1.3.1._Числовые_характеристики_одномерных_вероятностных_распреде. 1 Числовые характеристики одномерных вероятностных

• Название: 1 Числовые характеристики одномерных вероятностных
• Дата: 25.04.2022
• Размер: 366.45 Kb.
• Имя файла: 1.3.1._Числовые_характеристики_одномерных_вероятностных_распреде.pdf
• Тип: Закон; #495655

1
1.3.1.
Числовые характеристики одномерных вероятностных
распределений
Закон распределения в виде интегральной функции или плотности распре- деления хотя и представляет полную вероятностную картину возможных зна- чений случайной величины и качественную оценку некоторых характеристик
(например, унимодальность, финитность и т. п.), но, всё же, не даёт количе- ственных значений, по которым распределения могут быть сравнены как между собой, так и по части использования их для решения определённых практиче- ских задач.
С другой стороны, в ряде случаев не обязательно знать полностью закон распределения, достаточно иметь ряд параметров, характеризующих случай- ную величину с различных точек зрения. Так, например, при расчёте какой- либо радиотехнической схемы не пользуются законами распределения электри- ческих параметров элементов схемы; в справочниках обычно указываются их
“типичные”, номинальные значения и пределы возможных отклонений реаль- ных значений от номинальных.
В теории вероятностей и её приложениях числовыми характеристиками случайной величины служат моменты распределения, подразделяющиеся на два класса: начальные моменты и центральные моменты.
Для непрерывной случайной величины ξ начальный момент распределения
k-го порядка m
k
определяется выражением
[ ]
( )
k
k
m
x w x dx



 

(1.3.1) в предположении, что несобственный интеграл сходится (есть распределения, например, распределение Коши, для которых некоторые или даже все моменты не существуют). Геометрически, что полезно при визуальной качественной оценке графиков распределений, m
k
можно трактовать как моменты инерции соответствующих порядков плоской фигуры, образованной осью абсцисс и кривой плотности вероятности.
Если случайная величина ξ дискретна и принимает, возможно, бесконеч- ный набор значений x
1
, x
2
, … с соответствующими вероятностями p
1
, p
2
, … , то её k-й начальный момент равен
1
[ ]
k
k
i
i
i
m
x p


 

(1.3.2) в предположении, что ряд сходится абсолютно.

2
Отметим, что если для какого-то распределения существует момент k-го порядка, то это обеспечивает существование всех моментов порядков n < k. Ес- ли же не существует момент k-го порядка, то не существуют и все моменты по- рядков r > k.
Простейшая числовая характеристика случайной величины — начальный момент распределения первого порядка m
1
, определяющий абсциссу центра тя- жести упомянутой плоской фигуры, который называется математическим
ожиданием или средним значением случайной величины. Для математического ожидания часто вводят специальное обозначение
1
E[ξ]. В соответствии с (1.3.1) и (1.3.2),
[ ]
( )
xw x dx



 

E
(1.3.3) для непрерывной случайной величины и
1
[ ]
i
i
i
x p


 

E
(1.3.4) для дискретной случайной величины.
Перечислим основные свойства математического ожидания.

Математическое ожидание имеет размерность самой случайной величины.

Математическое ожидание детерминированной (неслучайной) величины равно этой величине.

Если от исходной случайной величины ξ перейти к случайной величине
η = cξ, где c — детерминированная константа, то эта константа может быть вы- несена за знак математического ожидания:
[ ]
[
]
[ ]
c
c
 
 

E
E
E

Математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (разности) их математических ожиданий:


   
1 2
1 2
   
 

E
E
E
Это свойство обобщается на произвольное число слагаемых.

Математическое ожидание произведения независимых случайных вели- чин равно произведению их математических ожиданий:


   
1 2 1
2
  


E
E
E
Это свойство обобщается на произвольное число слагаемых.
1
E — начальная буква английского слова expectation — ожидание.

