38 Итого 33–49 4 2 1 7 49–65 2 6 4 1 13 65–81 1 4 9 4 1 19 81–97 3 6 3 12 97–113 1 3 5 9 Итого 7 12 18 14 9 60 33 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить стоимость квартиры общей площадью 75 м 2 Вариант 4 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 4) Контрольная работа № 3 1. В магазине в течение дня было продано 20 из 25 микроволно вых печей трех различных производителей, имевшихся в количе ствах 5, 7 и 13 штук. Какова вероятность того, что остались нераспроданными микро волновые печи одной марки, если вероятность быть проданной для каждой марки печи является одинаковой? 2. По статистике, в среднем каждая четвертая семья в регионе имеет компьютер. Найти вероятность того, что из восьми наудачу выбранных се мей имеют компьютер: а) две семьи; б) хотя бы две семьи. 3. Доля изделий высшего качества некоторой массовой продук ции составляет 40%. Случайным образом отобрано 250 изделий. Найти вероятность того, что: а) 120 изделий будут высшего качества; б) изделий высшего качества будет не менее 90 и не более 120. 4. Двигаясь по маршруту, автомобиль преодолевает два регули руемых перекрестка. Первый перекресток он преодолевает без оста новки с вероятностью 0,4 и при этом условии второй перекресток проезжает без остановки с вероятностью 0,3. Если же на первом пе 34 рекрестке автомобиль совершил остановку, то второй он проезжает без остановки с вероятностью 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х – числа перекрестков, преодолеваемых автомобилем без остановки. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения. 5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид: 2 0 при 0, ( ) при 0 2, 0 при 2. x x ax x x Найти: а) параметр а; б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х; в) функцию распределения F(x). С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке [1; 2]. Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов. Контрольная работа № 4 1. В результате выборочного обследования российских автомо билей, обслуживающихся в автосервисе по гарантии, по схеме соб ственно случайной бесповторной выборки из 280 автомобилей были отобраны 60. Полученные данные о пробеге автомобилей с момента покупки до первого гарантийного ремонта представлены в таблице. Найти: а) вероятность того, что средний пробег всех автомобилей отли чается от среднего пробега автомобилей в выборке не более чем на 400 км (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля ав томобилей, пробег которых составляет менее 3 тыс. км; Пробег, тыс. км Менее 1 1–2 2–3 3–4 4–5 5–6 Более 6 Итого Число автомобилей 3 5 9 16 13 8 6 60 35 в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б), можно гарантировать с вероятностью 0,9876. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай ная величина Х – средний пробег автомобиля до гарантийного ре монта – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответству ющую нормальную кривую. 3. Распределение 60 банков по величине процентной ставки Х (%) и размеру выданных кредитов Y (млн руб.) представлено в таблице. Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить средний размер выданного банком кредита, процентная ставка кото рого равна 16%. y х 2–5 5–8 8–11 11–14 14–17 Итого 11–13 1 6 7 13–15 4 7 3 14 15–17 1 11 5 1 18 17–19 4 5 2 11 19–21 8 2 10 Итого 12 8 17 13 10 60 36 Вариант 5 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 5) Контрольная работа № 3 1. Ребенок играет кубиками, на которых написаны буквы: О, А, К, И, А, Р, Ш. Найти вероятность того, что произвольно поставленные в ряд пять букв образуют слово «ШАРИК». 2. При тестировании качества радиодеталей установлено, что на каждые 10 000 радиодеталей в среднем приходится четыре брако ванных. Определить вероятность того, что при проверке 5000 радиодета лей будет обнаружено: а) не менее трех бракованных деталей; б) не менее одной и не более трех бракованных деталей. 3. Вероятность гибели саженца составляет 0,4. Составить закон распределения числа прижившихся саженцев из имеющихся четырех. Найти математическое ожидание, диспер сию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. 4. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределения: X: Y: Найти вероятности 4 ( ) P X и 3 ( ) P Y . Составить закон распре деления случайной величины 2 3 ( ) Z X Y и проверить свойство ма тематического ожидания 2 3 2 6 ( ) ( ) ( ) ( ) M Х Y M X M Y M X 5. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид: 0 при 0, ( ) при 0 2, 2 0 при 2. x x x x x х i –1 4 p i 0,3 ? y j –2 0 3 p j 0,1 0,4 ? 37 Найти: а) функцию распределения F(x); б) математическое ожидание M(Х) и дисперсию D(Х); в) вероятность 0 1 ( ) P Х Построить графики функций ϕ(x) и F(x). С помощью неравенства Маркова оценить вероятности того, что случайная величина Х примет значения: а) больше 6; б) не больше 5/3. Найти те же вероятности с помощью функции распределения и объяснить различие результатов. Контрольная работа № 4 1. В филиале заочного вуза обучается 2000 студентов. Для изуче ния стажа работы студентов по специальности по схеме собственно случайной бесповторной выборки отобрано 100 студентов. Получен ные данные о стаже работы студентов по специальности представле ны в таблице. Найти: а) вероятность того, что доля всех студентов филиала, имеющих стаж работы менее шести лет, отличается от выборочной доли таких студентов не более чем на 5% (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,997 заключен средний стаж работы по специальности всех студентов филиала; в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего стажа работы по специальности (см. п. б) можно гаранти ровать с вероятностью 0,9898. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай Стаж работы по специаль- ности, лет Менее 2 2–4 4–6 6–8 8–10 10–12 Более 12 Итого Количество студентов 10 19 24 27 12 5 3 100 38 ная величина Х – стаж работы студентов по специальности – рас пределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического рас пределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 100 предприятий по количеству работников Y (чел.) и величине средней месячной надбавки к заработной плате Х (%) представлено в таблице. Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю месячную надбавку к заработной плате при числе работ ников предприятия 46 человек. у х 10–20 20–30 30–40 40–50 50–60 Итого 7,5–12,5 6 4 10 12,5–17,5 6 6 2 14 17,5–22,5 10 2 12 22,5–27,5 3 6 8 2 19 27,5–32,5 4 11 10 25 32,5–37,5 10 6 4 20 Итого 17 23 38 16 6 100 39 Вариант 6 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 6) Контрольная работа № 3 1. Вероятности того, что каждый из трех кассиров занят обслу живанием покупателей, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент заняты обслужи ванием покупателей: а) все кассиры; б) только один кассир; в) хотя бы один кассир. 2. На заочном отделении вуза 80% всех студентов работают по специальности. Какова вероятность того, что из пяти отобранных случайным образом студентов по специальности работают: а) два студента; б) хотя бы один студент? 3. На почту поступило 8000 писем. Вероятность того, что на случайно взятом конверте отсутствует почтовый индекс, равна 0,0005. Найти вероятность того, что почтовый индекс отсутствует: а) на трех конвертах; б) не менее чем на трех конвертах. 4. У торгового агента имеется пять адресов потенциальных по купателей, к которым он обращается с предложением приобрести реализуемый его фирмой товар. Вероятность согласия потенциаль ных покупателей оценивается соответственно как 0,5; 0,4; 0,4; 0,3; 0,25. Агент обращается к ним в указанном порядке до тех пор, пока кто нибудь не согласится приобрести товар. Составить закон распределения случайной величины – числа покупателей, к которым придется обратиться торговому агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины. 5. Плотность вероятности нормально распределенной случай ной величины Х имеет вид: 2 1 8 1 ( ) 2 2 x x e 40 Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклоне ние случайной величины Х; б) вероятность 1 0 ( ) P Х ; в) вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания не превысит 2,5 (по абсолютной величине). Контрольная работа № 4 1. Имеются выборочные данные о распределении вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке города. Найти: а) вероятность того, что средний размер вклада в Сбербанке от личается от среднего размера вклада в выборке не более чем на 5 тыс. руб. (по абсолютной величине); б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля вкладов, размер которых менее 60 тыс. руб.; в) объем повторной выборки, при которой те же границы для доли вкладов (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных данных о рассматриваемой доле нет. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай ная величина Х – размер вклада в Сбербанке – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического рас пределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 110 предприятий по стоимости основных про изводственных фондов Х (млн руб.) и стоимости произведенной продукции Y (млн руб.) представлено в таблице. Размер вклада, тыс. руб. До 40 40–60 60–80 80–100 Свыше 100 Итого Число вкладов 32 56 92 120 100 400 41 Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить среднюю стоимость произведенной продукции, если стоимость ос новных производственных фондов составляет 45 млн руб. Вариант 7 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 7) Контрольная работа № 3 1. В цехе изготавливаются однотипные изделия на трех станках, которые производят соответственно 50, 35 и 15% изделий от общего их числа. Брак составляет соответственно 2, 3 и 5%. Наудачу взятое изделие из партии нерассортированной продукции оказалось брако ванным. На каком станке вероятнее всего изготовлено это изделие? у х 15–25 25–35 35–45 45–55 55–65 65–75 Итого 5–15 17 4 21 15–25 3 18 3 24 25–35 2 15 5 22 35–45 3 13 7 23 45–55 6 14 20 Итого 20 24 21 18 13 14 110 42 2. Вероятность того, что менеджер фирмы находится в команди ровке, равна 0,7. Найти вероятность того, что из пяти менеджеров находятся в командировке: а) не менее трех менеджеров; б) два менеджера. 