Электротехника №1306. Методичні вказівки та завдання до контрольної роботи з дисципліни "Електротехніка. Частина ІІ. Однофазні кола синусоїдного струму"
 Скачать 13.41 Mb.
|
|
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Запорізький національний технічний університет МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ та завдання до контрольної роботи з дисципліни "Електротехніка.Частина ІІ. Однофазні кола синусоїдного струму" для студентів неелектричних спеціальностей заочної форми навчання 2004 2 Методичні вказівки та завдання до контрольної роботи з ди- сципліни "Електротехніка. Частина ІІ. Однофазні кола синусої- дного струму" для студентів неелектричних спеціальностей за- очної форми навчання/Укл.В.Ф.Безотосний.- Запоріжжя:ЗНТУ,2004.- 52 с. Укладач: В.Ф.Безотосний, доцент, к.т.н. Рецензент: О.В.Старіцин, доцент, к.т.н. Відповідальний за випуск: В.Ф.Безотосний, доцент, к.т.н. ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри Теоретичної та загальної електротехніки Протокол №4 від 5.12.2003 3 ЗМІСТ 1 ПРЕДСТАВЛЕННЯ СИНУСОЇДНИХ ВЕЛИЧИН ЗА ДОПОМОГОЮ ВЕКТОРІВ І КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ ........................................................6 2 ЕЛЕМЕНТИ КОЛА СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ. ВЕКТОРНІ ДІАГРАМИ І КОМПЛЕКСНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ДЛЯ НИХ.............15 3 СПОСОБИ З'ЄДНАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ КОЛА.......................................21 4 ОСНОВИ СИМВОЛІЧНОГО МЕТОДУ РОЗРАХУНКУ КІЛ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ...........................................................................26 5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕНЕРГІЇ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ. МИТТЄВА, АКТИВНА, РЕАКТИВНА І ПОВНА ПОТУЖНОСТІ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ ............................................................................................................28 6 РЕЗОНАНСИ В КОЛАХ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ............................36 7 ВЕКТОРНІ І ТОПОГРАФІЧНІ ДІАГРАМИ............................................43 8 ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ...................................................................46 ЛІТЕРАТУРА ....................................................................................................52 4 Передмова У методичних вказівках розглянуті рекомендації до виконан- ня контрольної роботи, приведені варіанти завдань з електричними схемами. Метою контрольної роботи є перевірка засвоєння студентами відповідних розділів курсу. Зміст контрольної роботи повинний відповідати варіанту за- вдання. Номер варіанта визначається за номером залікової книжки чи номеру прізвища студента в журналі обліку занять. Контрольні варіан- ти за курсом зроблені 30-варіантними. Якщо дві останні цифри більш 30, то для визначення номера варіанта необхідно відняти число 30. Якщо дві останні цифри є нулями, то варіант відповідає першому но- меру. При виконанні контрольної роботи необхідно керуватися на- ступними правилами: • на початку кожної задачі варто приводити коротку умову, розрахункову схему і вхідні дані для свого варіанта; • при оформленні розрахункової частини контрольної ро- боти необхідно приводити використані формули, розмір- ність знайдених значень, результати обчислень записува- ти з точністю до третьої значущої цифри; • при обчисленні задач не слід перевантажувати оформлен- ня приведенням всіх алгебраїчних перетворень, однак кожен етап рішення повинний мати нумерацію і пояснен- ня; • малюнки, схеми і графіки повинні бути виконані акуратно за допомогою креслярських інструментів, причому на осях координат графіків треба вказувати значення, що відкладаються, і одиниці їхнього виміру; • кінцевий результат повинний бути виділений із загально- го тексту; • на титульному листі контрольної роботи повинне бути за- значене найменування інституту, кафедри, дисципліни, прізвище, ініціали слухача і номер залікової книжки; • наприкінці роботи необхідно привести список використа- ної літератури. 5 При вивченні даного розділу студенти повинні: 1) знати зміст таких термінів, як: резистор, опір, індуктивна котушка, індуктивність, індуктивний опір, конденсатор, ємність, ємнісний опір; фаза, початкова фаза, кут зсуву фази, період, кутова частота; миттєве, діюче і середнє значення гармонійних величин; повний, активний, реак- тивний і комплексний опори і провідності; повна, актив- на, реактивна і комплексна потужності; характеристики і параметри елементів схем заміщення кіл однофазного струму; умови і способи одержання резонансів напруг і струмів; 2) розуміти особливості електромагнітних процесів і енер- гетичні співвідношення в колах синусоїдного струму, значення коефіцієнта потужності; 3) уміти представляти гармонічно змінні величини триго- нометричними функціями, графіками, векторами і ком- плексними числами; визначати струми електричного кола комплексним методом; будувати векторні діаграми не- розгалужених кіл і кіл з паралельним з'єднанням віток; визначати параметри схем заміщення пасивних двополю- сників; за допомогою електровимірювальних приладів вимірювати струми, напруги і потужності в електричних колах; будувати потенційні діаграми. При вивченні явищ резонансу в колах змінного струму необ- хідно знати умови їхнього виникнення. Звернути увагу на те, що виникнення резонансу напруг представляє серйозну пожежну не- безпеку для електричних кіл і обслуговуючого персоналу, а резо- нанс струмів має практичне застосування для штучного підвищення коефіцієнта потужності в промислових електроустановках. 