3
Как уже было сказано, математическое ожидание характеризует располо- жение центра графика плотности вероятности w
ξ
(x). Медианой распределения называется такое значение x
med
, которое делит пополам площадь под кривой плотности вероятности. Другими словами, медиана есть корень уравнения


med
1 2
F x


(1.3.5)
Математическое ожидание может не существовать, в то время как медиана су- ществует всегда, причём, может быть неоднозначно определённой, например, для дискретных и смешанных распределений. Если существует интервал значе- ний (α; β), на котором F
ξ
(x) = 1/2, то медианой такого распределения может быть объявлена любая точка из этого интервала.
Если медиана характеризует положение центра графика w
ξ
(x), то поведе- ние других частей графика плотности распределения можно количественно описать с помощью квантилей. Квантиль r-го порядка quan,r
x
есть корень урав- нения


quan,r
F x
r


,
0 1
r
 
(1.3.6)
Очевидно, медиана является квантилью порядка 1/2.
Медиана дискретного распределения имеет тот же смысл, что и для непре- рывного: это значение случайной величины, для которого функция распределе- ния равна 1/2. Однако может оказаться, что такого значения (из возможного дискретного набора) не существует. В этом случае медиана, строго говоря, не определена, но иногда для практических целей выбирают “квазимедиану” как ближайшее (справа или слева) к “истинной” медиане возможное значение.
Третьей характеристикой, описывающей особенности закона распределе- ния случайной величины, является уже упомянутая в разд. 1.2.1 мода x
m
— точ- ка локального максимума плотности вероятности. При этом, в зависимости от наличия одного или нескольких таких максимумов, распределение оказывается унимодальным или полимодальным.
При определении моды дискретного распределения составляется ранжи-
рованный ряд, т. е. все возможные значения x
k
располагают в порядке возраста- ния. Тогда некоторое значение x
μ
будет модой, если для соответствующих ве- роятностей выполняются условия
1
p
p



,
1
p
p



(1.3.7)
На рис. 1.13 иллюстрируются соотношения между математическим ожида- нием, медианой и модой распределения непрерывной случайной величины. Для унимодального и симметричного закона распределения все три показателя сов-

4 падают; разница проявляется в случае асимметричных и полимодальных рас- пределений.
Рис. 1.13. Соотношения между математическим ожиданием, медианой и модой для непрерывного распределения
Плотность вероятности имеет положительную асимметрию, если мода предшествует медиане, при этом большая часть распределения оказывается справа, а более крутой спад — слева. Наоборот, асимметрия отрицательна, если мода располагается за медианой, тогда большая часть распределения оказыва- ется слева, а более крутой спад — справа.
Из соотношений (1.3.3) и (1.3.4) видно, что для симметричных распределе- ний математическое ожидание, а также все моменты нечётных порядков равны нулю. Если же это не так, то всегда можно перейти к центрированной случай- ной величине (обозначаемой кружком сверху) o
[ ]
    
E
,
(1.3.8) имеющей, очевидно, нулевое среднее.
По аналогии с (1.3.1) и (1.3.2) введём центральные моменты k-го порядка
μ
k
, представляющие собой начальные моменты центрированной случайной ве- личины:


[ ]
[ ]
( )
k
k
x
w x dx



  
 

E
(1.3.9) для непрерывного и


1
[ ]
[ ]
k
k
i
i
i
x
p


  
 

E
(1.3.10) для дискретного случаев.
0 5
10 15 20 25
-0.05 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 5
10 15 20 0.1 0.2 0
x
W

(x), W

(x)
x
m
,

x
med,

E[

]
W

(x)
x
m
,

= x
med,

= E[

]
W

(x)

5
Среди центральных моментов наиболее часто используется центральный момент второго порядка μ
2
, называемый дисперсией и обозначаемый как D[ξ]:


2
[ ]
[ ]
( )
x
w x dx



 
 

D
E
(1.3.11) для непрерывной случайной величины и


2 1
[ ]
[ ]
i
i
i
x
p


 
 

D
E
(1.3.12) для дискретной случайной величины.
Перечислим основные свойства дисперсии.

Дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины.

Дисперсия неотрицательна, причём D[ξ] = 0 тогда и только тогда, когда
ξ является неслучайной величиной.

Постоянный множитель выносится в квадрате за знак дисперсии: если η = cξ, то
2
[ ]
[
]
[ ]
c
c
 
 

D
D
D

Постоянное слагаемое не влияет на значение дисперсии: если η = c + ξ, то
[ ]
[
]
[ ]
c
 
   
D
D
D

Если случайные величины ξ
1
и ξ
2
независимы
2
, то дисперсия суммы или разности этих величин равна сумме дисперсий:


   
1 2
1 2
   
 

D
D
D
Дисперсия характеризует меру разброса (концентрации) значений случай- ной величины относительно её математического ожидания. Поскольку диспер- сия
2
[ ]

  
D
имеет размерность квадрата случайной величины, часто исполь- зуют среднеквадратическое отклонение (СКО) σ
ξ
, имеющее размерность самой случайной величины ξ.
Количественно степень концентрации плотности вероятности w
ξ
(x) в окрестности математического ожидания E[ξ] характеризуется неравенством
Чебышева: для любого ε > 0


2
[ ]
[ ]
P

     

D
E
,
(1.3.13) откуда следует, что
2
В действительности для выполнения свойства аддитивности дисперсии вместо неза- висимости достаточно требование некоррелированности случайных величин (см. далее).