3. Проводится испытание нового оружия. Основным показате лем служит частость попадания по стандартной мишени при задан ном комплексе условий. Разработчики утверждают, что вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Какое количество выстрелов по мишени необходимо сделать, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что частость попадания отклонится от вероятности попадания при каждом выст реле не более чем на 0,01 (по абсолютной величине)? 4. В стопке из шести книг три книги по математике и три по информатике. Выбирают наудачу три книги. Составить закон распределения числа книг по математике сре ди отобранных. Найти математическое ожидание и функцию рас пределения этой случайной величины. 5. Плотность вероятности нормально распределенной случай ной величины Х имеет вид: 2 14 32 1 ( ) 4 2 x x e В какой интервал (6; 8) или (18; 20) эта случайная величина по падает с большей вероятностью? Контрольная работа № 4 1. В результате выборочного обследования 100 предприятий ре гиона из 500 по схеме собственно случайной бесповторной выборки получено следующее распределение снижения затрат на производ ство продукции в процентах к предыдущему году. Снижение затрат, % 4–6 6–8 8–10 10–12 12–14 14–16 Итого Число предприятий 6 20 31 24 13 6 100 43 Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,907 будет находиться средний процент снижения затрат на всех 500 предприятиях; б) вероятность того, что доля всех предприятий, затраты кото рых снижены не менее чем на 10%, отличается от доли таких пред приятий в выборке не более чем на 0,04 (по абсолютной величине); в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего процента снижения затрат (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай ная величина Х – процент снижения затрат – распределена по нор мальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпи рического распределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 60 предприятий по объему инвестиций в разви тие производства Х (млн руб.) и получаемой за год прибыли Y (млн руб.) представлено в таблице. Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо мическую интерпретацию полученных уравнений; у х 0–0,8 0,8–1,6 1,6–2,4 2,4–3,2 3,2–4,0 Итого 2–4 2 2 4 4–6 2 7 10 19 6–8 2 17 7 26 8–10 4 3 2 9 10–12 2 2 Итого 4 11 31 10 4 60 44 б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить полученную прибыль при объеме инвестиций 5 млн руб. Вариант 8 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 8) Контрольная работа № 3 1. В двух ящиках находится по 16 деталей. Причем в первом ящи ке находится 9 стандартных деталей, а во втором – 12. Из первого ящика наугад извлекли одну деталь и переложили во второй ящик. Найти вероятность того, что деталь, наугад извлеченная после этого из второго ящика, будет стандартной. 2. Электронная система состоит из 2000 элементов. Вероятность отказа любого из них в течение года равна 0,001 и не зависит от сос тояния других элементов. Найти вероятность отказа за год работы: а) двух элементов; б) не менее двух элементов. 3. При установившемся технологическом процессе среди изготав ливаемой продукции оказывается в среднем 15% бракованных шин. Сколько шин нужно отобрать для проверки, чтобы с вероятнос тью 0,9876 число бракованных шин отклонилось от своего среднего значения не более чем на 15 штук? 4. Даны две случайные величины Х и Y, причем Х имеет биноми альное распределение с параметрами р = 0,2 и n = 5, а Y – распреде ление Пуассона с параметром λ = 0,5. Пусть Z = 2X – Y. Необходимо: а) найти математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z); б) оценить вероятность (1 2) P Z с помощью неравенства Чебышева. 5. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид: 45 0 при 2, ( ) 2 при 2 2,5, 1 при 2,5. x F x a x x x Найти: а) параметр а; б) плотность вероятности ϕ(х); в) математическое ожидание M(Х) и дисперсию D(Х). Построить графики функций ϕ(x) и F(x). Контрольная работа № 4 1. С целью изучения дневной выработки ткани (м) по схеме соб ственно случайной бесповторной выборки было отобрано 100 тка чих комбината из 2000. Результаты обследования представлены в таблице. Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9883 заключена сред няя дневная выработка всех ткачих комбината; б) вероятность того, что доля ткачих комбината, вырабатываю щих в день не менее 85 м ткани, отличается от доли таких ткачих в выборке не более чем на 0,05 (по абсолютной величине); в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для средней дневной выработки (см. п. а) можно гарантировать с веро ятностью 0,9942. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай ная величина Х – дневная выработка ткани – распределена по нор мальному закону. Дневная выработка, м Менее 55 55–65 65–75 75–85 85–95 95–105 Более 105 Итого Число ткачих 8 7 15 35 20 8 7 100 46 Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического рас пределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 50 однотипных предприятий по основным фондам Х (млн руб.) и себестоимости единицы продукции Y (млн руб.) представлено в таблице. Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономи ческую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и на правлении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить себестоимость выпускаемой продукции на предприятии с основны ми фондами 270 млн руб. у х 1 2 3 4 5 Итого 30–80 1 2 3 6 80–130 1 4 3 8 130–180 4 8 3 1 16 180–230 2 5 4 11 230–280 3 4 2 9 Итого 5 13 16 9 7 50 47 Вариант 9 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 9) Контрольная работа № 3 1. Даны отрезки длиной 2, 5, 6 и 10 см. Какова вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков можно построить треугольник? 2. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,8. Что вероятнее: поразить мишень семь раз при десяти выстрелах или 140 раз при двухстах выстрелах? 3. Возможность получения гарантированного урожая в зоне рискованного земледелия характеризуется вероятностью 0,3. Найти интервал, в котором с вероятностью 0,9545 находится число сельскохозяйственных предприятий, получивших гарантиро ванный урожай, из 500 имеющихся на данной территории. 4. Вероятность наличия нужного покупателю товара в первом магазине равна 0,6, во втором – 0,7, в третьем – 0,8, в четвертом – 0,85. Покупатель в указанной последовательности посещает эти ма газины до тех пор, пока не найдет нужный ему товар. Составить закон распределения случайной величины Х – числа магазинов, которые придется посетить покупателю. Найти: а) функцию распределения случайной величины Х и построить ее график; б) ее математическое ожидание и дисперсию. 5. Диаметр выпускаемой детали является нормально распреде ленной случайной величиной с математическим ожиданием а = 5 см и средним квадратическим отклонением σ = 0,02 см. Найти вероятность того, что из двух проверенных деталей диа метр хотя бы одной отклонится от математического ожидания не более чем на 0,04 см (по абсолютной величине). Контрольная работа № 4 1. Для планирования бюджета предприятия на следующий год было проведено выборочное обследование использования амортиза ционного фонда. По схеме собственно случайной бесповторной вы 48 борки из 500 выплат были отобраны 100 и получены следующие данные. Найти: а) вероятность того, что средняя выплата отличается от средней выплаты в выборке не более чем на 100 руб.; б) границы, в которых с вероятностью 0,9281 заключена доля выплат, величина которых не превышает 4000 руб.; в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,9545. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай ная величина Х – величина выплат – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического рас пределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 50 городов по численности населения Х (тыс. чел.) и среднемесячному доходу на одного человека Y (тыс. руб.) пред ставлено в таблице. Величина выплаты, руб. Менее 1000 1000–2000 2000–3000 3000–4000 4000–5000 5000–6000 Итого Число выплат 3 13 33 26 17 8 100 у х 3–4 4–5 5–6 6–7 7–8 Более 8 Итого 30–50 1 1 3 5 50–70 2 5 1 8 70–90 1 1 6 2 2 12 90–110 4 9 13 110–130 2 2 5 9 Более 130 2 1 3 Итого 1 4 15 18 9 3 50 49 Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить сред ний доход на одного человека в городе с населением 100 тыс. человек. Вариант 10 (для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 0) Контрольная работа № 3 1. На первом станке обработано 20 деталей, из них семь с дефек тами, на втором – 30, из них четыре с дефектами, на третьем – 50 де талей, из них 10 с дефектами. Все детали сложены вместе. Наудачу взятая деталь оказалась без дефектов. Какова вероятность того, что она обработана на третьем станке? 2. Сколько семян следует взять, чтобы с вероятностью не менее чем 0,9545 быть уверенным, что частость взошедших семян будет от личаться от вероятности р = 0,9 не более чем на 2% (по абсолютной величине)? 3. Завод «Пино» (г. Новороссийск) отправил в Москву 2000 бу тылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути может разбить ся бутылка, равна 0,002. Какова вероятность того, что в пути будет разбито не более пяти бутылок? 4. Одна из случайных величин (X) задана законом распределения: 50 X: , а другая (Y) имеет биномиальное распределение с параметрами n = 2, p = 0,4. Составить закон распределения их разности. Найти математи ческое ожидание и дисперсию этой случайной величины. 5. Полагая, что длина изготавливаемой детали есть нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием M(X) = 10 и средним квадратическим отклонением σ = 2, найти ве роятность того, что длина наугад взятой детали заключена в интер вале (5; 6). В каких границах (симметричных относительно M(X)) будет заключена длина наугад взятой детали с вероятностью 0,95? Контрольная работа № 4 1. По схеме собственно случайной бесповторной выборки прове дено 10% ное обследование строительных организаций региона по объему выполненных работ. Результаты представлены в таблице. Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен средний объем выполненных работ всех строительных организаций региона; б) вероятность того, что доля всех строительных организаций, объем работ которых составляет не менее 60 млн руб., отличается от доли таких организаций в выборке не более чем на 0,05 (по абсолют ной величине); в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего объема выполненных работ (см. п. а) можно гарантировать с вероятностью 0,9876. 