Методика экономикоматематического моделирования на основе использования линейной модели бюджетирования
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
ВЕСТНИК АЛТАЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА № 11 2020 170 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ УДК 338.24.01 Г. Ю. Башашкина Военный университет, Москва, e-mail: Bashashkina@mail.ru МЕТОДИКА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ БЮДЖЕТИРОВАНИЯ Ключевые слова: вектор, линейные уравнения, матрица линейной модели, бюджет, конечные показатели. В статье рассмотрены возможности экономико-математического моделирования методологии планирования бюджета хозяйствующего объекта, которые помогут смоделировать различные вари- анты бюджетирования с использованием технологии, основанной на подходе «затраты – эффект». Методика применения технологии, основанной на подходе «затраты – эффект», обладает некоторыми недостатками, связанные с неудобством проведения анализа. В свою очередь, указанные неудоб- ства связаны с многомерностью конечных показателей – потребностью в распределении денежных средств по мероприятиям на основе оптимизации нескольких критериев. Для каждого конечного показателя график строится при индивидуальном ранжировании мероприятий, что усложняет обо- зримость, анализ ситуации и моделирование распределения бюджета в целом. Проведенный анализ сущности распределения бюджета показал, что сводить процесс к оптимизации одного интегриро- ванного конечного показателя не целесообразно, т. к. каждый конечный показатель имеет определен- ный целевой смысл и требует индивидуальной оценки. Вместе с тем в результате исследования вы- явлен и рекомендуется для использования частный прием применения интегрированного показателя для распределения денежных средств по мероприятиям. G. Yu. Bashashkina Military University, Moscow, e-mail: Bashashkina@mail.ru METHODS OF ECONOMIC AND MATHEMATICAL MODELING BASED ON THE USE OF A LINEAR BUDGETING MODEL Keywords: vector, linear equations, linear model matrix, budget, final indicators. The article considers the possibilities of economic and mathematical modeling of the budget planning methodology of an economic object, which will help to model various budgeting options using a technology based on the “cost – effect”approach. The method of applying the technology based on the “cost – effect” ap- proach has some disadvantages associated with the inconvenience of conducting the analysis. In turn, these inconveniences are related to the multidimensional nature of the final indicators – the need to allocate funds for activities based on the optimization of several criteria. For each final indicator, the schedule is based on individual ranking of activities, which complicates visibility, analysis of the situation, and modeling of the budget distribution as a whole. The analysis of the essence of budget allocation showed that it is not advisable to reduce the process to optimization of one integrated final indicator, since each final indicator has a specific tar- get meaning and requires individual evaluation. However, as a result of the study, a private method of using an integrated indicator for the distribution of funds by activities has been identified and recommended for use. Исследование возможностей эконо- мико-математического моделирования методологии планирования бюджета хозяйствующего объекта, как уже под- черкивалось, в большой степени опи- рается на приемы, базирующиеся на эвристическом поиске пути улучшения некоторого варианта бюджетирования, основанного на анализе тенденций из- менения конечных результатов. Прак- тической же деятельности присуще стремление к полной автоматизации нахождения рационального варианта, что обычно достигается увеличением степени опоры на математические ме- тоды оптимизации. Это может быть обеспечено, если в общей проблеме оптимизации бюджети- рования выделить ряд частных подзадач, которые можно свести к задачам, реша- емых математическими методами. К ос- новным из них следует отнести: 1) оценку потребного объема бюдже- та для достижения желаемых конечных результатов; 2) распределение заданного объема денежных средств по проводимым ме- роприятиям при заданных значениях ко- нечных показателей; 3) оптимизацию (минимизацию) объ- ема бюджета при установленных ограни- чениях частных и конечных показателей; ВЕСТНИК АЛТАЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА № 11 2020 171 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ 4) оптимизацию распределения де- нежных средств по мероприятиям при установленном общем объеме бюджета с учетом установленных ограничений частных и конечных показателей. Решению указанных задач с прямым использованием математических мето- дов в настоящем исследовании способ- ствует создание математической линей- ной модели [2] бюджетирования, фор- мально представляемой выражением ΔY = DΔS, (1) где ΔY – вектор приращений конечных показателей; ΔS – вектор приращений денежных средств на проведение установленных мероприятий; D – матрица линейной модели. Первая