МхПИМ лекция 9. Лекция 9 8 микроволновые фильтры 1 Общие сведения
 Скачать 0.98 Mb.
|
|
1 Лекция 9 8 МИКРОВОЛНОВЫЕ ФИЛЬТРЫ 8 .1 Общие сведения Частотный фильтр – это частотно-избирательное устройство, которое пропускает из спектра входного сигнала гармонические составляющие, часто- ты которых лежат в определенной полосе частот (полосе пропускания) и беско- нечно ослабляет составляющие, которые лежат вне этой полосы (в полосе запи- рания). Они относятся к наиболее распространенным устройствам, которые широко используются в радиолокационных и навигационных системах, в сис- темах связи, в схемах защиты электронных систем от помех и т. д. Фильтр является линейным четырехполюсником, внутренняя структура которого, в общем случае, представляет собой совокупность более простых ре- активных четырехполюсников, соединенных каким-либо образом. Последние, в свою очередь, образуются из реактивных двухполюсников. Обычно исполь- зуются Г-, Т- и П- образные звенья. В зависимости от способа соединения звеньев различают лестничные и мостовые схемы фильтров. Лестничные фильтры получаются путем лестничного (каскадного) со- единения элементарных четырехполюсников. При каскадном соединении име- ется только один канал, по которому сигнал проходит с входа на выход (рис. 8.1). Фильтры с параллельным включением четырехполюсников (рис.8.2) называют- ся мостовыми фильтрами. При параллельном соединении реактивных четы- Четырех- полюсник 1 Четырех- полюсник 2 Рисунок 8.1 ‒ Лестничный фильтр (каскадное соединение четырехполюсников) Четырех- полюсник 2 Четырех- полюсник 1 Рисунок 8.2 ‒ Мостовой фильтр (параллельное соединение четырехполюсников) 2 рехполюсников в фильтре сигнал будет проходить с входа на выход по двум каналам. В микроволновом диапазоне в качестве реактивных элементов могут ис- пользоваться как элементы с сосредоточенными параметрами (lumped elements) так и элементы с распределенными параметрами, например, отрезки линия пе- редачи с длиной l Частотно-избирательные свойства четырехполюсника (рис. 8.3) можно описать входной и передаточной функциями. Под входной функцией (характеристикой) понимается функция, описы- вающая частотную зависимость входного сопротивления. Входное сопротивле- ние цепи как функция комплексной частоты 1 p может быть представлено в следующем виде ( ) 1 1 1 0 1 1 1 0 n p г n n n p г n n u a p a p a p a Z p i b p b p b p b − − − − + + + + = = + + + + , (8.1) или, используя разложение многочленов 2 числителя и знаменателя на множи- тели 1 Комплексная переменная σ ω = + p i называется комплексной частотой. Колебание с комплексной часто- той (волновая форма) включает в себя: чисто синусоидальное с постоянной амплитудой, синусоидальное с амплитудой, уменьшающейся по экспоненте, экспоненциальное (вырожденное) при 0 ω = . Далее будем пола- гать, что 0 = σ , то есть рассматривать только чисто синусоидальные (гармонические) колебания. 2 Многочлен (полином) - это целая рациональная функция, то есть функция, которая получается из переменных и констант путем выполнения операций: сложение, вычитания, умножения. Многочлен «превращается» в рациональную функцию, если добавить операцию деления. Любая рациональная функция может быть представлена в виде отношения двух (полиномов). Важнейшее свойство многочленов (полиномов) – любая непрерывная функция может быть с любой сколь угодно малой ошибкой представлена многочленом (теорема Вейерштрасса). Рисунок 8.3 ‒ К определению входной и передаточной функций линейной цепи с постоянными параметрами Линейная цепь г E U н R г R н 3 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 3 5 2 4 6 n n p p p p p p a Z p b p p p p p p − − − = − − − , (8.2) где 2 1 n p − ‒ корни