Методика экономикоматематического моделирования на основе использования линейной модели бюджетирования
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
задача распре- деления по мероприятиям заданного общего объема денежных средств. Причем рекомендации по ее решению полностью совпадают с рассмотренными с той лишь разницей, что в систему до- бавляется еще одно линейное уравнение: � 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 1 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 Σ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 = Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≥ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 0 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 0 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 + � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗0 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑗𝑗 = 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 где ΔS Σ – заданный суммарный объем де- нежных средств. Тогда система линейных уравнений (1.10), подлежащая решению, принима- ет следующий вид: � 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 1 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 Σ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 = Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≥ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 0 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 0 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 + � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗0 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑗𝑗 = 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 При реализации рассмотренных ре- комендаций по решению этой системы первой строке матрицы (все единицы) в процессе ранжирования присваивает- ся самая высокая важность. Эта строка должна быть базисной – она не должна исключаться, даже если система окажет- ся несовместной. Для решения систем линейных урав- нений, имеющих единственное реше- ние, существуют различные методы, достаточно полно представленные в ма- тематической литературе. Анализ, про- веденный в настоящем исследовании, показал, что наиболее предпочтитель- ным в рассматриваемом случае является метод Гаусса, основанный на приведе- нии матрицы к треугольной [5]. Следует указать на существующие сложности в реализации рассмотренных рекомендаций по совершенствованию методов планирования бюджета, кото- рые связаны с огромным объемом вы- числений и необходимостью разработки и выбора достаточно эффективных алго- ритмов. Эти сложности связаны с: - определением базисных строк и столбцов матрицы с учетом их ранжи- рования; - решением системы линейных урав- нений, при большом количестве уравне- ний и неизвестных; - учетом точности расчетов. Особую актуальность этот вопрос имеет в отношении расчета определите- лей матриц, особенно если выполняется анализ, содержащий сравнение опреде- лителя матрицы с нулем (например, при определении ранга матрицы, базисных строк и столбцов и др.). Из-за погрешно- стей расчетов и округления данных неко- торый, по существу, равный нулю опре- делитель при практическом вычислении таковым может не оказаться, что вызовет цепочку дальнейших некорректностей. ВЕСТНИК АЛТАЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА № 11 2020 176 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ Разработка рекомендаций по ре- шению задачи бюджетирования путем сведения ее к задаче линейного программирования К задачам линейного программиро- вания, представляемым в формализован- ном виде математическими выражения- ми (3) и (4), сводятся задачи, при поста- новке которых, определяются целевые установки на оптимизацию какого-либо параметра. В задаче (3) минимизируется общий бюджет, в (4) – оптимизируется один из конечных показателей (мини- мизируется или максимизируется – в зависимости от сущности выбранного показателя). Ограничения в общем виде задаются равенствами или неравенства- ми типа «не меньше» и «не больше», в которые входят линейные (по отноше- нию к искомым приращениям денежных средств) математические выражения, определяемые линейной моделью. Усло- вия в виде неравенств могут содержать оба знака неравенства («<» и «>»). В ли- нейном программировании строгие не- равенства «<» и «>» не используются [7], так как при задаваемых ими ограничени- ях задача линейного программирования обычно не имеет решения (ибо точки экс- тремума, как доказывается в теории ли- нейного программирования, располага- ются на границе области, задаваемой не- равенствами и потому обязательно долж- ны обращать некоторые из неравенств в равенства). Для линейной функции и для линейных условий удается задачу нахож- дения экстремума решить (по крайней мере, теоретически) полностью за конеч- ное (хотя, возможно, и очень большое – например, в экономике) число шагов [7]. Решением задачи является совокупность значений приращений денежных средств, определяемых на проведение каждого из планируемых мероприятий. Для решения задач линейного про- граммирования могут быть использова- ны многие существующие компьютер- ные программы – от простой на нынеш- ний день программы Eureka до таких мощных пакетов, как MathCad и Math- ematica, а также специализированных математических программ [5]. В основу решения задач линейного программирования ложится «симплекс- метод» [4]. Вопрос состоит лишь в том, в каком виде необходимо формулировать оптимизационную задачу для конкрет- ной компьютерной программы. Так, требованием некоторых про- грамм является представление задачи в каноническом виде [2]: ограничения должны быть выражены только равен- ствами, а целевая функция должна ми- нимизироваться. В других программах решается так называемая основная зада- ча, при формулировании которой огра- ничения требуется выразить в виде не- равенств типа «не больше» («<») [2]. Поэтому в зависимости от того, ка- кой программный продукт используется, формальное представление задачи, воз- можно, придется преобразовать. Следует отметить, что любое равен- ство можно записать в виде системы, со- стоящей из двух неравенств. Например, равенство вида � 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 1 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 Σ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 = Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≥ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 0 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 0 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 + � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗0 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑗𝑗 = 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Эквивалентно, очевидно, следующей системе двух неравенств: � 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 1 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 Σ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 = Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≥ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 0 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 0 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 + � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗0 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑗𝑗 = 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 1 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 Σ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 = Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≥ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 0 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 0 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 + � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗0 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑗𝑗 = 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 или � 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 1 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 Σ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 = Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≥ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 0 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 0 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 + � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗0 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑗𝑗 = 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 1 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 Σ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 = Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≥ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 0 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 0 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 + � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗0 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑗𝑗 = 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Поэтому систему условий произ- вольной задачи (3) линейного про- граммирования, задаваемых в виде неравенств и (или) неравенств, всегда можно привести к системе неравенств, которая в общем случае примет следу- ющий вид: ВЕСТНИК АЛТАЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА № 11 2020 177 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ � 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 1 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … … 1 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 1 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝑆𝑆 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝑆𝑆 Σ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 = Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≥ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘 𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ𝛥𝛥 𝑘𝑘 0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 1 𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 − � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ −Δ 𝛥𝛥 𝑘𝑘 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 … Δ 𝑆𝑆 1 ≤ Δ 𝑆𝑆 1 0 −Δ 𝑆𝑆 1 ≤ −Δ 𝑆𝑆 1 0 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 + � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 Δ𝑆𝑆 𝑗𝑗0 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 ≤ 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑍𝑍 𝑦𝑦 𝑖𝑖 = Δ𝛥𝛥 𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 𝑖𝑖 𝑗𝑗 𝑆𝑆 𝑗𝑗0 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 и 𝑆𝑆 𝑗𝑗 + 𝑉𝑉 𝑚𝑚𝑗𝑗 = 𝑆𝑆 𝑗𝑗 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 В данной системе все неравенства приведены к однообразному типу «не больше» («≤»). В компьютерных программах, пред- назначенных для решения задач линей- ного программирования, все переменные обычно предполагаются неотрицатель- ными. Есть программы, в которых такие ограничения не накладываются, но это бывает очень редко и, потому, часто ус- ловия неотрицательности даже не всегда в явном виде выписывают, предполагая их как бы наполняемыми по умолчанию. В случае, если необходимо избавиться от отрицательных переменных, обычно существующие переменные отображают в виде разности двух заведомо неотри- цательных величин. Для задач (3)и (4) это целесообразно сделать, переходя от приращений средств к сумме денежных средств |