Фильтры. Методическое пособие по выполнению домашнего задания по тоэ
 Скачать 2.4 Mb.
|
|
Граничные частоты ФВЧ. т.к. то ; т.е. Рис. 21 Частотные характеристики. (Рис. 13, 14). В полосе прозрачности , В полосе подавления т.к. Рис. 22 Характеристическое сопротивление. (Рис. 15,16). Согласно [4]-64 В полосе прозрачности : В полосе подавления : Рис. 15 Рис. 16 Если , а , то и для фильтра верхних частот будут определяться: (17) (18) Полосовой фильтр (ПФ ). Это такой фильтр, который пропускает все колебания с частотами от до , остальные должны подавляться. В этом фильтре горизонтальные звенья - это последовательные колебательные контура, а вертикальные звенья - параллельные колебательные контура. (Рис. 17,18). Рис. 17 Рис.18 Граничные частоты ПФ. Для нормальной работы ПФ резонансные частоты всех контуров должны, как минимум, находиться в пределах полосы прозрачности. Рассмотрим простейший случай: или Как обычно: т.к. (см.(5)) , Или , (19) (20) Остальные два корня отрицательные и не имеют физического смысла. Нетрудно заметить, что . Частотные характеристики. (Рис. 19,20). Аналогично ФНЧ и ФВЧ получаем: Полоса прозрачности если если Полоса подавления : , если , если Рис. 19 Рис. 20 Характеристические сопротивления. (Рис.21,22). Полученные АЧХ и ФЧХ (Рис. 19 и 20) могут быть только в том, случае, если четырехполюсник согласован на выходе, т. е. нагружен на сопротивление . В полосе прозрачности : Полоса подавления : Рис. 21 Рис. 22 Расчет фильтра. И для данного фильтра считается удовлетворительным, если: ; кроме того (см.(19)и(20)) отсюда (21) (22) при ; получим: (23) (24) Заградительный фильтр. (ЗФ). Если в схеме полосового фильтра поменять местами параллельные и последовательные контуры, получим заградительный фильтр (Рис.23 и 34). Этотакой фильтр, у которого полоса подавления расположена в интервале и имеет два участка полосы пропускания и . Рис. 23 Рис. 24 Граничные частоты ЗФ. Полагая, что контуры настроены на одну и туже частоту для данного фильтра аналогично ПФ получаем: 16 (25) (26) (27); - среднее геометрическое и располагается не посередине как среднее арифметическое, а ближе к
Графики АЧХ и ФЧХ приведены на рис. 25 и 26. Рис. 25 Рис. 26 Характеристические сопротивления ЗФ.
Рис. 27 Рис. 28 Параметры ЗФ можно получить следующим образом: Многозвенные фильтры. Фильтры типа k и типа m. Все рассмотренные выше фильтры характеризуются тем, что Такие фильтры относятся к фильтрам типа k (или простым фильтрам). В самом деле, для ФНЧ и ФВЧ имеем а для ПФ и ЗФ Одним из недостатков фильтров типа k является не очень высокая крутизна АЧХ фильтра в районе граничных частот. Из-за этого частоты, лежащие в полосе подавления вблизи с граничными частотами, на выходе фильтра подавляется недостаточно. Для устранения этого дефекта можно перейти к многозвенному фильтру, соединив несколько ячеек каскадно. Для нормального функционирования такого фильтра необходимо, чтобы звенья, составляющие фильтр, имели одинаковые характеристические сопротивления и совпадающие граничные частоты. При этом АЧХ и ФЧХ многозвенного фильтра равны: , , где и - АЧХ и ФЧХ отдельных звеньев. Если звенья одинаковые, то , Видно, что при этом затухание увеличивается в п раз, где n - число звеньев фильтра. Другим способом увеличения крутизны АЧХ в районе граничных частот является переход к звеньям типа m (Рис.29 и Рис.30). Т - обр. звено типа k Т - обр. звено типа m Рис. 29 П - обр. звено типа k П - обр. звено типа m Рис. 30 Полученные таким образом производные звенья типа m имеют такие же характеристические сопротивления и граничные частоты, что и у соответствующих звеньев типа k. Однако АЧХ и ФЧХ звеньев типа m отличаются от аналогичных характеристик звеньев типа k. Сами звенья типа k можно считать звеньями типа m при m=1. Для примера на Рис.31 и Рис.32 показаны преобразования звеньев типа k в звенья типа m для ФНЧ, а на Рис.33 изображены АЧХ этих звеньев при различных m(). Рис. 31 Рис. 32 Рис. 33 На Рис.33 виден не только недостаток звена типа k (т.е. m=1) - меньшая крутизна АЧХ, но и его достоинство по сравнению со звеньями типа m – большая равномерность АЧХ в полосе подавления. По этим причинам качественные фильтры формируют обычно из нескольких звеньев типа m с разными значениями m и нескольких звеньев типа k. Следует иметь в виду, что сохранение неизменным характеристического сопротивления звеньев типа m имеет место только для симметричных звеньев (т.е. Т- и П- образных). Для Г- образных звеньев типа m неизменным остается только одно характеристическое сопротивление, а второе становится функцией от т. Для примера на Рис.34 и Рис.36 показаны два вида Г- образных звеньев типа m для ФНЧ, а на Рис.35 и Рис.37 поведение их характеристических сопротивлений в полосе прозрачности при различных m. Рис. 34 Рис. 35 Рис.36 Рис.37 Исследования показывают, что наибольшее постоянство характеристического противления в полосе прозрачности фильтра может быть достигнуто при . Именно такие звенья используются для согласования фильтра в полосе прозрачности с постоянным активным сопротивлением нагрузки RH VI. Резонансные явления в электрических цепях Резонанс напряжений Резонанс напряжений (или последовательный резонанс) может наблюдаться в электрической цепи, содержащей последовательно соединённые участки с разным характером реактивности. Название объясняется тем, что при резонансе оказываются равными друг другу по величине реактивные составляющие напряжений на указанных выше участках с разным характером реактивностей. Резонанс напряжений может наблюдаться, к примеру, в цепи рис. 1.