2. По данным задачи 1, используя 2 χ критерий Пирсона, на уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что случай x i 0 1 3 p i 0,2 0,3 0,5 Объем работ, млн руб. Менее 56 56–60 60–64 64–68 68–72 Более 72 Итого Число организаций 9 11 19 30 18 13 100 51 ная величина Х – объем выполненных работ – распределена по нор мальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического рас пределения и соответствующую нормальную кривую. 3. Распределение 100 средних фермерских хозяйств по числу на емных рабочих Х (чел.) и их среднемесячной заработной плате на одного человека Y (тыс. руб.) представлено в таблице. Необходимо: 1. Вычислить групповые средние и i j x y , построить эмпири ческие линии регрессии. 2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует ли нейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать эконо мическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направ лении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднемесячную заработную плату одного рабочего фермерского хозяйства, в котором работает 10 наемных рабочих. у х 10–20 20–30 30–40 40–50 50–60 Свыше 60 Итого 102 10 10 103 6 15 21 104 10 11 8 29 105 8 3 11 106 5 6 11 107 5 9 4 18 Итого 5 14 28 14 14 25 100 52 Содержание Предисловие ..................................................................................................... 3 Литература ....................................................................................................... 4 Содержание дисциплины и методические рекомендации по ее изучению ..................................................................... 5 Раздел I. Теория вероятностей ............................................... 6 Тема 1. Классификация событий ............................................................. 6 Тема 2. Основные теоремы......................................................................... 7 Тема 3. Повторные независимые испытания ....................................... 8 Тема 4. Дискретные случайные величины ............................................ 9 Тема 5. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения ............................................................................... 11 Тема 6. Двумерные (n мерные) случайные величины..................... 12 Тема 7. Закон больших чисел .................................................................. 13 Раздел II. Математическая статистика .................................. 13 Тема 8. Вариационные ряды ................................................................... 13 Тема 9. Основы выборочного метода .................................................... 14 Тема 10. Элементы проверки статистических гипотез ................... 16 Тема 11. Элементы теории корреляции ............................................... 17 Вопросы для самопроверки ....................................................................... 18 Задачи для самоподготовки ....................................................................... 21 53 Указания по выполнению контрольных работ ................................... 22 Основные требования к выполнению и оформлению контрольной работы ...................................................... 24 Варианты контрольных работ ................................................................ 25 Вариант 1 ......................................................................................................... 25 Вариант 2 ......................................................................................................... 28 Вариант 3 ......................................................................................................... 30 Вариант 4 ......................................................................................................... 33 Вариант 5 ......................................................................................................... 36 Вариант 6 ......................................................................................................... 38 Вариант 7 ......................................................................................................... 41 Вариант 8 ......................................................................................................... 43 Вариант 9 ......................................................................................................... 46 Вариант 10 ....................................................................................................... 48 54 Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно методическое пособие для второго курса студентов всех специально стей, студентов бакалавриата всех направлений и слушателей фа культета непрерывного обучения / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ВЗФЭИ, 2010. Редактор Т.А. Балашова Корректор Н.А. Буренок Компьютерная верстка О.В. Белынской ЛР ИД № 00009 от 25.08.99 г. Подписано в печать 25.06.10. Формат 60 ×90 1 / 16 Бумага офсетная. Гарнитура Times. Усл. печ. л. 3,5. Изд. № 1/30 10. Тираж 200 экз. Заказ № 1706. Редакционно издательский отдел Всероссийского заочного финансово экономического института (ВЗФЭИ) Олеко Дундича, 23, Москва, Г 96, ГСП 5, 123995 55 Для заметок 56 Для заметок |