Фильтры. Методическое пособие по выполнению домашнего задания по тоэ
 Скачать 2.4 Mb.
|
Таблица 1
6. Составим уравнения баланса мощностей для цепи рис. 16 7. Построим потенциальную диаграмму для внешнего контура (см. рис. 16) Пусть . Тогда Приложение РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Выше было показано, что в математическом плане анализ линейных электрических цепей постоянного тока часто сводится к реше нию систем линейных алгебраических уравнений. Причем при следо вании указанным выше рекомендациям системы уравнений для реаль ных цепей получаются совместными и определенными (т.е. имеющи ми единственное решение). При этом число уравнений совпадает с числом неизвестных. Поэтому ниже рассматриваются только такие системы. Основными методами решения такого рода систем являются метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) и метод Крамера. МЕТОД ГАУССА Сущность метода Гаусса заключается в последовательном прео бразовании исходной системы с целью получения системы треуголь ного вида. Пусть дана произвольная система n линейных уравнений с nнеизвестными. (1) Пусть также . Если это не так, то этого можно добиться либо переменой местами уравнений, либо изменением нумерации не известных. Исключим неизвестное из всех уравнений системы (1), кро ме первого. Для этого, умножив обе части первого уравнения на , вычтем их из соответствующих частей второго уравнения, затем, умножив обе части первого на , вычтем их из соответствующих частей третьего уравнения и т.д. Далее аналогичным образом исключим неизвестное из всех уравнений, начиная с третьего. Затем исключим неизвестное из всех уравнений, начиная с четвертого и т.д. Если исходная система (1) совместна и определенна, то в ре зультате таких преобразований получим систему (2) треугольного вида (2) Решение системы (2) найти довольно просто. Действительно, из последнего уравнения системы имеем Подставив найденное значение в предпоследнее уравнение, найдем : и т.д. При реализации метода Гаусса на практике удобно, приводить к треугольному виду не саму систему, а ее расширенную матрицу, выполняя соответствующие преобразования над строками этой мат рицы. Для примера решим методом Гаусса следующую систему: (3) Запишем расширенную матрицу систему и преобразуем ее к треу гольному виду: Последней матрице соответствует следующая система уравнений: Из последнего уравнения имеем: Из четвёртого уравнения Из третьего уравнения Из второго уравнения Из первого уравнения Таким образом, решение исходной системы: МЕТОД КРАМЕРА В основе этого метода лежит следующая теорема. Теорема: Если определитель системы (1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: Определитель системы (1) - это определитель n-ого поряд ка, составленный из коэффициентов при неизвестных Определители получаются из определителя путем замены i-ого столбца столбцом свободных членов системы (1). Например, определитель имеет вид: Таким образом, решение системы n линейных алгебраических ура внений с n неизвестными методом Крамера сводится к вычислению (n-1) определителей n-ото порядка. При вычислении определителей высоких порядков (выше треть его) обычно используются следующие свойства определителей: Свойство 1 Определитель равен сумме произведений всех элементов любой его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. (4) или (5) Формула (4) называется формулой разложения определителя по i-ому столбцу, формула (5) - по j-ой строке. Алгебраическое дополнение элемента равно где - минор элемента , т.е. определитель, полученный из определителя при вычеркивании в нем j-ой строки и i-ого столбца. Т.к. минор - определитель, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного определителя, при разложении определи теля n-ого порядка по столбцу или строке требуется вычислить n определителей (n-1) порядка. Свойство 2 Величина определителя не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответст вующие элементы другой, строки (соответственно, столбца), умно женные на одно и то же число. Например, (6) Свойство 2 при надлежащем выборе множителя позволяет сделать нулевым любой элемент определителя. Так, для того чтобы сделать нулевым второй элемент i-ого столбца определителя в равенстве (6), достаточно взять равным Действуя подобным образом, можно добиться, чтобы все элементы какой-либо строки (или столбца), кроме одного, станут равным нулю. Тогда по свойству (1) получим где - единственный отличный от нуля элемент строки или столбца, - его минор. Таким образом, вычисление определителя n-ого порядка можно свести к вычислению определителя (n-1)-ого порядка. В свою очередь определитель (n-1)-ого порядка сводится к определителю (n-2)-ого порядка и т.