многочлена в числителе, 2n p ‒ корни многочлена в зна- менателе. Частоты 2 1 n p − , на которых числитель обращается в нуль (сопротивление равно нулю) называются нулями входной характеристики. На частотах 2n p ра- вен нулю знаменатель, входное сопротивление обращается в бесконечность. Эти частоты называются полюсами входной функции. Цепь с конечным числом сосредоточенных реактивных элементов имеет конечное число нулей и полюсов. Цепь, содержащая элементы с распределен- ными параметрами обладает бесконечным числом нулей и полюсов. Это является следствием того, что любой элемент с распределенными параметрами можно представить в виде бесконечного числа бесконечно малых сосредоточенных элементов, каждый из которых эквивалентен сосредоточенной реактивности. Таким образом, цепи, содержащие линии передачи, или их отрезки, имеют функцию входного сопротивления, которая содержит бесконечное число мно- жителей в числителе и знаменателе и, следовательно, бесконечное число нулей и полюсов. Передаточная функция (по напряжению) для цепи на рис. 8.3 может быть определена следующим образом ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 3 5 2 1 2 4 6 2 n н г n c p p p p p p p p u T p u p p p p p p p p − − − − − = = − − − − (8.3) где c - вещественная константа. Полюсы передаточной функции ( ) T p , то есть 2 1 n p − , являются частота- ми собственных колебаний этой цепи. Они зависят от всех элементов её, вклю- чая сопротивления генератора г R и нагрузки н R . Если г R или н R изменились, то изменится частота всех колебаний. Нули функции ( ) T p вместе с полюсами при 0, p = ∞ (если они есть) яв- ляются частотами бесконечного затухания или полюсами затухания. Эти частоты зависят только от элементов самой цепи и не изменяются при изме- нении г R или н R . В случае гармонических колебаний передаточная функция принимает вид 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 5 2 1 2 4 6 2 i n n c T T e ϕ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − − − = = − − − − , (8.4) где ‒ ( ) T ω называется амплитудно-частотной характеристикой, ( ) ϕ ω ‒ фазочастотной характеристикой фильтра. В микроволновом диапазоне частотно-избирательные свойства фильтра более удобно характеризовать частотной зависимостью затухания, вносимого фильтром в тракт (вносимыми потерями). Обычно, вносимые потери опреде- ляются как отношение падающей на многополюсник (фильтр) мощности ( ) 0 P ω к мощности ( ) н P ω , дошедшей до нагрузки ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 11 21 1 1 1 1 s s 1 P н P K P ω ω ω ρ ω = = = = − − , (8.5) где ( ) ω ρ - входной коэффициент отражения от многополюсника с потеря- ми, нагруженного на активное сопротивление н н Z R ; 11 21 s , s - элементы матрицы рассеяния фильтра. Вносимые потери, в дБ описываются выражени- ем: 21 10 lg 20 lg s P L K дБ (8.6) и амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) является зависимость затуха- ния от частоты. По характеру относительного расположения полосы пропускания и поло- сы подавления в АЧХ фильтры разделяются на четыре основных вида (рис. 8.4): • пропускающие фильтры нижних частот (ФНЧ), полоса пропуска- ния которых расположена в области частот от нуля до некоторой граничной верхней частоты в f . На частотах выше граничной частоты и до бесконечности расположена полоса подавления; • пропускающие фильтры верхних частот (ФВЧ), полоса пропуска- ния которых простирается от некоторой граничной нижней частоты н f до бес- конечности. В области частот от нуля до граничной частоты расположена поло- са подавления; • полосовые фильтры (ПФ), или полосно-пропускающие (ППФ), име- ют полосу пропускания в области между граничной нижней частотой н f и гра- 5 