Фильтры. Методическое пособие по выполнению домашнего задания по тоэ
 Скачать 2.4 Mb.
|
|
Последовательное соединение r и с в цепи переменного тока Рис. 5 Мгновенные значения тока и напряжения , где В цепи RC напряжение отстает по фазе от тока на угол (Рис.5б) Активная мощность цепи RL и RC [Bт] Множитель называется коэффициентом мощности. Реактивная мощность цепи является мерой величины обменной энергии между генератором и пенью RL или RC . [BАp] Произведение действующих значений напряжения и тока называется полной мощностью [BA] Активная, реактивная и полная мощности графически изображаются сторонами прямоугольного треугольника, который называется треугольником мощностей. (Рис. 6) Из треугольника мощностей можно определить коэффициент мощности Рис 6 8. Последовательное соединение r, l, c при переменном токе Рис. 7. По закону Ома для мгновенного значения напряжения где - полное сопротивление цепи раcсчитывается по формуле Угол сдвига фаз между приложенным напряжением и током При последовательном соединении элемен тов векторную диаграмму удобно начинать строить с вектора общего тока, а затем учитывая II закон Кирхгофа строим вектора напряжений рис.7. Рис. 8. При последовательном соединении ,, реактивные сопротивления и мож но заменить одним эквивалентным, а характер цепи будет определяться по величине большего реактивного сопротивления рис. 8. Реактивная мощность цепи ,, определяется: Полная мощность 9. Параллельне соединения r и l в цепи переменного тока Рис. 9. Мгновенные значения напряжения и тока в неразветвленной цепи ,где- полная проводимость цепи ,где- активная проводимость - реактивная проводимость индуктивности Угол сдвига между приложенными напряжением и током
Рис. 10. , , - реактивная проводимость ёмкости. 10. Параллельное соединение r , l , с в цепи переменного тока Рис. 11. ,где Полная проводимость определяется Угол сдвига между напряжением и током Для данной схемы соединения векторную диаграмму удобно начинать строить с вектора напряжения, а затем по 1 закону Кирхгофа (рис. 11) При параллельном соединении R , L, С реактивные проводимости и можно заменить одной эквивалентной, а характер цепи будет определяться по величине большей реактивной про водимости (рис.12) Замена последовательного соединения активных и реактивных сопротивлений в параллельно соединенные активные и реактивные проводимости и обратно: (Рис .13) , , , , 11. Анализ электрической цепи переменного тока методом проводимостей Для расчетов токов I1,I2,I3 методом проводимостей в цепи (рис.14) необходимо перейти от разветвленной сложной схемы к простейшей последовательной цепи и определить ток в неразветвленном участке цепи I1, а затем в обратном порядке опре делим токи в параллельных ветвях I2 и I3. Рис. 14. Преобразуем параллельный участок bc в последовательный. Для этого определим активные проводимости , и реактив ные и (Рис.15) Рис. 15. При параллельном соединении участка эквивалентная актив ная проводимость равна При двух реактивных проводимостях разного характера, харак тер эквивалентный проводимости будет той, реактивная прово димость которая больше и будет равна разности проводимостей. Например,, тогда Схема (рис 15) примет такой вид (рис.16) Рис. 16. Далее перейдем от проводимостей и к последователь но соединенным сопротивлениям и (рис17) Рис.17. Данная разветвленная схема примет вид последовательно соединенных элементов (рис.18) Рис. 18 При последовательном соединении активных сопротивлений эквивалентное активное сопротивление будет равно а при двух или нескольких соединенных последовательно реак тивных сопротивлений, характер эквивалентного сопротивления будет таким, реактивное сопротивление которое больше и будет равна разности сопротивлений. Например, тогда Схема рис. 18 примет такой вид (рис. 19) и будет носить активно-емкостной характер Рис. 19. Полное сопротивление цепи Ток в неразветвленном участке цепи и фаза тока Затем определим напряжение на участке ,где фаза напряжения Знак ''минус" показывает, что