д. Для примера решим систему (3) методом Крамера. Определитель этой системы равен В определителе четвёртую строку прибавим к первой, третьей и пятой, ко второй строке прибавим четвёртую строку, умноженную на 2. При этом получим Осуществим разложение данного определителя по четвёртому столбцу В последнем определителе третий столбец, умноженный на (-2), прибавим к четвёртому При вычислении определителя третьего порядка можно пользоваться правилом Саррюса (правилом треугольников), которое условно можно записать следующим образом: Окончательно для определителя получаем Определитель получается заменой в определителе первого столбца столбцом свободных членов системы (3): Аналогично составляются и вычисляются остальные определители Находим, наконец, решение системы: ; ; ; ;
Цепь трехфазного тока – это совокупность трехфазного генератора, трех фазных нагрузок и соединяющих их проводов. Трехфазный генератор представляет собой систему трех ЭДС одной и той же частоты, получаемую в одной и той же электрической машине. В подавляющем большинстве случаев используется симметричный трехфазный генератор. При этом все три ЭДС равны по величине и сдвинуты по фазе последовательно друг относительно друга на 120°. Таким образом, если , то Временные диаграммы для этих трех ЭДС показаны на рисунке 1. Рис 1. Те же ЭДС в символической форму могут быть представлены следующим образом: где Векторные диаграммы системы показаны на рисунке 2. Рис2. 2 7 Соединение трехфазного генератора с нагрузками. Линейные, фазные токи и напряжения. Виды трехфазных нагрузок. В простейшем случае каждая фаза трехфазного генератора может быть соединена с соответствующей фазой нагрузки двумя проводами. При этом получается, так называемая, трехфазная система. Рис. 3 На рисунке 3 видно, что в несвязанной трехфазной системе отдельные фазы гальванически не связаны друг с другом. Однако, из-за нерациональности использования проводов такая схема соединения проводов на практике не используется. Она представляет лишь некоторый теоретический интерес. На практике используются соединения генератора и нагрузки ”звездой” (рисунок 4) и ”треугольником” (рисунок 5). Рис. 4 Рис. 5 В схеме на рисунке 4 провод, соединяющий, так называемые, нулевые точки генератора и нагрузки, называется нулевым проводом или нейтралью. Остальные провода, соединяющие генератор с нагрузкой, а так же все провода в схеме рисунка 5 называются линейными проводами. В трехфазных цепях различают линейные и фазные токи и напряжения. Определение 1. Ток в линейном проводе называется линейным током. Определение 2. Ток в отдельной фазе нагрузки называется фазным током. Определение 3. Напряжение между линейными проводами называется линейным. Определение 4. Напряжение на отдельной фазе нагрузки называется фазным. Кроме того, ток в нулевом проводе в схеме рисунка 4 называется током нейтрали или током нулевого провода. Из рисунка 4 видно, что система линейных токов точно так же при соединение ”звездной”, совпадает с системой фазных токов. Точно так же при соединение ”треугольником” (рисунок 5) система линейных напряжений совпадает с системой фазных напряжений. Трехфазная нагрузка может быть: - равномерной, если фазные нагрузки совпадают по модулю, т.е. ; - однородной, если фазные нагрузки совпадают по аргументам, т.е - симметричной, если совпадают комплексы фазных сопротивлений, т.е. Ясно, что симметричная нагрузка является одновременно и равномерной, и однородной. Конечно, трехфазная нагрузка может быть и несимметричной, и неравномерной, и неоднородной, а любого произвольного вида. 4 Соединение трехфазного генератора “звездой” при симметричной нагрузке В дальнейшем будем считать, что используются симметричные трехфазные генераторы, т.е. По условию нагрузка симметрична, значит Для начала будем считать, что сопротивления линейных проводников в схеме рисунка 6 равны нулю. Рис. 6 Тогда т.