6 1 ПРЕДСТАВЛЕННЯ СИНУСОЇДНИХ ВЕЛИЧИН ЗА ДОПО- МОГОЮ ВЕКТОРІВ І КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ Змінний струм довгий час не знаходив практичного застосування. Це було зв'язано з тим, що перші генератори електричної енергії виро- бляли постійний струм, що цілком задовольняв технологічним проце- сам електрохімії, а двигуни постійного струму мають гарні регулюва- льні характеристики. Однак у міру розвитку виробництва постійний струм усе менш став задовольняти зростаючим вимогам економічного електропостачання. Змінний струм дав можливість ефективного дроб- лення електричної енергії і зміни величини напруги за допомогою трансформаторів. З'явилася можливість виробництва електроенергії на електростанціях з наступним економічним її розподілом споживачам, збільшився радіус електропостачання. В даний час центральне виробництво і розподіл електричної енер- гії здійснюється в основному на змінному струмі.. Змінні струми і на- пруги викликають змінні електричні і магнітні поля. В результаті змі- ни цих полів у колах виникають явища самоіндукції і взаємної індук- ції, що роблять істотний вплив на процеси, що протікають у колах, ускладнюючи їхній аналіз. Змінним струмом (напругою, ЕРС і т.д.)називається струм (на- пруга, ЕРС і т.д.), що змінюється в часі. Струми, значення яких повто- рюються через рівні проміжки часу в одній і тій же послідовності, на- зиваються періодичними, а найменший проміжок часу, через який ці повторення спостерігаються, - періодом Т. Для періодичного струму маємо , Величина, зворотна періоду, є частота, вимірювана в герцах (Гц): , Діапазон частот, застосовуваних у техніці: від наднизьких частот (0.01¸10 Гц – у системах автоматичного регулювання, в аналоговій об- числювальній техніці) – до надвисоких (3000 ¸ 300000 МГц – мілімет- рові хвилі: радіолокація, радіоастрономія), промислова частота f = 50Гц. Миттєве значення змінної величини є функція часу. Її прийнято позначати малою літерою: 7 i - миттєве значення струму ; u – миттєве значення напруги ; е - миттєве значення ЕРС ; р- миттєве значення потужності Найбільше миттєве значення змінної величини за період назива- ється амплітудою (її прийнято позначати заголовною буквою з індек- сом m). - амплітуда струму; - амплітуда напруги; - амплітуда ЕРС. Значення періодичного струму, рівне такому значенню постійного струму, що за час одного періоду зробить той же самий тепловий чи електродинамічний ефект, що і періодичний струм, називають діючим значенням періодичного струму: Аналогічно визначаються діючі значення ЕРС і напруги. З усіх можливих форм періодичних струмів найбільше поширення одержав синусоїдний струм. У порівнянні з іншими видами струму синусоїдний струм має ту перевагу, що дозволяє в загальному випадку найбільше економічно здійснювати виробництво, передачу, розподіл і використання електричної енергії. Тільки при використанні синусоїд- ного струму вдається зберегти незмінними форми кривих напруг і струмів на всіх ділянках складного лінійного кола. Теорія синусоїдно- го струму є ключем до розуміння теорії інших кіл. Синусоїдні струми і напруги можна зобразити графічно, записати за допомогою рівнянь із тригонометричними функціями, представити у виді векторів на декартовій площині чи комплексними числами. Приведеним на рис. 1,1, 1,2 графікам двох синусоїдних ЕРС е 1 і е 2 відповідають рівняння: 8 Рисунок 1.1-Графік ЕРС Рисунок 1.2-Графік ЕРС Значення аргументів синусоїдних функцій і називаються фазами синусоїд, а значення фази в почат- ковий момент часу (t=0): і - початковою фазою ( ). Величину , що характеризує швидкість зміни фазового кута, на- зивають кутовою частотою. Тому що фазовий кут синусоїди за час одного періоду Т змінюється на рад., то кутова частота є , де f– частота. При спільному розгляді двох синусоїдних величин однієї частоти різницю їхніх фазових кутів, яка дорівнює різниці початкових фаз, на- зивають кутом зсуву фаз. Для синусоїдних ЕРС е 1 і е 2 кут зсуву фаз: На декартовій площині з початку координат проводять вектори, рівні по модулю амплітудним значенням синусоїдних величин, і обер- тають ці вектори проти стрілки (даний напрямок прийнято за по- зитивний) з кутовою частотою, рівною w. Фазовий кут при обертанні 9 відраховується від позитивної півосі абсцис. Проекції обертових век- торів на вісь ординат дорівнюють миттєвим значенням ЕРС е 1 і е 2 (рис.1. 