6


2
[ ]
[ ]
[ ]
1
P

          

D
E
E
Отметим, что хотя неравенство Чебышева часто используется в теоретических рассмотрениях, его практическое применение затруднительно, поскольку оно да-
ёт слишком низкую точность.
Центральный и начальный моменты второго порядка связаны соотношени- ем, которое непосредственно следует из (1.3.11) или (1.3.12):
 
 
2 2
 
 
 

 
D
E
E
(1.3.14) и которое является “рабочим” при нахождении дисперсии.
Выше уже говорилось о том, что при несовпадении моды и медианы рас- пределение имеет асимметричный вид. Для количественной оценки асиммет- ричности и сглаженности (заострённости) распределения вводят коэффициент
асимметрии
3
as
3
[ ]
k



D
(1.3.15) и коэффициент эксцесса
4
ex
2 3
[ ]
k




D
(1.3.16)
Нулевое значение k
as означает, что распределение симметрично; в против- ном случае имеет место асимметрия.
Значение коэффициента эксцесса “привязано” к нормальному распределе- нию, для которого k
ex
= 0. Если k
ex
> 0 то плотность распределения в окрестно- стях моды имеет более высокую и более острую вершину, чем плотность нор- мального распределения с такими же средним и дисперсией. Значение k
ex
< 0 указывает на более плоский характер вершины по сравнению с аналогичным нормальным распределением.
Найдём числовые характеристики для некоторых непрерывных и дискрет- ных одномерных распределений.
Равномерное распределение
Непрерывное равномерное распределение описывает ситуацию, при кото- рой равновозможны любые значения из определённого диапазона. Использова- ние такого распределение целесообразно в тех случаях, когда априори ничего не известно о возможных значениях либо сознательно отказываются от априор- ной информации в целях, например, упрощения реализации устройств обработ- ки сигналов.
Для случайной величины ξ, распределённой по равномерному закону

7 1
,
;
( )
0,
,
,
a
x
b
w x
b a
x
a x
b


 








(1.3.17) обозначаемому как
( , )
U a b
, математическое ожидание
[ ]
2
b
a
x
a b
dx
b a

 



E
,
(1.3.18) дисперсия
2 2
2
(
)
[ ]
2 12
b
a
x
a b
b a
dx
b a




 








D
(1.3.19)
Также нетрудно найти начальный момент произвольного порядка:
1 1
[ ]
(
1)(
)
b
k
k
k
k
a
x
b
a
m
dx
b a
k
b a



 





, k = 1, 2, … .
(1.3.20)
Медиана равномерного распределения совпадает с математическим ожи- данием, а, поскольку распределение “предельно плоское”, в качестве моды мо- жет быть выбрано любое значение из промежутка [a; b].
Коэффициент асимметрии равен нулю:
(
)/2 3
3/2 3/2 3
as
3 4
(
)/2 12 1
12 0
2
(
)
(
)
b a
b
a
b a
b
a
k
x
dx
y dy
b a
b a
b a

 
















, а коэффициент эксцесса
(
)/2 4
2 2
4
ex
4 5
(
)/2 12 1
12 3
3 2
(
)
(
)
b a
b
a
b a
b
a
k
x
dx
y dy
b a
b a
b a

 





 
 









5 5
2 5
12 1
6 3
5 2
2 5
(
)
b
a
b
a
b
a









 
  















Равномерное распределение U(0, 1) называется стандартным равномер-
ным распределением, оно, как будет показано далее, во многих случаях являет- ся исходным для получения других распределений и конструирования соответ- ствующих датчиков случайных чисел.
Равновероятное (дискретное равномерное) распределение
Равновероятное распределение, также обозначаемое
( , )
U a b
, является дискретным аналогом непрерывного равномерного распределения и описывает ситуацию, при которой равновозможны, вообще говоря, любые m (m = 2, 3, …) значений случайной величины ξ из указанного диапазона.