е. система фазных напряжений образует также симметричную трехфазную систему. Фазные (они же линейные) токи будут, очевидно, равны: Видно, что система токов является тоже симметричной трехфазной системой. Ток в нулевом проводе определяется по первому правилу Кирхгофа для узла О'. Так как ток в нулевом проводе при симметричной нагрузке оказался равен нулю, то для этих условий его использовать необязательно. Определим значения линейных напряжений. По второму закону Кирхгофа имеем: Аналогично получаем: Итак, видно, что и система линейных напряжений симметрична. Таким образом, выясняется, что все токи и все напряжения образуют симметричные системы. В этом ничего удивительного нет, так как используются симметричные генераторы и симметричная нагрузка. Векторная диаграмма для рассмотренного случая показана на рисунке 7. Рис.7 Остановимся еще на одном важном соотношении, имеющем место только при симметричной нагрузке и только при соединении “звездой”. Выше было установлено, что все три фазных напряжения равны по величине: Для линейных напряжений: Следовательно, при симметричной нагрузке:
В данном случае: (рисунок 4). Анализ трехфазной цепи в этом случае легче сего осуществить методом двух узлов. Действительно: , где 5 Векторная диаграмма показана на рисунке 8. Рис.8 6 3 Из диаграммы видно, что система линейных напряжений симметрична, так как их значения определяются симметричной системой ЭДС. Из нее же можно заметить, что фазные напряжения не равны друг другу. Одни из фазных напряжений стали больше номинального значения, другие – меньше. Такое явление называется смещением нейтрали. Для уменьшения влияния этого явления есть два способа:
Будем по-прежнему исходить из симметричности трехфазного генератора. ; ; Рассмотрим случай симметричной нагрузки: В этом случае ; ; Таким образом, система фазных (они же линейные) напряжений образуют симметричную систему. Видно, что система фазных токов симметрична, причем По первому закону Кирхгофа линейные токи равны: Видно, что и линейные токи образуют симметричную трехфазную систему, причем Таким образом при симметричной нагрузке и при соединение ”треугольником” Векторная диаграмма для симметричной нагрузки показана на рисунке 9. При несимметричной нагрузке анализ осуществляется аналогично симметричной нагрузке, но результат, естественно, будет другим.
Под активной мощностью трехфазной цепи, по-прежнему, понимается средняя скорость потребления электрической энергии цепью. Она может быть найдена следующим образом: где, - активная мощность в цепи нулевого провода и отдельных фаз. Под реактивной мощностью понимается величина, пропорциональная средней скорости обмена энергией между нагрузкой и генератором. Реактивная мощность трехфазной системы определяется как сумма реактивных мощностей фаз нагрузки и реактивной мощности нулевого провода. Как и раньше полная мощность и Однако, в отличии от однофазных цепей, для трехфазных угол необязательно существует реально. При симметричной нагрузке, очевидно, будет иметь: ; Для изменения мощности в трехфазной цепи можно включить три ваттметра, измеряющие активные мощности в каждой фазе При этом, очевидно, что активная мощность трехфазной цепи равна сумме показаний трех ваттметров. Для трехпроводной линии активная мощность трехфазной цепи может быть измеряна методом “двух ваттметров”, как показано на рисунке 10. Рис. 10 Докажем, что алгебраическая сумма показаний двух ваттметров равна активной мощности трехфазной цепи. 8 Получение вращающегося магнитного поля в трехфазных цепях. Для получения вращающегося магнитного поля в трехфазной цепи достаточно взять три одинаковых, симметрично, т.е. под углом 120°, расположенных относительно друг-друга, катушки и подключить к трехфазному напряжению. (см. рисунок 11). Рис.11 Углы между векторами индукции соответствующих катушек будут 120°. Так как индукция пропорциональна току, протекающему через катушку, то Выберем систему координат как показано на рисунке 11 и найдем сумму проекций векторов индукции на координатные оси. Дополнительное исследование показывает, что реальной ситуации отвечают только нечетные ” к ”. В простейшем случае Для изменения вращения, реверса, достаточно поменять местами выводы любых двух катушек из трех.