фаза напряжения при активно- емкостном характере отстаёт от фазы тока (Рис.18). После этого можно определить токи в параллельных ветвях (Рис.14). ,где фаза тока 12. Символический метод. основные понятия Для определения в произвольный момент времени величины переменного тока заданной частоты необходимо знать два числа, например, амплитуду и его начальную фазу. Однако, вместо двух чисел можно пользоваться одним, но комплексным. Комплексным числом или комплексом называется су мма вещественного числа и мнимого , где называется мнимой единицей и обозначается в электротехнике буквой . На комплексной плоскости комплексное число изобра жается (Рис.20) где Поворотный множитель показывает, что вектор повернут относительно вещественной положительной полуоси на угол про тив направления движения часовой стрелки. Отрицательному значению угла соответствует поворот векто ра по часовой стрелке. Рис 20. При расчете цепей символическим методом необходимо учесть переход от алгебраической формы комплексного числа к показа тельной и обратно (см. приложение) Источник напряжения, э.д.с., ток изменяющиеся по синусоида льному закону могут быть представлены в комплексной форме Комплексные выражения величин, изменяющихся до гармони ческому закону, обозначаются прописными печатная буквами с точками над ними , ,, а модули этих значений записываются теми же буквами, но без точек над ними ,,. Сопротивление полное электрическое в комплексной форме обозначается Z, а модуль Z. в алгебраической форме комплексное значение сопротивления будет равно: Аналогично запишутся проводимости: , Например, для последовательной цепи ,,. 13. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА СИМВОЛИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Для расчета разветвленной электрической цепи переменного тока символическим методом напряжение цепи и сопротивление каждого участка следует предварительно выразить в символичес кой формe (рис. 21) Рис. 21. Полное сопротивление электрической цепи (Рис.22) Рис.22 После этого находят ток в неразветвленном участке цепи и токи в параллельных ветвях ; или ; ; Правильность полученных значений токов проверяют по I закону Кирхгофа а напряжение по II закону Кирхгофа Мощности всей цепи в комплексном виде находятся где - сопряженный комплекс тока на неразветвленном участке цепи Активная мощность всей цепи Реактивная мощность всей цепи Мощности на участках цепи Баланс активных и реактивных мощностей 14. Индуктивно связанные электрические цепи Рассмотрим особенности расчета цепей, в которых есть индуктивные или магнитно связанные катушки. В индуктивно связанных элект рических цепях поток одной из катушек пронизывает другие и наводит в них э.д.с. взаимоиндукции, которые должны быть учтены при расчете. При согласном включении тока в обоих элементах цепи в любой момент времени имеют одинаковые направления относительно одноименных зажимов в цепи, а потому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции, сцепленные с каждым элементом, складываются, т.е. взаимная индуктивность по ложительна. На схеме звездочками следует обозначить одноименные зажимы катушек (начала катушек). При встречном включении токи в обоих элементах цепи в любой момент времени направлены противоположно относительно одноиме нных зажимов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимо индукции, сцепленные с каждым элементом, всегда различны по, знаку, т.е. вычитаются. Взаимная индуктивность будет отрицательной. Индуктивная связь двух элементов цепи может еще характеризоваться коэфи-циентом связи , под которым понимают отношение взаимной индуктивности элементов цепи к корню квадратному из прои зведения их собственных индуктивностей и . При составлении уравнений в случае наличия в цепи взаимо связанных катушек следует иметь в виду, что напряжение на каждой такой катушке имеет несколько слагаемых. Так для рис.23 напряжение между точками и равно или в символической форме Знак "минус" объясняется встречным включением катушек. Рис. 23. 15. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