3). Сукупність векторів, що зображують синусоїдно змінні ЕРС, напруги і струми, називають векторними діаграмами. При по- будові векторних діаграм вектори зручно розташовувати для початко- вого моменту часу (t=0), що випливає з рівності кутових частот сину- соїдних величин і еквівалентно тому, що система декартовых коорди- нат сама обертається проти стрілки зі швидкістю w. Таким чином, у цій системі координат вектори нерухомі (рис. 1.4). Векторні діаграми знайшли широке застосування при аналізі кіл синусоїдного струму. Їхнє застосування робить розрахунок кола більш наочним і простим. Це спрощення полягає в тім, що додавання і вирахування миттєвих значень величин можна замінити додаванням і вирахуванням відпові- дних векторів. Рисунок 1.3-Векторна діаграма Рисунок 1.4-Векторна діаграма Нехай, наприклад, у крапці розгалуження кола (рис.1.5) загальний струм дорівнює сумі струмів і двох віток: Рисунок 1.5-Вузол кола Кожний з цих струмів синусоїдний і може бути представлений рі- внянням 10 и. Результуючий струм також буде синусоїдний: Визначення амплітуди і початкової фази цього струму шляхом відповідних тригонометричних перетворень виходить досить громіздким і мало наочним, особливо, якщо розглядається велике чис- ло синусоїдних величин. Значно простіше це здійснюється за допомо- гою векторної діаграми. Рисунок 1.6-Векторна діаграма струмів На рис. 1.6 зображені початкові положення векторів струмів, проекції яких на вісь ординат дають миттєві значення струмів при t=0. При обертанні цих векторів з однаковою кутовою швидкістю w їхнє взаємне розташування не міняється, і кут зсуву фаз між ними залиша- ється рівним Тому що алгебраїчна сума проекцій векторів на вісь ординат дорі- внює миттєвому значенню загального струму, вектор загального стру- му дорівнює геометричній сумі векторів струмів: Побудова векторної діаграми в масштабі дозволяє визначити зна- чення і з діаграми, після чого може бути записане рішення для миттєвого значення шляхом формального обліку кутової часто- ти: 11 Геометричні операції з векторами можна замінити алгебраїчними операціями з комплексними числами, що істотно підвищує точність одержуваних результатів. Рисунок 1.7-Вектор на комплексній площині Кожному вектору на комплексній площині відповідає визначене комплексне число, що може бути записане в : показовій тригонометричній , чи алгебраїчній - формах. Наприклад, ЕРС , зображеної на рис.1. 7 обертовим вектором, відповідає комплексне число Фазовий кут визначається по проекціях вектора на осі “+1” і “+j” системи координат, як Відповідно до тригонометричної форми запису мнима складова комплексного числа визначає миттєве значення синусоїдно змінної ЕРС: 12 Комплексне число зручно представити у виді добу- тку двох комплексних чисел: Параметр , що відповідає положенню вектора для t=0 (чи на обертовій зі швидкістю w комплексній площини), називають компле- ксною амплітудою: , а параметр - ком- плексом миттєвого значення. Параметр є оператором повороту вектора на кут wt щодо початкового положення вектора. Взагалі говорячи, множення вектора на оператор повороту є його поворот щодо первісного положення на кут ±a. Отже, миттєве значення синусоїдної величини дорівнює мнимої частини без знака “j” добутку комплексу амплітуди й оператора повороту : Перехід від однієї форми запису синусоїдної величини до іншої здійснюється за допомогою формули Эйлера: Якщо, наприклад, комплексна амплітуда напруги задана у виді комплексного числа в алгебраїчній формі: , то для запису її в показовій формі, необхідно знайти початкову фазу , тобто кут, що утворить вектор з позитивною піввіссю +1: 13 Тоді миттєве значення напруги: , де При запису виразу для визначеності було прийнято, що , тобто що вектор знаходиться в першому чи четвертому квадрантах. Якщо , то при - другий квадрант: , а при - третій квадрант , чи Якщо задане миттєве значення струму у виді , то комплексну амплітуду записують спочатку в показовій формі, а потім (при необхідності) по формулі Эйлера пере- ходять до алгебраїчної форми: Варто вказати, що при додаванні і вирахуванні комплексів варто користатися алгебраїчною формою їхнього запису, а при множенні і розділі зручна показова форма. 14 Отже, застосування комплексних чисел дозволяє перейти від гео- метричних операцій над векторами до алгебраїчного над комплексами. Так при визначенні комплексної амплітуди результуючого струму по рис.1. 5 одержимо: де ; Діюче значення синусоїдних ЕРС, напруг і струмів Для діючого значення синусоїдного струму запишемо: Аналогічний результат можна одержати для синусоїдних ЕРС і напруг. Таким чином, діючі значення синусоїдних струмів, ЕРС і на- пруг менше своїх амплітудних значень у раз: Оскільки, як буде показано далі, енергетичний розрахунок кіл змінного струму звичайно проводиться з використанням діючих зна- чень величин, за аналогією з попереднім уведемо поняття комплексу діючого значення 15 2 ЕЛЕМЕНТИ КОЛА СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ. ВЕКТОРНІ ДІАГРАМИ І КОМПЛЕКСНІ СПІВВІДНОШЕННЯ ДЛЯ НИХ Резистор Ідеальний резистивний елемент не володіє ні індуктивністю, ні ємністю. Якщо до нього прикласти синусоїдну напругу (див. рис.2. 1), то струм i через нього дорів- нює Рисунок 2.1-Ідеальний резистивний елемент Співвідношення показує, що струм має ту ж початкову фазу, що і напруга. Таким чином, якщо на входи двопроменевого осцилографа подати сигнали u і i, то відповідні їм синусоїди на його екрані бу- дуть проходити (див. рис.2.2) через нуль одночасно, тобто на резис- торі напруга і струм збігаються по фазі. ; Рисунок 2.2-Графіки u, i Рисунок 2.3-Векторна діаграма 16 Перейдемо від синусоїдних функцій напруги і струму до відповід- них їм комплексів: ; , розділимо перший з них на другий: , чи Отриманий результат показує, що відношення двох комплексів є дійсна константа. Отже вектори напруги і струму (див. рис.2.3) збіга- ються по напрямку. Конденсатор Ідеальний ємнісний елемент не має ні активного опору (провід- ність), ні індуктивного. Якщо до нього прикласти синусоїдну напругу (див. рис.2. 