8
Рассмотрим частный, но наиболее распространённый на практике случай эквидистантных значений x
k
:
(
1)
k
x
a
k
   
,
1
b a
m

 

,
1, 2,
,
k
m

,
(1.3.21) принимаемых с одинаковой вероятностью
1
k
p
m

,
1, 2,
,
k
m

Математическое ожидание
1
(
1)
[ ]
2
m
k
a
k
a b
m

  

 


E
, дисперсия


2 2
2 1
(
1)
(
) (
1)
[ ]
2 12(
1)
m
k
a
k
b a
b a
m
m
m

  





 








D
(1.3.22)
Медиана распределения совпадает с математическим ожиданием, но мода не существует, поскольку в соотношениях (1.3.7) фигурируют строгие неравен- ства.
При нахождении коэффициента асимметрии
3 3
3
as
3 1
1 1
(
)
(
1)
(2 1)
2 8 (
1)
m
m
k
k
b a
a b
b a
k
a
k
k
m
m
m a
m m









 

 








(1.3.23) нетрудно видеть, что суммируются одинаковые по величине и противополож- ные по знаку значения, так что as
0
k

Вычисление коэффициента эксцесса приводит к следующему значению:
2
ex
2 6(
1)
5(
1)
m
k
m

 

(1.3.24)
Заметим, что, как и следовало ожидать, при m → ∞ характеристики равно- вероятного распределения совпадают с аналогичными характеристиками для равномерного распределения.
Биномиальное распределение
Биномиальное распределение возникает в схеме Бернулли при определении вероятности заданного числа испытаний в последовательной цепочке независи- мых испытаний. В связных задачах биномиальное распределение используется,

9 например, для описания искажений сигналов или логических символов при пе- редаче их по каналу с независимыми ошибками.
Вероятность p
n
(k) того, что в схеме из n последовательных независимых испытаний окажется ровно k (k = 0, 1, …, n) “успехов”, т. е. интересующих наблюдателя исходов, равна
( )
(1
)
k
k
n k
n
n
p k
C p
p



,
(1.3.25) где p — вероятность одиночного исхода, а
!
!(
)!
k
n
n
n
C
k
k n
k
 


 

 
являются биномиальными коэффициентами. Биномиальное распределение с параметрами n и p обычно обозначают B(n, p).
Найдём математическое ожидание:
1 1 (
1)
0 1
(
1)!
(1
)
[ ]
(1
)
(
1)!(
1 (
1))!
k
n
k
n
n
k
k
n k
n
k
k
n
p
p
kC p
p
np
k
n
k

  





 




  


E
1 1
1 0
(
1)!
(1
)
!(
1
)!
m
n
m
n
m
n
p
p
np
m n
m

 





 

Стоящие в сумме слагаемые представляют собой вероятности того, что в по- следовательности из (n – 1) испытания окажется m (m = 0, 1, …, n – 1) исходов, и, очевидно, сумма всех таких вероятностей равна единице. Таким образом,
[ ]
np
 
E
(1.3.26)
При вычислении дисперсии
2 2
2 0
1
!
(1
)
[ ]
(1
)
(
)
(
)
(
1)!(
)!
k
n k
n
n
k
k
n k
n
k
k
kn p
p
k C p
p
np
np
k
n k





 









D
1 1
2 1
(
1)(
1)!
(1
)
(
)
!(
1)!
k
n m
n
m
m
n
p
p
np
np
m n m
 








 

1 1
1 2
0 0
(
1)!
(1
)
(
1)!
(1
)
(1
)
(
)
!(
1
)!
!(
1
)!
k
n
m
k
n m
n
n
m
m
m n
p
p
n
p
p
np
np
p
np
m n
m
m n
m
 













 
 


учтём, что получившаяся первая сумма представляет собой математическое ожидание np, а вторая — сумму всех вероятностей. Тогда
2 2
[ ]
(
)
(1
) (
)
(1
)
np
np
p
np
np
p
 





D
(1.3.27)
Биномиальное распределение при p = 0,5 симметрично, и чем больше p от- лично от 0,5, тем больше асимметрия. В общем случае коэффициент асимметрии as
1
(1
)
k
np
p


,
(1.3.28)

10 коэффициент эксцесса ex
1 6(1
)
(1
)
p
k
np
p




(1.3.29)
Медиана и мода распределения близки к математическому ожиданию, но, во-первых, они должны быть целочисленными значениями (np, вообще говоря, нецелое), а во-вторых, зависят от чётности или нечётности числа n испытаний.
Мода равна
(
1)
n
p





, а медиана выбирается одним из значений
1
np

 
 
,
np
 
 
,
1
np

 
 
, где квадратные скобки
 
 
означают округление вверх (в сторону +∞).
Укажем также, что центральные моменты биномиального распределения свя- заны следующим рекуррентно-дифференциальным соотношением [7]:
1 1
(1
)
r
r
r
d
p
p
nr
dp