Для примера убедимся, что при соединении ”звездой” и симметричной нагрузке (при этом, как известно, на требуется нулевой провод) масса используемого провода составляет менее половины массы провода для передачи той же мощности в однофазной системе, т.е. выигрыш по массе используемых проводов более, чем в два раза. Эквивалентом однофазной системы в плане использования проводов является несвязанная трехфазная система (рисунок 3), т.к она представляет собой три самостоятельные однофазные цепи. В том и в другом случае (соединение «звездой» и несвязная система) используется один и тот же генератор и одна и та же нагрузка, но токи во всех проводниках будут иметь одни и те же значения (фазные токи). Но в несвязной трехфазной системе используется шесть проводников, в связной системе – три. Поэтому видно, что выигрыш составляет уже два раза. При этом потери в проводниках в случае соединения «звездой» будут в два раза меньше, чем в несвязной трехфазной системе. Поэтому общий выигрыш по массе проводников составляет более чем в два раза. В случае соединения «треугольником» выигрыш по массе проводников тоже на стороне трехфазной системы, хотя и более скромный. 2. Габариты, масса и стоимость трехфазных электрических машин заметно меньше однофазных той же мощности. Студентам предлагается самостоятельно проиллюстрировать это положение на примере трехфазного генератора. 3. Устройство трехфазных электрических машин проще соответствующих однофазных; в частности, из-за простоты вращающегося магнитного поля в трехфазных цепях. 4. Получить постоянное напряжение на основе выпрямления трехфазного напряжения значительно легче, чем на основе однофазного напряжения, т.к. в худших трехфазных системах коэффициент пульсации составляет 0,25, а в лучших 0,057; в то время, как в лучшей однофазной системе коэффициент пульсации 0,67.
Под переменным током понимается такой ток, величина и направление которого в электрической цепи периодически изменяется. Закон изменения синусоидально изменяющейся величины (Э.Д.С. напряжения и тока) может быть представлен в следующем виде: где e, u, i мгновенные значения синусоидально изменяющейся величины. Em, Um, Im - амплитудные значения э.д.с, напряжения и тока. - начальная фаза, - угловая частота. Период Т, угловая частота циклической частотой связаны следующими соотношениями: Действующие значения э.д.с., напряжения, тока равны == Законы Ома, Кирхгофа и все следствия из них справедливы для мгновенных значений токов, напряжений и э.д.с., необходимо только учитывать так называемые внутренние э.д.с. ; При анализе цепей синусоидального тока методом проводимостей необходимо знать связь между током и напряжением для прос тейших цепей и отдельных элементов.
Пусть через сопротивление R протекает синусоидальный ток тогда по закону Ома Таким образом видно, что на активном сопротивлении ток и напря жение по фазе совпадают, а для амплитудных и действующих зна чений токов и напряжений справедлив закон Ома Рис. 1
Если - ток, протекающий через индуктивность, то мгновенное значение напряжения на индук тивности определяется где - реактивное сопротивление. Таким образом видно, что на участке индуктивности электричекой цепи, обладающем только индуктивностью, ток отстаёт по фазе от напряжения на 90°, а для амплитудных и действующих значений токов и напряжений справедлив закон Ома Рис. 2
Если к емкости подведено переменное напряжение то мгновенное значение протекающего через емкость тока опре деляется где - реактивная емкостная проводимость. -реактивное сопротивление емкости. Таким образом видно, что на участке цепи, обладающей ем костью, напряжение отстает по фазе от тока на 90° (рис. 3) а для амплитудных и действующих значений токов и напряжений справедлив закон Ома. Рис. 3
При переменном токе различают следующие мощности: мгновенную, активную, реактивную и кажущуюся (полную). - мгновенная мощность равна произведению мгновенных значений напряжения и тока. С течением времени мгновенная мощность изменяется как по величине так и по знаку. Когда напряжения и ток положительны, мгновенная мощность также положительна и электрическая энергия забирается из сети переменного тока. Электрическая энергия будет забираться из сети также и в том случае, если напряжение и ток отрицательны. Когда же напряжение положительно, а ток отрицателен (или наоборот), мгновенная мощность отрицательна и электрическая энергия возвращается в сеть переменного тока. На рис.1, рис.2, рис.3б, показаны графики , и при различных нагрузках за период . Под активной понимается мощность, равная среднему значению мгновенной мощности за период Действующее значение активной мощности Мгновенная мощность цепи с индуктивностью Характеризует скорость преобразования энергии генератора в энергию магнитного поля цепи. Величину энергии, которой обмениваются генератор и цепь с реактивным сопротивлением, xapaктеризуют максимальным значением мгновенной мощности цепи и называют ее реактивной мощностью. Реактивная мощность цепи с индуктивностью Мгновенная мощность цепи с емкостью Характеризует скорость преобразования энергии генератора в энергию электрического поля цепи. Величину энергии, которой обмениваются генератор и емкость, характеризуют максимальным значение мгновенной мощности этой цепи и называют реактивной мощностью емкости
Рис. 4 Мгновенное значение тока и напряжения протекающего через данную цепь (рис.4а) ,где Напряжение опережает по фазе ток на угол (Рис.4б) |