4), то струм i через нього буде дорівнювати Рисунок 2.4-Ідеальний ємнісний елемент Отриманий результат показує, що напруга на конденсаторі від- стає по фазі від струму на /2. Таким чином, якщо на входи дво- променевого осцилографа подати сигнали u і i, то на його екрані бу- де мати місце картинка, що відповідає рис.2. 5: ; 17 Рисунок 2.5-Графіки u, i Рисунок 2.6-Графік X C =f(w) Уведений параметр називають реактивним єм- нісним опором конденсатора. Як і резистивний опір, має розмі- рність Ом. Однак на відміну від R даний параметр є функцією частоти, що ілюструє рис.2.6. З рис.2.6 випливає, що при конденсатор представляє розрив для струму, а при , - Перейдемо від синусоїдних функцій напруги і струму до відповід- них їм комплексів: ; , розділимо перший з них на другий: , чи 18 Рисунок 2.7-Векторна діаграма В останнім співвідношенні - комплексний опір конденсатора. Множення на відповідає повороту вектора на кут по годинній стрілці. Отже, рівнянню відповідає векторна діаграма, представлена на рис.2. 7. Котушка індуктивності Рисунок 2.8-Ідеальний індуктивний елемент Ідеальний індуктивний елемент не має ні активного опору, ні єм- ністного. Нехай струм (див. рис.2. 8) через нього визначається вира- зом . Тоді для напруги на затисках котушки ін- дуктивності можна записати Отриманий результат показує, що напруга на котушці індуктив- ності випереджає по фазі струм на /2. Таким чином, якщо на вхо- ди двопроменевого осцилографа подати сигнали u і i, то на його екрані 19 (ідеальний індуктивний елемент) буде мати місце картинка, що відпо- відає рис.2 9. а також Рисунок 2.9-Графіки u,i Рисунок 2.10-Графік X L =f(w) Уведений параметр називають реактивним індукти- вним опором котушки; його розмірність – Ом. Як і в ємнісного еле- мента цей параметр є функцією частоти. Однак у даному випадку ця залежність має лінійний характер, що ілюструє рис.2. 10. З рис.2. 10 випливає, що при котушка індуктивності не робить опору струму, а при , Переходячи від синусоїдних функцій напруги і струму до відпові- дних комплексів: ; , розділимо перший з них на другий: , чи 20 Рисунок 2.11-Векторна діаграма В отриманому співвідношенні - комплексний опір котушки індуктивності. Множення на відповідає пово- роту вектора на кут проти стрілки. Отже, рівнянню відповідає векторна діаграма, представлена на рис.2. 11 . 21 3 СПОСОБИ З'ЄДНАННЯ ЕЛЕМЕНТІВ КОЛА Послідовне з'єднання резистивного й індуктивного елементів Рисунок 3.1-Послідовне з'єднання R, L елементів Нехай у вітці на рис.3.1 . Тоді , при- чому межі зміни Рівнянню можна поставити у відповідність співвідношення , Рисунок 3.2-Трикутник напруг Рисунок 3.3-Трикутник опорів якому, у свою чергу, відповідає векторна діаграма на рис.3.2 Вектори на рис.3.2 утворять фігуру, названу трикутником напруг. Аналогіч- ний вираз 22 графічно може бути представлено трикутником опорів (див. рис.3.3), що подібний трикутнику напруг. Послідовне з'єднання резистивного і ємнісного елементів Рисунок 3.4- Послідовне з'єднання R, C елементів Опускаючи проміжні викладання, для вітки на рис.3.4 можна за- писати , де , причому межі зміни Рисунок 3.5-Трикутник напруг Рисунок 3.6-Трикутник опорів На підставі рівняння можуть бути побудовані трикутники напруг (див. рис.3.5) і опорів (див. рис.3.6), що є подібними. 23 Паралельне з'єднання резистивного і ємнісного елементів Рисунок 3.7- R, C з'єднання Для кола на рис. 3.7 мають місце співвідношення: ; , де [См] – активна провідність; , де [См] – реактив- на провідність конденсатора. Рисунок 3.8-Трикутник струмів Рисунок 3.9-Трикутник провідностей Векторна діаграма струмів для даного кола, названа трикутником струмів, приведена на рис.3.8. Їй відповідає рівняння в комплексній формі , 24 де ; - комплексна провід- ність; Трикутник провідностей, подібний до трикутника струмів, при- ведений на рис.3.9. Для комплексного опору кола на рис. 3.7 можна записати Необхідно відзначити, що отриманий результат аналогічний відо- мому з курсу фізики вираженню для еквівалентного опору двох пара- лельно з'єднаних резисторів. Паралельне з'єднання резистивного й індуктивного елементів Рисунок 3.10- R, L з'єднання Для кола на рис.3.10 можна записати ; , де [См] – активна провідність; 25 , де [См] – реактивна про- відність котушки індуктивності. Векторній діаграмі струмів (рис.3.11) для даного кола відповідає рівняння в комплексній формі , де ; - комплексна провід- ність; Трикутник провідностей, подібний до трикутника струмів, при- ведений на рис.3.12. Рисунок 3.11-Трикутник струмів Рисунок 3.12-Трикутник провідностей 26 4 ОСНОВИ СИМВОЛІЧНОГО МЕТОДУ РОЗРАХУНКУ КІЛ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ Закон Ома для ділянки кола з джерелом ЕРС Рисунки 4.1-Ділянки кола з ЕРС Візьмемо дві ділянки кола a-b і c-d (див. рис.4.1) і складемо для них рівняння в комплексній формі з обліком зазначених на рис.4. 