 

 




, r = 2, 3, … .
(1.3.30)
Пуассоновское распределение
Дискретное параметрическое пуассоновское распределение используется в теории массового обслуживания, когда требуется обеспечить эффективный ме- ханизм обслуживания на основе очереди заявок, для моделирования различных потоков редких событий, например, для оценки надёжности радиоэлектронной аппаратуры и в других теоретико-вероятностных приложениях. Кроме того, это распределение является аппроксимирующим в схеме Бернулли при малых зна- чениях вероятности единичного исхода, позволяя обойтись без вычисления би- номиальных коэффициентов больших порядков.
Вероятность p
k
того, что случайная величина ξ примет целое неотрица- тельное значение k определяется выражением
(
)
exp(
)
!
k
k
p
P
k
k


 


, k = 0, 1, 2, …,
(1.3.31) где λ > 0 — параметр распределения.
Имеем:
1 0
1 0
[ ]
exp(
)
exp(
)
exp(
)
!
(
1)!
!
k
k
m
k
k
m
k
k
k
m










 
  

 





E
Возникшая бесконечная сумма представляет собой степенное разложение экс- поненты, поэтому

11
[ ]
  
E
(1.3.32)
Аналогичным образом вычисляется дисперсия:
1 2
2 2
0 1
[ ]
exp(
)
exp(
)
!
(
1)!
k
k
k
k
k
k
k
k







 
    

  



D
2 2
2 0
(
1)
exp(
)
!
m
m
m
m


 
 

         

(1.3.33)
Видно, что математическое ожидание и дисперсия для пуассоновского распределения совпадают.
Конфигурация распределения существенно зависит от значения параметра
λ. Так, при λ = 0,5 распределение монотонно убывает; при λ = 2 возникает плоская вершина; при λ = 3,5 имеет место экстремум.
Пуассоновское распределение имеет моду

 
 
(округление в сторону ми- нус бесконечности); медианы, строго говоря, не существует.
Коэффициент асимметрии as
1 /
k


,
(1.3.34) коэффициент эксцесса ex
1 /
k


(1.3.35)
Нормальное (гауссовское) распределение
Нормальное (гауссовское) распределение занимает среди других законов особое положение в связи с его фундаментальным значением и в теории, и на практике. Впервые об этом законе упоминается ещё в работах А. Муавра в
1730 г. как аппроксимирующем распределении в схеме Бернулли, когда вероят- ность единичного исхода близка к 1/2. Впоследствии этот закон распределения исследовался в работах П.-С. Лапласа и, особенно, К.-Ф. Гаусса при разработке им теории измерений и ошибок, за что и получил его имя. Особое положение нормального распределения обусловлено тем, что оно является предельным
(результирующим) для многих других законов при асимптотическом поведе- нии, и это порождает целые классы теоретико-вероятностных задач: законы больших чисел, предельные теоремы и др.
Плотность вероятности (1.2.18) нормального распределения, обозначаемо- го как


2
,
N a


, является двухпараметрической функцией:


2 2
2 1
( )
exp
2 2
x
a
w x


















12
Вычисление математического ожидания и дисперсии согласно (1.3.3) и (1.3.10) показывает, что


2 2
2
[ ]
exp
/ 2 2
x
x a
dx
a







 
 






E
(1.3.36) и




2 2
2 2
2
[ ]
exp
/ 2 2
x
a
x
a
dx










 
 

 




D
,
(1.3.37) т. е. параметры распределения непосредственно являются математическим ожиданием и дисперсией. Распределение
(0, 1)
N
называется стандартным
нормальным распределением.
Отметим, что для нормального распределения медиана и мода совпадают с математическим ожиданием, коэффициенты асимметрии и эксцесса, а также все центральные моменты нечётных порядков равны нулю. Центральные мо- менты чётных порядков равны
2 2
(2 )!
!
2
r
r
r
r




 






, r = 1, 2, … .
(1.3.38)
Распределение Коши
Распределение Коши




2 2
0
( )
b
w x
b
x
x





, b > 0
(1.3.39) является примером непрерывного распределения, для которого не существуют моменты, поскольку несобственный интеграл вида




2 2
0
k
x
dx
b
x
x





расходится для k = 1, 2, … .
Распределение Коши обозначают
0
( , )
C x b
, где x
0
— параметр сдвига, ко- торому равны и медиана, и мода, а b > 0 — параметр масштаба, определяющий
“остроту” вершины. Распределение
(0, 1)
C
называется стандартным распре-
делением Коши.