лЕКЦИИ. Методика изучения письменных приёмов умножения и деления
 Скачать 101.5 Kb.
|
|
ЛЕКЦИЯ Тема: Методика изучения письменных приёмов умножения и деления. План: Цели и задачи изучения письменных приёмов умножения и деления. Содержание и методические особенности ознакомления младших школьников с письменными приёмами умножения и деления: а) Умножение и деление на однозначное число. б) Умножение и деление на многозначное число. Литература: Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. – М.: Владос , 2007. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. Истомина Н.Б., Заяц Ю.С. Практикум по методике обучения математике в начальной школе. Развивающее обучение. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2009. С. 77-79. Тихоненко А.В. Методика обучения математике в начальной школе. - Ростов: Феникс, 2009. Байрамукова П.У. Методика обучения математике в начальной школе: курс лекций/ П.У. Байрамукова, А.У. Уртенова – Ростов н/Д: Феникс, 2009. Байрамукова П.У., Джулай А.М. Обучение математике в начальных классах: практические и лабораторные занятия/ П.У. Байрамукова, А.М. Джулай – Ростов н/Д: Феникс, 2007. Программы общеобразовательных учреждений. Начальные классы (1 – 4). Зайцев В.В. Математика для младших школьников. – М.:ВЛАДОС, 2001. Цель: Обеспечить формирование у учащихся прочных навыков выполнения письменного умножения и деления. Задачи: 1) Познакомить учащихся с алгоритмом письменного умножения и деления, сформировать умение сознательно пользоваться ими при умножении и делении на однозначное, двузначное и трёхзначное число. 2) Совершенствовать навыки табличного и внетабличного умножения и деления. 3) Познакомить школьников со свойствами умножения и деления числа на произведение. Содержание включает рассмотрение различных случаев умножения и деления в следующей последовательности: I этап: Умножение на однозначное число. Деление на однозначное число. II этап: Умножение числа на произведение. Умножение чисел оканчивающихся нулями. Деление числа на произведение. Деление чисел оканчивающихся нулями. III этап: Умножение на двузначное и трёхзначное число. Деление на двузначное и трёхзначное число. Пропедевтика письменного умножения («в столбик») осуществляется ещё в период внетабличного умножения в пределах ста. Там дети впервые мотивируются на использование такого приёма и получают представление об алгоритме и объяснение тому, что письменное умножение начинают с единиц. Приёмы умножения и деления системно изучают уже в конце 3-го класса. При этом постоянно ведётся работа по закреплению знаний и навыков, являющихся опорными для успешного освоения письменного умножения и деления. Письменное умножение опирается на: - запись числа в десятичной системе счисления, - таблицу умножения однозначных чисел, - таблицу сложения однозначных чисел, Законы сложения и умножения. Письменные приёмы деления опираются на: - алгоритм деления с остатком, - взаимосвязи умножения и деления, - табличное умножение и деление, - табличное сложение и вычитание, - свойство деления суммы на число, - разрядный состав чисел. Приёмы умножения и деления сильно разнятся и поэтому изучаются перемеживаясь, в три этапа (см. выше). На каждом этапе сначала изучают умножение, а затем деление. Это благоприятно для усвоения особенностей каждого действия и их взаимосвязи, придаёт разнообразие урокам. Отметим, что случаи с нулями на конце являются частными и изучаются вслед за общими. Обучение проходит в следующем порядке: подготовительная работа, ознакомление, формирование навыка. I этап Умножение на однозначное число. Подготовительная работа включает: - обобщение знаний о конкретном смысле умножения, - выполнение упражнений на замену суммы одинаковых слагаемых произведением, - решение простых задач на умножение, - умножение на 0 и 1, - умножение разрядных чисел на однозначное число, - умножение двухзначного на однозначное (15•3=(10+5) •3= 10•3+5•3= =30+15=45), - проверка правила умножения суммы на число для трёх и более слагаемых, например: (6+4+2) •5= 12•5=…. или (6+4+2) •5= 6•5+4•5+2•5=…., - применение указанного выше правила к умножению вида: 608•4= =(600+8) •4 = 600•4+8•4=… Ознакомление начинается с рассмотрения развёрнутой записи умножения трёхзначного на однозначное: 248•3=(200+40+8) •3= =200•3+40•3+8•3=600+120+24=744. Затем показывается краткая запись вычислительного приёма «в столбик»: х248 3 744 Если ребёнок испытывает трудности в переходе от развёрнутой записи к краткой, т.к. в этом случае необходимо помнить промежуточные результаты, то можно использовать полуразвёрнутую запись вида: х248 3 +600 +120 24 744 Переход от устного умножения к письменному необходимо построить так, чтобы учащиеся поняли, что сущность вычислительного приема, как при устном, так и при письменном умножении на однозначное число одна и та же: в обоих случаях используется свойство умножения суммы на число, но письменное умножение начинают с низших разрядов, а устное – с высших. Кроме того, к письменному умножению следует обращаться тогда, когда устно вычислить трудно! Удобен следующий приём ознакомления: 248•3=(200+40+8) •3= =200•3+40•3+8•3=600+120+24=744, 248•3=(8+40+200) •3= 8•3+40•3+200•3=24+120+600=744. Таким способом проверили справедливость приёма, и далее идёт знакомство с алгоритмом: - надо 248 умножить на 3, - записываем второй множитель под единицами первого, - слева ставим знак умножения «х», - начинаем умножение с единиц: 8•3=24 ед.