1 по- зитивних напрямків напруг і струмів: Поєднуючи обидва випадки, одержимо: , чи для постійного струму 27 Формули є аналітичним виразом закону Ома для ділянки кола з джерелом ЕРС, відповідно до якого струм на ділянці кола з джере- лом ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі напруги на затисках ділянки кола й ЕРС, діленої на опір ділянки. У випадку змінного струму всі зазна- чені величини суть комплекси. При цьому ЕРС і напругу беруть зі зна- ком “+”, якщо їхній напрямок збігається з обраним напрямком струму, і зі знаком “-”, якщо їхній напрямок протилежно напрямку струму. Розрахунок кіл змінного синусоїдного струму може вироблятися не тільки шляхом побудови векторних діаграм, але й аналітично – шляхом операцій з комплексами, що символічно зображують синусо- їдні ЕРС, напруги і струми. Достоїнством векторних діаграм є їхня на- очність, недоліком – мала точність графічних побудов. Застосування символічного методу дозволяє робити розрахунки кіл з великим сту- пенем точності. Символічний метод розрахунку кіл синусоїдного струму заснова- ний на законах Кірхгофа і законі Ома в комплексній формі. Рівняння, що виражають закони Кірхгофа у комплексній формі, мають такий же вид, як і відповідні рівняння для кіл постійного стру- му. Тільки струми, ЕРС, напруги й опори входять у рівняння у виді комплексних величин. 1 Перший закон Кірхгофа у комплексній формі: 2 Другий закон Кірхгофа у комплексній формі: , чи стосовно до схем заміщення з джерелами ЕРС 28 5 ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕНЕРГІЇ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ. МИТТЄВА, АКТИВНА, РЕАКТИВНА І ПОВНА ПОТУЖНОСТІ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ Передача енергії W по електричному колу (наприклад по лінії електропередачі), перетворення енергії, тобто перехід електромагніт- ної енергії в теплову, а також в інші види енергії характеризуються інтенсивністю, з якою протікають процеси, тобто тим, скільки енергії передається по лінії в одиницю часу і скільки енергії перетворюється в одиницю часу. Інтенсивність передачі чи перетворення енергії нази- вається потужністю р. Сказаному відповідає математичне визначення: Вираз для миттєвого значення потужності в електричних колах має вигляд: Прийнявши початкову фазу напруги за нуль, а зсув фаз між на- пругою і струмом за , одержимо: Рисунок 5.1-Графіки u, i, p Отже, миттєва потужність має постійну складову і гармонійну складову, кутова частота якої в 2 рази більше кутової частоти напруги і струму. Коли миттєва потужність негативна, а це має місце (див. рис.5.1), 29 коли u і і різних знаків, тобто коли напрямки напруги і струму в двопо- люснику протилежні, енергія повертається з двополюсника джерелу. Таке повернення енергії джерелу відбувається за рахунок того, що енергія періодично запасається в магнітних і електричних полях від- повідно індуктивних і ємнісних елементів, що входять до складу дво- полюсника. Енергія, що віддається джерелом двополюснику протягом часу t дорівнює Середнє за період значення миттєвої потужності називається активною потужністю Приймаючи в увагу, що , одержимо: Активна потужність, споживана пасивним двополюсником, не може бути негативної (інакше двополюсник буде генерувати енергію), тому , тобто на вході пасивного двополюсника . Випадок Р=0, теоретично можливий для двополюсника, що не має активних опо- рів, а має тільки ідеальні індуктивні і ємнісні елементи. Тут напруга і струм (див. рис.5.2) збігаються по фазі , тому по- тужність завжди позитивна, тобто резистор споживає активну поту- жність 30 Резистор (ідеальний активний опір) Рисунок 5.2- Графіки u, i, p Котушка індуктивності (ідеальна індуктивність) Рисунок 5.3-Графіки u, i, p При ідеальній індуктивності струм відстає від напруги по фазі на Тому можна записати: Ділянка 1-2: енергія , що запасається в магнітному полі ко- тушки, наростає. 31 Ділянка 2-3: енергія магнітного поля убуває, повертаючи в джерело. Конденсатор (ідеальна ємність) Аналогічний характер мають процеси і для ідеальної ємності. Тут . Тому випливає, що . Таким чином, у котушці індуктивності і конденсаторі активна потужність не споживаєть- ся (Р=0), тому що в них не відбувається необоротного перетворення енер- гії в інші види енергії. Тут відбувається тільки циркуляція енергії: елект- рична енергія запасається в магнітному полі котушки чи електричному полі конденсатора протягом чверті періоду, а протягом наступної чверті періоду енергія знову повертається в мережу. У силу цього котушку інду- ктивності і конденсатор називають реактивними елементами, а опори Х L і Х С , на відміну від активного опору R резистора – реактивними. Інтенсивність обміну енергії прийнято характеризувати найбіль- шим значенням швидкості надходження енергії в магнітне поле коту- шки чи електричне поле конденсатора, що називається реактивною потужністю. У загальному випадку вираз для реактивної потужності має вигляд: Вона позитивна при відстаючому струмі (індуктивне навантажен- ня - ) і негативне при випереджальному струмі (ємнісне наван- таження - ). Одиницю потужності в застосуванні до виміру реа- ктивної потужності називають вольт-ампер реактивний (ВАр). Зокрема для котушки індуктивності маємо: , тому що З останнього видно, що реактивна потужність для ідеальної котуш- ки індуктивності пропорційна частоті і максимальному запасу енергії в котушці. Аналогічно можна одержати для ідеального конденсатора: 32 Повна потужність Крім понять активної і реактивної потужностей в електротехніці широко використовується