Найдём условие резонанса в этой цепи. Для этого участки R1 L и R2 C заменим эквивалентными (рис. 2). Рис. 1 Как известно: Если X’L окажется больше X’C, то цепь рис. 2 (а вместе с тем и цепь рис. 1) будет иметь активно-индуктивный характер и резонанс невозможен. Если X’L < X’C, то цепи рис. 1 и рис. 2 имеют активно-емкостной характер и резонанс также невозможен. При X’L = X’C цепи имеют чисто активный характер, следствием чего оказывается совпадение по фазе напряжения U и тока I, т.е. резонанс в цепи рис. 1. Рис 2 С учётом (1) и (2) условие резонанса принимает вид: Соотношение (3) приводит к уравнению третьей степени относительно частоты ω. Единственный положительный корень этого уравнения определяет так называемую резонансную частоту: где – характеристическое сопротивление цепи. Векторная диаграмма для цепи рис. 1 на резонансной частоте показана на рис. 3. Из диаграммы видно, что при резонансе, действительно, равны реактивные составляющие напряжений U1 и U2 . U1p = U2p Рис. 3 Рассмотрим интересный частный случай цепи рис. 1 при условии . Комплексное сопротивление такой цепи равно: Таким образом, выяснилось, что комплексное сопротивление указанной цепи на всех частотах чисто активно. Это означает, что резонанс в данной цепи наблюдается на любой частоте. Резонанс токов Резонанс токов (или параллельный резонанс) может наблюдаться в электрической цепи, содержащей параллельно соединённые участки с разным характером реактивностей. Название в этом случае объясняется тем, что при резонансе оказываются равными друг другу по величине реактивные составляющие токов указанных выше участков с разным характером реактивностей. Резонанс токов может, к примеру, наблюдаться в цепи рис. 4 Условие резонанса для данной цепи можно найти аналогично тому, как это делалось для цепи рис. 1. Рис. 4 Это условие имеет вид: Решая это уравнение (5) относительно ω, найдём резонансную частоту: Векторная диаграмма для цепи рис. 4 на резонансной частоте показана на рис. 5. Из неё видно, что при резонансе токов, действительно, равны по величине реактивные составляющие токов I1 и I2 . I1p = I2p Рис. 5 Точно так же, как и в предыдущем случае, можно доказать, что комплексное сопротивление цепи рис. 4 при условии на любой частоте и равно: Z = R. Это и означает, что и в этой цепи резонанс имеет место на всех частотах. VII. Дифференцирующие цепи. В данной работе под дифференцирующей цепью будем понимать четырёхполюсник, напряжение на выходе которого пропорционально производной от входного напряжения, т.е. Найдём частотные характеристики четырёхполюсника, обладающего указанными свойствами. Пусть спектр входного напряжения задаётся функцией спектральной плотности . Входное напряжение при этом, как известно, связано с его спектром обратным преобразованием Фурье: Спектр выходного напряжения: , где комплексный коэффициент передачи четырёхполюсника по напряжению. Выходное напряжение: или Ту же функцию найдём, подставив (2) в (1): Т.к. переменные ω и t независимы, порядок следования операций дифференцирования и интегрирования по этим переменным можно изменить, т.е.: Таким образом: Сравнивая (3) и (4), получим: Известно, что АЧХ и ФЧХ связаны с К(jω) следующим образом: , Следовательно, АЧХ и ФЧХ дифференцирующей цепи имеют следующий вид: и Графики этих функций показаны на рисунках 1 и 2. Рис. 1 Рис. 2 Хотя реальные четырёхполюсники в точности подобных характеристик не имеют, при определённых условиях некоторые четырёхполюсники способны осуществлять приближённое дифференцирование. Например, четырёхполюсники, показанные на рис. 3 и 4, имеют комплексный коэффициент передачи: , где постоянные времени равны: для рис. 3 и для рис.4 Рис. 3 Рис. 4 Для того, чтобы характеристика (6) приобрела вид (5), необходимо, чтобы или Т.к. для импульсных сигналов имеет место соотношение: , где - длительность импульса, а - верхняя частота спектра этого импульса, то имеем: Последнее равенство можно рассматривать как условие, при котором схемы рис. 3 и 4 удовлетворительно дифференцируют импульсные сигналы. Более высокое качество дифференцирования можно получить в схемах, использующих операционные усилители. На рис. 5 показана классическая схема дифференциатора. Рис. 5
Интегрирующая цепь – это четырёхполюсник, напряжение, на выходе которого пропорционально интегралу от входного напряжения, т.е. Найдём комплексный коэффициент передачи по напряжению K(jω) такого четырёхполюсника. Пусть спектр входного напряжения , тогда Спектр входного напряжения: Выходное напряжение: Подставив (8) в (7), найдём выходное напряжение ещё раз: Из-за независимости переменных t и ω порядок следования операций интегрирования по этим переменным можно изменить: Таким образом: Сравнивая (9) и (10) убеждаемся, что: Зная К(jω), найдем АЧХ и ФЧХ интегрирующей цепи так же, как это было сделано для дифференцирующей цепи: Графики этих функций показаны на рис. 6 и 7. Рис. 6 Рис. 7 Приблизительно такие характеристики можно получить при определённых условиях в схемах рис. 8 и 9. |