ничной верхней час- тотой в f . От нуля до нижней граничной частоты и от верхней граничной частоты до бесконечности распо- ложены полосы по- давления; • режектор- ные фильтры (РФ), или полосно- заграждающие (ПЗФ), имеют полосу по- давления в области частот между граничной нижней частотой н f и граничной верхней частотой в f . От нуля до нижней граничной частоты и от верхней граничной частоты до бесконечности рас- положены две полосы пропускания. Граничные частоты часто называют частотами среза c f . По определе- нию, частотой среза называется та частота, на которой вносимое фильтром из- менение амплитуды сигнала относи- тельно её значения на центральной час- тоте рабочей полосы равно 0.5 . В ло- гарифмических единицах измерений это составляет 3 дБ. Частотные характеристики описываются следующими параметрами: а) граничные частоты полосы пропускания n f , n f ; б) граничные частоты поло- сы заграждения 3 f , 3 f ; в) максимальное затухание в полосе пропускания n L , дБ; г) минимальное затухание в полосе заграждения з L , дБ (рис. 8.4), которые обычно задаются в качестве исходных при расчете фильтров. Фазочастотная характеристика фильтра (ФЧХ) характеризует изменение фазы про- ходящего колебания в зависимости от его частоты. Примерный вид фазочастотной ха- рактеристики для фильтра низких частот Рисунок 8.4 −АЧХ различных типов фильтров: а ‒ ФНЧ, б − ФВЧ, в ‒ ППФ, г ‒ ПЗФ Рисунок 8.5 − Фазочастотная характеристика ФНЧ 6 представлен на рис. 8.5 (f c – частота среза). На низких частотах «строительными элементами» для фильтров являются идеальные индуктивности и емкости, сопротивления которых имеют очень простые частотные зависимости. Наиболее общая и полная процедура синтеза разработана для проектиро- вания фильтров именно с использованием таких элементов. Можно непосредст- венно синтезировать фильтры с разнообразными заданными характеристиками. В микроволновом диапазоне, где используются элементы с распределенными параметрами, задача синтеза является более сложной и не существует общей методики её решения. Тем не менее, разработано несколько полезных методов для проектирования микроволновых фильтров. На практике преимущественно используют два метода синтеза фильтров: метод характеристических параметров и метод вносимых потерь. Метод характеристических параметров позволяет производить расчет фильтров, имея в качестве исходных данных требуемые значения ширины по- лосы пропускания и полосы запирания. При этом точный вид АЧХ для каждой полосы не задается. Недостатком метода характеристического параметра является необходи- мость многократного перерасчета, для получения приемлемой по форме час- тотной характеристики. В настоящее время этот метод используется редко. Его применение ограничивается случаем периодических структур. Тем не менее, можно предполагать, что его основные идеи будут полезны в ряде новых воз- никающих направлений микроволновой техники, таких как метаматериалы и структуры на основе периодических систем - electromagnetic band gap (EBG) структуры. Метод вносимых потерь является основным методом, используемым при проектировании фильтров СВЧ. При расчете фильтров методом вносимых потерь задается точный вид физически реализуемой частотной зависимости коэффициента затухания или модуля коэффициента отражения ( ) | | ρ ω . Далее синтезируется схема, которая обеспечит заданную частотную зависимость затухания. При этом необходимо иметь ввиду, что функция ( ) ρ ω не может быть задана абсолютно произволь- ным образом, так как она может не соответствовать физически реальной схеме. Ограничения, накладываемые на ( ) ρ ω , называются условиями физической реа- лизуемости. 