поняття повної потужності: Активна, реактивна і повна потужності зв'язані наступним спів- відношенням: Відношення активної потужності до повної називають коефіцієнтом по- тужності. З приведених вище співвідношень видно, що коефіцієнт потужності дорівнює косинусу кута зсуву між струмом і напругою. Отже, Комплексна потужність Активну, реактивну і повну потужності можна визначити, корис- таючись комплексними зображеннями напруги і струму. Нехай , а . Тоді комплекс повної потужності: , де - комплекс, сполучений з комплексом . Рисунок 5.4-Трикутник потужностей 33 Комплексної потужності можна поставити у відповідність трикут- ник потужностей (див. рис.5.4). Рис. 5.4 відповідає (акти- вно-індуктивне навантаження). Застосування статичних конденсаторів для підвищення cos Як уже вказувалося, реактивна потужність цирку- лює між джерелом і споживачем. Реактивний струм, не роблячи кори- сної роботи, приводить до додаткових втрат у силовому устаткуванні і, отже, до завищення його встановленої потужності. У цьому зв'язку зрозуміле прагнення до збільшення в силових електричних ко- лах. Варто вказати, що переважна більшість споживачів (електродви- гуни, електричні печі, інші різні пристрої і прилади) мають активно- індуктивний характер. Рисунок 5.5-Принцип Рисунок 5.6-Векторні компенсації діаграми струмів Якщо паралельно такому навантаженню (див. рис.5.5), вклю- чити конденсатор С, то загальний струм , як видно з векторної діаг- рами (рис.5.6), наближається по фазі до напруги, тобто збіль- шується, а загальна величина струму (а отже, утрати) зменшується при сталості активної потужності . На цьому засноване за- стосування конденсаторів для підвищення 34 Яку ємність С потрібно взяти, щоб підвищити коефіцієнт потуж- ності від значення до значення ? Розкладемо на активну і реактивну складові. Струм через конденсатор компенсує частина реактивної складової струму навантаження : ; ; Маємо , що , але , відкіля необхідна для підвищення ємність: Баланс потужностей Баланс потужностей є наслідком закону збереження енергії і може бути критерієм вірності розрахунку електричного кола. а) Постійний струм Для будь-якого кола постійного струму виконується співвідно- шення: Варто вказати, що в лівій частині рівняння доданки мають знак “+”, оскільки активна потужність розсіюється на резисторах. У правій 35 частині сума більше нуля, але окремі члени тут можуть мати знак “-”, що говорить про те, що відповідні джерела працюють у режимі спо- живачів енергії (наприклад, заряд акумулятора). б) Змінний струм. З закону збереження енергії випливає, що сума всіх активних по- тужностей, що віддаються, дорівнює сумі всіх споживаних активних потужностей, тобто Можливо довести , що баланс дотримується і для реактивних по- тужностей: , де знак “+” відноситься до індуктивних елементів , “-” – до ємнісного Аналітичний вираз балансу потужностей у колах синусоїдного струму (без обліку взаємної індуктивності): ., чи 36 6 РЕЗОНАНСИ В КОЛАХ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ Резонансом називається такий режим роботи кола, що включає в себе індуктивні і ємнісні елементи, при якому її вхідний опір (вхідна провідність) дійсний. Наслідком цього є збіг по фазі струму на вході кола з вхідною напругою. Резонанс в колах з послідовно з'єднаними елементами (резонанс напруг) Рисунок 6.1-Послідовне коло Для кола на рис.6.1 має місце де ; . У залежності від співвідношення величин і можливі три різних випадки. 1. У колі переважає індуктивність, тобто , а отже, . Цьому режиму відповідає векторна діаграма на рис.6. 2,а. 37 Рисунок 6.2-Векторні діаграми 2. У колі переважає ємність, тобто , виходить, . Цей випадок відбиває векторна діаграма на рис.6. 2,б. 3. - випадок резонансу напруг (рис.6. 2,в). Умова резонансу напруг При цьому При резонансі напруг чи режимах, близьких до нього, струм у колі різко зростає. У теоретичному випадку при R=0 його величина прагне до нескінченності. Відповідно зростанню струму збільшуються напру- ги на індуктивному і ємнісному елементах, що можуть у багато разів перевищити величину напруги джерела харчування. Нехай, наприклад, у колі на рис. 1 . Тоді , і, відпо- відно, 38 Явище резонансу знаходить корисне застосування на практиці, зо- крема в радіотехніці. Однак, якщо він виникає стихійно, те може при- вести до аварійних режимів унаслідок появи великих перенапруг і надструмів. Фізична сутність резонансу полягає в періодичному обміні енергі- єю між магнітним полем котушки індуктивності й електричним полем конденсатора, причому сума енергій полів залишається постійною, Суть справи не міняється, якщо в колі є кілька індуктивних і ємнісних елементів. Дійсно, у цьому випадку , і співвідношення виконується для еквівалентних значень L Э і C Э Як показує аналіз рівняння, режиму резонансу можна домогтися шляхом зміни параметрів L і C, а також частоти. Для резонансної ча- стоти можна записати Резонансними кривими називаються залежності струму і напру- ги від частоти. У якості приклада на рис.6. 