Рис.1. определить токи и мощности ,, во всех ветвях и всей цепи. Расчет произвести методом проводимостей и символическим. Постро ить полную векторную диаграмму. РЕШЕНИЕ Рис.2. Для расчета цепи вначале определим индуктивные и емкостные сопротивления по формулам: Осуществим анализ цепи методом проводимостей. Для этого преобразуем участок цели и перейдем от параллельной схемы к последовательной рис.3 Рис.3. Рис.3. Рис.3. Рис.3. Реактивная проводимость участка будет индуктивной, т.к. Эквивалентный последовательный участок цепи будет: Аналогично преобразуем участок цепи рис.4 Рис.4. поэтому участок будет носить индуктивный характер. После преобразования участка и электрическая цепь будет иметь вид: (Рис.5) Рис. 5. Полученную параллельную электрическую схему преобразуем в эквивалентную последовательную. (рис.6) Рис.6. Рис .6. Рис. 6. Рис. 6. Полное сопротивление цепи: Общий ток цепи будет равен (рис. 6): Фазу приложенного напряжения примем равную нулю, тогда фаза общего тока цепи будет определяться: По эквивалентной схеме видим, что цепь носит активно-индук-тивный характер, т.е. ток отстает по фазе от напряжения на угол . (Поэтому ставим знак ''минус''.) Токи и определим по схеме рис. 6 а фазы токов и Для определения токов и и их фаз и , необходимо вы числить напряжение и его фазу (рис.5). Напряжение опережает по фазе ток на угол т.к. учас ток цепи носит активно-индуктивный характер. Далее определим тoки и и иx фазы рис.2 Ток опережает по фазе напряжение на угол (активно-емкостной характер ветви). Для определения токов , (рис.2) и их фаз вычислим напря жение и его фазу (рис. 5): Для построения полной векторной диаграммы необходимо вычислить напряжения на каждом сопротивлении (рис. 8) Определим активную P, реактивную Q и полную S мощности цепи. Активная мощность всей цепи Активные мощности отдельных ветвей равны: , т.к. , т.к. Реактивная мощность всей цепи Реактивные мощности отдельных ветвей Полные мощности всей цепи и отдельных ветвей 2. Осуществим анализ цепи рис.2 символическим методом. Для этого сопротивления ветвей электрической схемы рис.2 запишем в комплексной форме: Ом Ом Ом Рис.7. Для определения общего комплексного сопротивления заданной элек трической цепи вычислим комплексные сопротивления (рис.7) и где Ом После этого находим комплексный ток в неразветвленном участке цепи: А и комплексные токи в параллельных ветвях А А Для определения комплексных токов и соответственно найдем напряжения В В Полная комплексная мощность электрической цепи ,где - комплексный ток, сопряженный с - активная мощность - реактивная мощность Вт Вар То же самое находим для отдельных ветвей: ВА ВА ВАр Вт ВАр ВА Вт ВАр ВА Вт ВА ВАр ВА ВАр 16. Расчет электрической цепи при наличии взаимной индуктивности Для данной электрической цени (рис. 9), содержащей две индуктивно связанные между собой индуктивности и рассчитаем токи и мощности , , во всех ветвях и всей цепи. Проверить баланс активных и реактивных мощностей. Построить топографическую векторную диаграмму. Индуктивная связь двух элементов цепи характеризуется коэффициентом связи . Включение индуктивностей и согласное, звёздочками указываем однополярные зажимы обмоток. Рис.9. Через коэффициенты связи и величины индуктивности и определим взаимную индуктивность М и её реактивное сопротивление ХМ. мГН Ом Индуктивность взаимно не связана с другими индуктивностями цепи и поэтому токи , определяются также, как в цепи при (см. решение задачи для схемы). Комплексный ток в неразветвлённом участке цепи будет определяться по 1-му закону Кирхгофа. Для определения токов , , введем контурные токи и и сделав подстановку , , оставим 2 уравнения по II закону Кирхгофа: Далее, сделав соответствующую подстановку и решив совместно систему 2 уравнений, находим контурные токи и , a после этого неизвестные токи , , и . Баланс активных мощностей для цепи со взаимной индуктивностью определяется также, как и для цепи при ; Баланс реактивных