и вторая из перечисленных задач может быть решена, будучи све- денной к решению системы линейных уравнений, представленной выражени- ем (1). В развернутом виде эта система записывается как [2]: � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 = 𝑑𝑑 11 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 12 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 = 𝑑𝑑 21 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 22 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 2𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 𝑛𝑛2 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 𝛥𝛥 = 𝛥𝛥 0 ∑ 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑘𝑘0 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 0 ; … � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑘𝑘0 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 0 ; … � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 (2) где ΔY i (i = 1 ... n) – элементы вектора ΔY размерности n (количество конечных показателей); ΔS j (i = 1 ... т) – элементы вектора ΔY размерности т (количество мероприятий); d ij (i = 1 ... n, j =1 ... т) – элементы матрицы D размерности п*т; Решением данной системы являет- ся совокупность элементов ΔS j вектора приращений денежных средств на про- ведение мероприятий при известных величинах приращений ΔY i конечных показателей и элементов d ij . Потребный объем бюджета при этом равен сумме � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 = 𝑑𝑑 11 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 12 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 = 𝑑𝑑 21 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 22 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 2𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 𝑛𝑛2 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 𝛥𝛥 = 𝛥𝛥 0 ∑ 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑘𝑘0 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 0 ; … � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑘𝑘0 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 0 ; … � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 (3) где S 0 – величина бюджета, потребная для достижения исходных значений ко- нечных показателей. Потребный объем денежных средств для проведения каждого мероприятия определяется как S j = S j0 + ΔS j , где S j0 – ве- личина денежных средств, определённая в качестве исходной. Методика определения величин Y i0 , S j0 , d ij , являющихся элемента- ми разработанной линейной модели, пред- ставлена в предыдущем параграфе. Третья и четвертая из перечисленных выше задач могут быть решены путем сведения их к задачам линейного про- граммирования, первая из которых мо- жет быть представлена в следующем формализованном виде[8]: � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 = 𝑑𝑑 11 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 12 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 = 𝑑𝑑 21 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 22 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 2𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 𝑛𝑛2 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 𝛥𝛥 = 𝛥𝛥 0 ∑ 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑘𝑘0 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 0 ; … � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑘𝑘0 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 0 ; … � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 (4) где величины ΔY i max , ΔY i min , ΔY k0 , ΔS j max , ΔS j min , ΔS j0 представляют собой ограни- чения величин конечных показателей, а также денежных средств, определяемые ограничениями частных показателей. Решение третьей задачи можно пред- ставить как комплекс решений подзадач, имеющих следующий вид: � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 = 𝑑𝑑 11 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 12 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 = 𝑑𝑑 21 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 22 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 2𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 + 𝑑𝑑 𝑛𝑛2 𝛥𝛥𝛥𝛥 2 + ⋯ + 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 𝛥𝛥 = 𝛥𝛥 0 ∑ 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑘𝑘0 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 0 ; … � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧�𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 � 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … � 𝑑𝑑 𝑘𝑘𝑗𝑗 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑘𝑘0 ; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≤ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ; 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 ≥ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 ; … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 = 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑙𝑙 0 ; … � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚; 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 (5) ВЕСТНИК АЛТАЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА № 11 2020 172 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ Разработка рекомендаций no реше- нию задачи бюджетирования, сводящей- ся к решению системы линейных урав- нений. Как отмечено выше, к решению си- стемы линейных уравнений сводится за- дача оценки потребного объема бюдже- та (по каждому мероприятию и в целом) для достижения желаемых конечных результатов. Эта система представлена выражением (2). В матричной форме она имеет вид DΔS = ΔY 0 или ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ 𝐷𝐷 1 = ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 �. � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 � − � 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟+1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 �. (6) где ΔY 0 – вектор заданных (желаемых) величин конечных показателей; ΔS – вектор искомых величин денеж- ных средств, планируемых на проведе- ние мероприятий. В соответствии с теоретическими вы- водами линейной алгебры [7] при реше- нии этой системы возможны три случая: - система не имеет решений (система не совместна); - система имеет бесконечное множе- ство решений; - система имеет единственное ре- шение. Применяя положения линейной ал- гебры к решению распределения денеж- ных средств, следует учитывать, что в любом из перечисленных случаев, ко- торые могут возникнуть на практике, адаптация этих выводов должна осу- ществляться так, чтобы ситуация была сведена к нахождению единственного решения. Это означает, что при опреде- лённых исходных данных, для которых решение не единственно, необходимо некоторые параметры изменить или до- полнить. Это необходимо сделать так, чтобы не потерять сути решаемой эко- номической задачи. Поэтому следует проанализировать условия появления указанных случаев. Система линейных уравнений не со- вместна, если не равны ранги матриц: D и расширенной D 1 (rang D ≠ rang D 1 ), где ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ 𝐷𝐷 1 = ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 �. � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 � − � 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟+1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 �. (7) Анализ матриц D и D 1 показывает, что - ранг расширенной матрицы D 1 всегда не меньше ранга матрицы D (rang D 1 ≥ rang D); - несовместность системы определя- ется наличием строк, содержащихся в ненулевом миноре, определяющем ранг матрицы D 1 , и одновременно являющих- ся линейной комбинацией строк, содер- жащихся в миноре, определяющем ранг матрицы D. С учетом этих особенностей структу- ру матриц D и D 1 для общего случая (не обязательно самого распространенного случая, возникающего в практике). На схеме формул 8 видно, что можно выделить три группы строк матриц: 1) строки, элементы которых исполь- зуются для расчета некоторого ненуле- вого минора матрицы D, определяющего ее ранг, т. е. минора, размерность которо- го равна рангу указанной матрицы; 2) строки, являющиеся линейной комбинацией строк первой группы и одновременно содержащие элементы, используемые для расчета ненулевого минора матрицы D 1 , определяющего ее ранг. Наличие таких строк также опре- деляет неравенство рангов матриц, что и указывает на несовместность системы; 3) строки, являющиеся линейной комбинацией строк, элементы которых используются для расчета обоих упоми- наемых миноров. Столбцы матрицы D также разделе- ны на две группы (это же деление ото- бражено и на схеме матрицы D 1 ), вклю- чающие столбцы, элементы которых используются и не используются для расчета выбранного ненулевого минора матрицы D определяющего ее ранг. Определитель квадратной матрицы, составленной из группы элементов dij, содержащихся в левой верхней области матрицы D, представляет собой ненуле- вой минор, определяющий ее ранг. ВЕСТНИК АЛТАЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА № 11 2020 173 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ a) ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … − − − … … … … − − − … … … 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑟𝑟 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑟𝑟 | | | | | | | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑟𝑟+1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑟𝑟+1 … … … … − − − … … … … − − − … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑚𝑚 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … − − − … … … … − − − … … … 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑟𝑟 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑟𝑟 | | | | | | | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑟𝑟+1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑟𝑟+1 … … … … − − − … … … … − − − … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑚𝑚 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑚𝑚 | | | | | | | | | 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 − − − 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟+1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟 1 0 − − − 