3 приведені типові криві I(f); і для кола на рис. 6.1 при U=const. Важливою характеристикою резонансного контуру є добротність Q, обумовлена відношенням напруги на індуктивному (ємнісному) елементі до вхідної напруги: , і характеризує “виборчі” властивості резонансного контуру, зок- рема його смугу пропущення Іншим параметром резонансного контуру є характеристичний опір, зв'язаний з добротністю співвідношенням Для можна записати: 39 Рисунок 6.3-Резонансні графіки Резонанс у колі з паралельно з'єднаними елементами (резонанс струмів) Рисунок 6.4 – Паралельне з'єднання R, L, C елементів Для кола рис.6.4 маємо , де 40 ; У залежності від співвідношення величин і , як і в розгля- нутому вище випадку послідовного з'єднання елементів, можливі три різних випадки. Рисунок 6.5-Векторні діаграми У колі переважає індуктивність, тобто , отже, . Цьому режиму відповідає векторна діаграма на рис.6. 5,а. У колі переважає ємність, тобто , виходить, Цей випадок ілюструє векторна діаграма на рис.6. 5,б. - випадок резонансу струмів (рис.6. 5,в). Умова резонансу струмів, чи При цьому, . Таким чином, при резонансі струмів вхідна провідність кола мінімальна, а вхідний опір, навпаки, максимальний. Зокрема при відсутності в колі на рис.6.4 резистора R його вхідний опір у режимі резонансу прагне до нескінченності, тобто при резонансі струмів, струм на вході кола мінімальний. 41 При визначенні резонансної частоти в колі довільної конфігура- ції, у загальному випадку, співвідношенням параметрів схеми в режи- мі резонансу, варто виходити з умови дійсного вхідного опору (вхід- ної провідності) кола. Рисунок 6.6-Реальний паралельний контур Наприклад, для кола на рис.6 6 маємо Оскільки в режимі резонансу мнима частина повинна бути рів- на нулю, то умова резонансу має вид , відкіля, зокрема, знаходиться резонансна частота. Резонанс у складному колі Умова резонансу для складного кола зі змішаним з'єднанням декі- лькох індуктивних і ємнісних елементів, що полягає в рівності нулю мнимої частини вхідного опору чи вхідної провідності , визначає наявність у відповідних цій умові рівнянь щодо декількох дійсних коренів, тобто таким колам відповідає кілька ре- зонансних частот. При визначенні резонансних частот для реактивного двопо- люсника аналітичний вираз його вхідного реактивного опору чи вхідної реактивної провідності варто представити у виді від- ношення двох поліномів по ступенях , тобто 42 чи . Тоді корені рівняння дадуть значення частот, що відповідають резонансам напруг, а корені рівнян- ня - значення частот, при яких виникають резонанси стру- мів. Загальна кількість резонансних частот у колі на одиницю менше кількості індуктивних і ємнісних елементів у схемі, одержуваної з вхі- дної шляхом її зведення до кола (за допомогою еквівалентних пере- творень) з мінімальним числом цих елементів. Характерним при цьому є той факт, що режими резонансів напруг і струмів чергуються. Як приклад визначимо резонансні частоти для кола рис.6 7. Вираз вхідного опору даного кола має вигляд Рисунок 6.7-Складний контур З рішення рівняння одержуємо частоту , що відповідає резонансу напруг, а з рішен- ня рівняння - частоту , що відповідає ре- зонансу струмів. 43 7 ВЕКТОРНІ І ТОПОГРАФІЧНІ ДІАГРАМИ Сукупність радіусів-векторів, що зображують синусоїдально змін- ні ЕРС, напруги, струми і т.д., називається векторною діаграмою. Ве- кторні діаграми наочно ілюструють хід рішення задачі. При точній по- будові векторів можна безпосередньо з діаграми визначити амплітуди і фази шуканих величин. Наближене (якісне) побудова діаграм при аналітичному рішенні служить надійним контролем коректності ходу рішення і дозволяє легко визначити квадрант, у якому знаходяться обумовлені вектори. При побудові векторних діаграм для кіл з послідовним з'єднанням елементів за базовий (відправний) вектор варто приймати вектор струму, а до нього під відповідними кутами підбудовувати вектори напруг на окремих елементах. Для кіл з паралельним з'єднанням еле- ментів за базовий (відправний) вектор варто прийняти вектор напруги, орієнтуючи щодо нього вектори струмів у паралельних вітках. Для наочного визначення величини і фази напруги між різними крапками електричного кола зручно використовувати топографічні діаграми. Вони являють собою з'єднані відповідно схеми електрично- го кола крапки на комплексній площині, що відображають їхні потен- ціали. На топографічній діаграмі, що представляє собою в принципі векторну діаграму, порядок розташування векторів напруг строго від- повідає порядку розташування елементів у схемі, а вектор спадання напруги на кожнім наступному елементі примикає до кінця вектора напруги на кожнім попередньому елементі. Як приклад побудуємо векторну діаграму струмів, а також топо- графічну діаграму потенціалів для схеми рис.7. 1. Рисунок 7.1-Контур зі змішаним з'єднанням Параметри схеми: 44 При даних параметрах і заданій напрузі на вході схеми знайдені значення струмів рівні: ; ; При побудові векторної діаграми задамося масштабами струмів і напруг (див. рис.7. 