7 8.2 Условие физической реализуемости АЧХ Для пассивных многополюсников отраженная мощность не может превы- шать падающую и поэтому коэффициент отражения ( ) ρ ω от физически реали- зуемых многополюсников должен удовлетворять следующему условию: ( ) | | 1 ρ ω ≤ (8.7) Выясним при каких ограничениях на вид функции ( ) ρ ω будет выпол- няться неравенство (8.7). Пусть нормированное входное сопротивление равно ( ) _ _ вх. ( ) ( ) = + Z R i X ω ω ω тогда коэффициент отражения описывается выражением ( ) ( ) ( ) вх. вх. 1 R( ) 1 X( ) | | R( ) 1 X( ) 1 − − + = = + + + Z i i Z ω ω ω ρ ω ω ω ω . (8.8) Известно, что ( ) R ω - четная функция частоты, а ( ) X ω - нечетная функция час- тоты. Поэтому согласно (8.8) имеем: R( ) 1 X( ) ( ) ( ) R( ) 1 X( ) ∗ − − − = = + − i i ω ω ρ ω ρ ω ω ω (8.9) и соответственно ( ) ( ) 2 | ( ) | ( ) ( ) ρ ω ρ ω ρ ω ρ ω ρ ω ∗ = = − , (8.10) где * - знак комплексного сопряжения. Из (8.10) видно, что 2 2 ( ) ( ) ρ ω ρ ω = − (это следует из того, что замена в левой части (8.10) ω на не меняет правой части этого выражения), то есть квадрат модуля коэффициента отражения является четной функцией ω и по- этому она должна содержать только четные степени ω Подставив (8.8) в (8.10) получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R 1 X 4R ( ) 1 R 1 X R 1 X Q( ) 1 P( ) Q( ) − + = = − = + + + + = − + ω ω ω ρ ω ω ω ω ω ω ω ω , (8.11) 8 где ( ) ( ) 2 Q 4R = ω ω и ( ) ( ) ( ) 2 2 2 P R 1 X = + + ω ω ω и на основании теоре- мы Вейерштрасса являются вещественными и неотрицательными полиномами 2 ω Коэффициент затухания с учетом (8.5) и (8.11) имеет вид: ( ) 2 p 2 P( ) K 1 Q( ) ω ω ω = + . (8.12) Следовательно, многополюсник (схема), коэффициент затухания в которой описывается выражением (8.12), где ( ) 2 Q ω и ( ) 2 P ω - вещественные неотрица- тельные полиномы 2 ω , является физически реализуемым, так как при этом ( ) | | 1 ρ ω ≤ и выполняется условие (8.7). Таким образом, для того, чтобы син- тезированная схема фильтра была физически реализуемой, функция, описы- вающая частотную зависимость вносимого затухания, должна иметь вид (8.12). Иными словами, АЧХ должна описываться функцией, имеющей вид отношения двух вещественных полиномов 2 ω Рассмотрим наиболее часто задаваемые типы полиномов ( ) 2 P ω и ( ) 2 Q ω и виды АЧХ, получаемые при этом. 8 .3 Способы задания коэффициента вносимых потерь Существует неограниченное количество различных по форме частотных зависимостей коэффициентов затухания, которые могут быть заданы и реали- зованы реальной схемой. Однако многие из этих схем могут быть очень слож- ными в реализации. На практике преимущественно используются микроволно- вые фильтры с максимально-плоской (Баттерворса), чебышевской и эллиптиче- ской АЧХ. Ниже, применительно к фильтрам нижних частот, рассмотрены: фильтр с максимально-плоской характеристикой (МПХ), часто называемый фильтром Баттерворса, фильтр с чебышевской характеристикой (ЧХ), фильтр эллиптиче- ской характеристикой и с линейной фазочастотной характеристикой. 8 .3.1 Фильтр с максимально плоской характеристикой 9 Частотная зависимость коэффициента затухания для ФНЧ с максимально плоской характеристикой получается путем выбора полинома ( ) 2 Q ω равным 1 и ) ( 2 ω P равным N c k 2 2 ) / ( ω ω . Согласно (8.12) тогда имеем: ( ) 2 2 P K 1 N c k ω ω ω = + . (8.13) Полосой пропускания является область частот от 0 = ω до частоты среза c ω Максимальное значение P K в полосе пропускания 2 1 k + и поэтому 2 k называ- ют допустимым отклонением в полосе пропускания. Для c ω ω > потери мощ- ности растут до бесконечности со скоростью, зависящей от степени N 2 , кото- рая в свою очередь связана с числом секций фильтра. Типичная характеристика фильтра изображена на рис. 8.6 для 3 N |