мощностей где -начальная фаза тока -ветви -начальная фаза тока -ветви Для удобства построения векторной диаграммы определим следующие напряжения: (Рис.10) V. Электрические фильтры Под электрическим фильтром будем понимать пассивный четырёхполюсник, пропускающий некоторую определённую полосу частот с малым затуханием и подавляющий все остальные частоты. Полоса частот, для которых затухание мало, называется полосой пропускания или полосой прозрачности. Остальные частоты составляют полосу подавления или полосу непрозрачности. В настоящей работе рассматриваем так называемые реактивные фильтры, в качестве которых договоримся использовать реактивные, симметричные, согласованные на выходе четырёхполюсники Т- и П-образные структуры.(Рис. 1,2). Рис. 1 Рис. 2 Можно показать, что если, то свойства Т- и П-образных фильтров будут в значительной мере одинаковыми (Рис.З,4). Рис. 3 Рис. 4 Условие полосы прозрачности фильтра. Определение. 4 Под полосой прозрачности реактивного фильтра будем понимать полосу частот, для которых Получим условия полосы прозрачности для фильтров (Рис.З,4). Для симметричного четырёхполюсника известно(см[4]-(81)). He трудно показать, что для схем Рис.3, 4 Так как ([4]-(84)), то (2) Равенство (2) должно выполняться для любых частот, в том числе и для полосы прозрачности(см(1)). Таким образом условие полосы прозрачности имеет вид: (3) Для реактивных фильтров число вещественное» поэтому для выполнения (3) достаточно чтобы: или и наконец (4) Знакам равенства соответствуют граничные частоты, которые можно найти решив совокупность уравнений: 6 Амплитудо-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики фильра. Под АЧХ понимается зависимость затухания от частоты . Под ФЧХ понимается зависимость сдвига по фазе от частоты . Полоса прозрачности: (АЧХ) (ФЧХ) Полоса подавления , поэтому . Чтобы левая часть (2) была вещественной, необходимо чтобы , т.е. или . Далее вещественная часть (2) должна быть равна ,, т.е. Так как , то Как видно из неравенства в полосе подавления величина либо больше +1, либо меньше -1. Однако может быть только больше +1. Отсюда вытекает, что Если , то и угол Если , то и угол В обоих случаях: Полученное выражение представляет собой амплитудно-частотную характеристику в полосе подавления. Таким образом АЧХ имеет вид: а) в полосе прозрачности б) в полосе подавления: ФЧХ же будет: а) в полосе прозрачности б) в полосе подавления: Фильтр нижних частот (ФНЧ). В этом фильтре постоянный ток и все составляющие ниже определённой граничной частоты должны пропускаться, а колебания с - подавляться. В простейшем случае ФНЧ можно реализовать, используя в качестве горизонтального звена индуктивность, а вертикального - емкость. (Рис. 5 и 6). Рис. 5 Рис. 6 Граничные частоты. (см(5)). (6) В полосе прозрачности () . Исследования показывают, что для ФНЧ ФЧХ имеет вид: т.к. то 8 В полосе подавления : (9), т.к. Графики АЧХ и ФЧХ для ФНЧ (Рис.5 и 6) показаны на рисунках 7 и 8. Рис. 7 Рис. 8 Такого вида частотные характеристики фильтр имеет только при условии, что он нагружен на сопротивление, равное характеристическому. (см[4]-(64)) Можно показать, что для Т и П – образных четырехполюсников характеристические сопротивления равны соответственно. При этом (9) – называется номинальным характеристическим сопротивлением. т.к. Таким образом: В полосе прозрачности и - вещественные. Характеристические сопротивления будут носить активный характер. (10) (11) В полосе подавления и чисто мнимые сопротивления. (12) (13) Графики функций (10) и (13) показаны на Рис. 9 и 10. Рис. 9 Рис. 10 Считается, что в полосе прозрачности согласование удовлетворительно, если сопротивление нагрузки чисто активное и равно . При расчете фильтра задают и (нагрузки), нужно рассчитать и . Дано получаем (14) (15) 10 Фильтр верхних частот. (ФВЧ). В этом фильтре постоянный ток и все составляющие ниже определённой граничной частоты должны задерживаться, а колебания частот больших - беспрепятственно пропускаться. Рис. 11 Рис.12 |