2). Векторну діаграму можна будувати, маючи за- пис комплексу в показовій формі, тобто за значеннями модуля і фази Однак на практиці зручніше проводити побудови, використовуючи ал- гебраїчну форму запису, оскільки при цьому дійсна і мнима складові комплексної величини безпосередньо відкладаються на відповідних осях комплексної площини, визначаючи положення вузлів на ній. Рисунок 7.2-Векторна діаграма Побудова векторної діаграми струмів здійснюється безпосередньо на підставі відомих значень їхніх комплексів. Для побудови топогра- фічної діаграми попередньо здійснимо розрахунок комплексних поте- нціалів (інший варіант побудови топографічної діаграми припускає розрахунок комплексів напруг на елементах кола з наступним підсу- 45 мовуванням векторів напруг уздовж контуру безпосередньо на ком- плексній площині). При побудові топографічної діаграми обхід контурів можна робити по напрямку струму чи проти. Частіше використовують другий варіант. У цьому випадку з обліком того, що в електротехніці прийнято, що струм тече від більшого потенціалу до меншого, потенціал шуканої крап- ки дорівнює потенціалу попередньої плюс спадання напруги на елементі між цими крапками. Якщо на шляху обходу зустрічається джерело ЕРС, то потенціал шуканої крапки буде дорівнює потенціалу попередньої плюс величина цієї ЕРС, якщо напрямок обходу збігається з напрямком ЕРС, і мінус величина ЕРС, якщо не збігається. Це випливає з того, що напруга на джерелі ЕРС має напрямок, протилежний ЕРС. Позначивши на схемі по рис. 7.1 крапки між елементами кола і прийнявши потенціал крапки а за нуль( ), визначимо потен- ціали цих крапок: чи Таким чином, у результаті проведених обчислень отримано, що . Різниця потенціалів крапок е и а дорівнює на- прузі U, прикладеному до кола, а воно дорівнює 120 В. Таким чином, другий закон Кірхгофа виконується, а отже, обчислення виконані вір- но. Відповідно до отриманих результатів будується топографічна діаг- рама на рис.7.2. Варто звернути увагу на орієнтацію векторів, що складають топографічну діаграму, щодо векторів струму: для резисти- вних елементів відповідні вектори паралельні, для індуктивного і єм- нісних – ортогональні. На закінчення помітимо, що вектори напруг орієнтовані щодо крапок топографічної діаграми протилежно позитивним напрямкам на- пруг щодо відповідних крапок електричного кола. У цьому зв'язку допус- кається не вказувати на топографічній діаграмі напрямку векторів напруг. 46 8 ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ Згідно із номером варіанту треба виконати: 1. Визначити всі струми і напруги на окремих ділянках кола ком- плексним методом; 2. Скласти рівняння енергетичного балансу електричного кола, перевірити баланс потужності; 3. Визначити показання вольтметра і ватметра; 4. Побудувати векторну діаграму струмів і потенційну діаграму для зовнішнього контуру ; 5. Розглянути можливі резонанси /резонанс напруг і струмів/. Визначити резонансні частоти; 6. Визначити коефіцієнт потужності схеми, зробити висновки та пропозиції до його підвищення. Значення вхідних даних і відповідні схеми електричного кола об- рати в табл. 8.1, рис. 1-30. Викладач може для окремих груп додавати кут зсуву напруги та коефіцієнти щодо зміни параметрів R, L, C елементів кіл. 47 Таблиця 8.1 Номер Вар. Рис. Е , В f, Гц С 1 , мкФ С 2 , мкФ С 3 , мкФ L 1 , мГн L 2 , мГн L 3 , мГн R 1 Ом R 2 Ом R 3 Ом 1 1 50 50 - 318 - 15,9 - 31,8 5 10 80 2 2 220 50 318 - 159 - 31,8 31,8 35 20 80 3 3 200 50 318 318 159 - - 31,8 35 20 80 4 4 100 50 500 - - - 15,9 31,8 35 - 40 5 5 120 50 500 - - - 15,9 95 4 - 4 6 6 100 50 - 318 200 9,55 - - 4 40 4 7 7 50 50 637 - 200 - 31,8 95 4 40 40 8 8 50 50 - 318 - 19,5 - 31,8 8 10 4 9 9 200 50 318 - 300 - 15,9 - 10 10 40 10 10 100 50 318 - 300 - - 31,8 - 10 10 11 11 220 50 637 - 637 - 9 - 6 - 20 12 12 200 50 - 159 - 25 - 95 6 - 20 13 13 100 50 637 159 - - - 95 6 - 20 14 14 150 50 - 159 - 25 - 95 6 10 20 15 15 200 50 637 - 200 - 31,8 - 15 - 20 16 16 100 50 - 159 200 15,9 - - 15 - 10 17 17 50 50 - 159 - 31,8 - 95 15 10 10 18 18 220 50 - 160 - 31,8 - 95 10 8 - 19 19 200 50 637 - 200 - 31,8 - - 8 10 20 20 100 50 - 160 200 31,8 - - - 8 10 21 21 150 50 100 - 200 - 15,9 - 10 2 10 22 22 220 50 637 - 200 - 15,9 - 5 10 8 23 23 120 50 - 300 100 31,8 - - 5 - 8 24 24 100 50 637 - 100 - 15,9 - - 10 8 25 25 50 50 - 637 - 15,9 - 6,37 5 - 8 26 26 200 50 - 159 - - - 115 10 4 10 27 27 100 50 100 300 - 15,9 - 115 10 - 10 28 28 120 50 637 318 - - - 15,9 8 3 4 29 29 100 50 - - 100 15,9 9 15,9 8 3 4 30 30 150 50 637 - - - 31,8 15,9 2 3 4 48 Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 Рисунок 4 Рисунок 5 Рисунок 6 Рисунок 7 Рисунок 8 49 Рисунок 9 Рисунок 10 Рисунок 11 Рисунок 12 Рисунок 13 Рисунок 14 Рисунок 15 Рисунок 16 50 Рисунок 17 Рисунок 18 Рисунок 19 Рисунок 20 Рисунок 21 Рисунок 22 Рисунок 23 Рисунок 24 51 Рисунок 25 Рисунок 26 Рисунок 27 Рисунок 28 Рисунок 29 Рисунок 30 52 ЛІТЕРАТУРА 1. Пантюшин В.С. Електротехника. – М.: – Высш. шк., 1976. – 560 с. 2. Электротехника под ред. В.Г. Герасимова , – 3-е изд., – М.: Высш. шк., 1985. – 480 с. 3. Касаткин А.С.,Немцов М.В. Электротехника.– М.: Высш. шк., 1984.- 375 с. 4. Иванов И.И., Равдоник В.С. Электротехника. – М.: Высш. шк., 1984.- 377 с. 5. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / Под. ред. В.С. Пантюшина. – М.: Высш. шк., 1979. – 253 с. 6. Липатов Д.Н. Вопросы и задачи по электротехнике для про- граммированного обучения. – М.: Энергия, 1977. – 304 с. 7. Борисов Ю.М. и др. Электротехника. – М.: Энергоатомиздат, 1985. – 552 с. 8. Паначевський Б.І.,Свергун Ю.Ф.Загальна електротехніка: Тео- рія і практікум.-К.:Каравела,2003.- 440с. 9. Малинівський С.М. Загальна електротехніка: Підручник.- Львів:Видавництво "Бескид Біт",2003.-640 с. Підписано до друку 23.12.2003 Формат 60х84 1/16, 3.25 др. арк. Тираж 150 прим. Зам. № 1995 69063 м. Запоріжжя, ЗНТУ, друкарня, вул. Жуковського, 64 |