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟 1 +1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ б) 5 4 3 1 2 4 3 1 2 (8) б) ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … − − − … … … … − − − … … … 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑟𝑟 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑟𝑟 | | | | | | | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑟𝑟+1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑟𝑟+1 … … … … − − − … … … … − − − … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑚𝑚 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … − − − … … … … − − − … … … 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑟𝑟 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑟𝑟 | | | | | | | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑟𝑟+1 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑟𝑟+1 … … … … − − − … … … … − − − … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟+1 𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 𝑚𝑚 − − − 𝑑𝑑 𝑟𝑟 1 +1 𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛 𝑚𝑚 | | | | | | | | | 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 − − − 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟+1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟 1 0 − − − 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟 1 +1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ б) 5 4 3 1 2 4 3 1 2 Характеристика элементов матриц D (a) и D 1 (б): 1. – базисные строки матрицы В; 2. – строки, входящие в ненулевой минор, определяющий ранг матрицы D 1 ; 3. – строки, являющиеся линейной комбинацией строк, входящих в минор, определяющий ранг только матрицы D; 4. – строки, являющиеся линейной комбинацией строк, одновременно вхо- дящих в миноры, определяющие ранг матриц D и D 1 ; 5. – базисные столбцы матрицы D Строки и столбцы матрицы D, эле- менты которых используются в расчете выбранного ненулевого минора, опреде- ляющего ранг матрицы, будем называть базисным [2]. Строки третьей группы необходимо вообще исключить из процесса решения задачи, т. к. они никак не влияют на ре- зультат. Наличие строк второй группы, как уже отмечалось, указывает на несо- вместность системы. Разрешить пробле- му несовместности можно изменением исходных данных, а именно изменением исходных значений конечных показате- лей ΔY r+10 … ΔY r10 , которые соответству- ют строкам этой группы. Изменить их следует таким образом, чтобы строки этой группы стали линейной комбина- цией базисных строк матрицы D. В этом случае эти строки также можно будет ис- ключить из рассмотрения, т. к. они тоже не будут влиять на результат. Таким об- разом, при наличии строк второй группы их также следует исключить из решения задачи, но при этом после решения си- стемы из оставшихся уравнений необхо- димо вычислить измененные значения конечных показателей ΔY r+10 … ΔY r10 . Это выполняется с использованием выраже- ний, соответствующих исключенным строкам. Таким образом, путем исключения строк второй и третьей групп приходим к упрощению матриц, которым и будет ВЕСТНИК АЛТАЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА № 11 2020 174 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ соответствовать система линейных урав- нений, имеющая решение (9): ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ 𝐷𝐷 1 = ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 �. � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 � − � 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟+1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 �. С точки зрения распределения де- нежного ресурса это означает, что путем анализа исходных данных: - выявляется наличие тех их них, ко- торые не влияют на результат распреде- ления и, поэтому, должны быть исклю- чены из анализа; - выявляется наличие тех из них, ве- личины которых противоречат здравому смыслу и должны быть изменены на до- пустимые значения. Следующий шаг анализа заключа- ется в выявлении ситуации, связанной с бесконечным множеством решений. Система будет иметь бесконечное мно- жество решений при наличии в матрице D столбцов, не являющихся базисными. Это имеет место в случае, когда число столбцов превышает число строк (число неизвестных превышает число уравне- ний). В этом случае для получения един- ственного решения необходимо неиз- вестным (ΔS j ), в количестве т – r, задать некоторые значения. В качестве таковых, должны быть выбраны те (ΔS r+1 , … ΔS m ), которые не соответствуют базисным столбцам матрицы D. Это означает, что для проведения некоторых планируемых мероприятий нужно предварительно за- дать величины денежных затрат. Есте- ственно, что в качестве таких меропри- ятий целесообразно взять те, которые вносят наименьший вклад в достижение конечных результатов, а сами затраты привести к минимальным величинам, оправляемыми ограничениями. Если все изложенное выполнить, то получим систему, имеющую единствен- ное решение: ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ 𝐷𝐷 1 = ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 �. � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 � − � 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟+1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 �. ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑗𝑗 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 ⎠ ⎟ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎛ 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ 𝐷𝐷 1 = ⎝ ⎜ ⎛ 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖1 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛1 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑗𝑗 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑗𝑗 … … … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑛𝑛𝑚𝑚 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑖𝑖 0 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑛𝑛 0 ⎠ ⎟ ⎞ � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 | | | 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 �. � 𝑑𝑑 11 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟1 … … … 𝑑𝑑 1𝑟𝑟 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑟𝑟 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 � = � 𝛥𝛥𝛥𝛥 10 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟0 � − � 𝑑𝑑 1 𝑟𝑟+1 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟 𝑟𝑟+1 … … … 𝑑𝑑 1𝑚𝑚 … 𝑑𝑑 𝑟𝑟𝑚𝑚 � � 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑟𝑟+1 … 𝛥𝛥𝛥𝛥 𝑚𝑚 �. (10) С учетом изложенного рекомендации по совершенствованию механизма; рас- пределения денежных средств по прово- димым мероприятиям будут выглядеть следующим образом. 1. Должны быть выполнены про- цедуры до получения матрицы D при- ращений конечных показателей на еди- ницу денежных средств, вкладываемых в проведение каждого мероприятия, и построен исходный вариант графика на- растания величин конечных показателей по технологии, основанной на подходе «затраты – эффект». 2. Должно быть произведено ранжиро- вание конечных показателей и мероприя- тий, при котором следует учесть, что: - ранжирование конечных показате- лей является весьма условным, – если система (1.5) совместна, то его вообще выполнять нет необходимости. Однако с первого взгляда, особенно при боль- шой размерности матрицы D, оценку совместности системы произвести бы- вает трудно. Ранжирование выполняется по важности показателя, которая, в свою очередь, определяется тем, какой из по- казателей будет вычисляться в процес- се решения системы уравнений, а какой будет определяться по принципу «какой получится» в случае, если эта система окажется несовместной. Последние счи- таются менее важными; - ранжирование мероприятий осу- ществляется с использованием варианта «затраты – эффект» [3]. 3. Матрица D перестраивается по важности строк и столбцов, где строки оцениваются по соответствующим им конечным показателям, а столбцы – по соответствующим мероприятиям. 4. Определяются базисные строки перестроенной матрицы D, для чего по- следовательно строки, начиная со вто- рой, проверяются на то, является ли она линейной комбинацией предыдущих. Если проверяемая строка является ли- нейной комбинацией, то она исключает- ся из матрицы. 5. Определяются базисные столбцы получившейся матрицы D, для чего по- следовательно столбцы, начиная со вто- рого, проверяются на то, является ли он линейной комбинацией предыдущих. Если проверяемый столбец является ли- нейной комбинацией, то ему изменяют ВЕСТНИК АЛТАЙСКОЙ АКАДЕМИИ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА № 11 2020 175 ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ место в иерархии, и он выводится из зоны группы базисных столбцов. В ре- зультате получается матрица D, отобра- женная в системе (10). 6. Для проведения мероприятий, со- ответствующих столбцам, не вошедшим в группу базисных, устанавливаются кон- кретные денежные затраты (ΔS r+1 ,… ΔS m ). Как уже отмечалось, эти затраты целе- сообразно определить на основе суще- ствующих ограничений на величины частных показателей. В результате по- лучается система линейных уравнений (11), имеющая единственное решение. 7. Осуществляется решение системы (11). В результате решения получают величины денежных затрат ΔS 1 , … ΔS r , которые совместно с установленными в п. 10, представляют оценку потреб- ного объема бюджета для достижения желаемых конечных результатов. Далее следует оценить полученный результат на предмет нарушений установленных ограничений. В случае если получен- ные результаты признаны неудовлетво- рительными, следует пересмотреть ис- ходные данные. 8. По найденным денежным затратам на проведение мероприятий рассчиты- ваются достигаемые значения конечных показателей, которые соответствуют строкам, исключенным из матрицы D. Оценивается приемлемость тех из зна- чений конечных показателей, которые не совпадают с планируемыми, поскольку именно эти запланированные значения приводили к несовместности системы. В случае, если полученные значения ко- нечных показателей признаны неудов- летворительными, то следует пересмо- треть принципы планирования (ограни- чения, желаемые конечные результаты). К решению системы линейных урав- нений также сводится и |