=2 д.+4 ед., - единицы пишем под единицами, десятки запоминаем и т.д. Учащиеся в самом начале подробно комментируют процесс умножения, затем комментарии постепенно сворачиваются и школьники лишь кратко поясняют свои действия. При сформированном навыке все комментарии проходят во внутреннем плане. Учитель показывает, почему письменное умножение следует начинать с низшего, а не высшего разряда (чтобы избежать зачёркивания ранее написанных цифр): х248 3 624 744 Формирование навыка проходит в процессе выполнения большого числа вычислительных упражнений и решения арифметических задач. Деление на однозначное число. Подготовительная работа включает: - демонстрацию на конкретных примерах связи деления и умножения (знание потребуется для нахождения цифр частного), - проверку свойства деления суммы на число для более чем двух слагаемых и получение вывода: сумму трёх и более слагаемых, как и сумму двух слагаемых можно делить на число двумя способами: (20+14+8):2=42:2=21 или (20+14+8):2=20:2+14:2+8:2=10+7+4=21, - повторение приёмов внетабличного деления и деления с остатком, - выполнение упражнений по нумерации, способствующих установлению числа цифр в частном: 1) Сколько цифр будет в записи числа, если высший его разряд сотни? 2) Какой высший разряд у трёхзначного числа? 3) Сколько всего десятков (сотен) в числе 871? 4) Что обозначает число, записанное одной (двумя, тремя) цифрой высшего разряда числа 687? (6 сотен, 68 десятков, 687 единиц). Ознакомление начинается с введения устных приёмов деления на однозначное число, во время которого учащиеся могут дать соответствующие объяснения самостоятельно. Делимое заменяют суммой удобных слагаемых, так чтобы каждое слагаемое делилось на делитель, и полученные частные складывают: 867:3= (600+240+27):3=600:3+240:3+27:3= 200+80+9=289. Удобными будем считать такие слагаемые, при делении которых получаются частные – разрядные слагаемые. Для школьников проблематичен как раз подбор удобных слагаемых – это мотивирует на освоение краткой записи приёма деления («уголком»), где слагаемые образуются по чёткому алгоритму. Собственно приём письменного деления включает три этапа: Замена делимого суммой удобных слагаемых. Деление на делитель каждого из слагаемых. Сложение полученных частных. Письменное деление начинают с высших разрядов. Сначала выделяют первое неполное делимое, которое делят на делитель. При умножении каждой цифры частного на делитель получают соответствующие удобные слагаемые. Таким образом, выполняют следующий алгоритм: Образуют первое неполное делимое (в случае, когда число единиц высшего разряда нельзя разделить на делитель, т.ч. получились единицы этого разряда, первым неполным делимым будет двузначное число, записанное двумя цифрами высших разрядов), Устанавливают количество цифр частного (какие единицы делили, тот разряд и будет старшим в частном), Неполное делимое делят на делитель, чтобы найти соответствующую цифру частного, Найденную цифру частного умножают на делитель, для того, чтобы узнать, сколько единиц соответствующего разряда разделили. Полученное произведение вычитают из неполного делимого, для того, чтобы узнать, сколько единиц этого разряда осталось разделить, Проверяют, правильно ли найдена цифра частного, сравнив полученную разность с делителем. Методисты отмечают, что на начальном этапе освоения алгоритма полезно каждому ученику иметь памятку по делению: Прочитай и запиши пример. Выдели первое неполное делимое. Установи число цифр в частном. Раздели неполное делимое на делитель, и найди цифру частного. Умножь цифру частного на делитель и узнай, сколько единиц этого разряда разделили. Вычти полученное произведение из неполного делимого и узнай, сколько единиц этого разряда осталось разделить. Проверь, правильно ли подобрана цифра частного (сравни остаток от деления с делителем). Образуй следующее неполное делимое и продолжай так же деление до конца. Следует обращать внимание учащихся на следующие закономерности: В частном всегда получается столько цифр, сколько было неполных делимых. Сумма удобных слагаемых равна делимому, если деление выполняется без остатка. Процесс деления сводится к делению суммы на число. В этот период полезно включать следующие упражнения: - на преобразование вида 600:3+240:3+27:3=(600+240+27):3=867:3: - на увеличение числа разрядов в делимом (от трёхзначного до шестизначного числа), получая в частном столько же цифр, что и в делимом или на одну меньше; - на использование переместительного закона умножения: 4•536=536•4=…. При изучении умножения и деления многозначного числа на однозначное особое внимание следует уделить частным случаям, т.е. для чисел, оканчивающихся нулями. Умножение многозначного числа, оканчивающегося нулями: х36400 х364 сот. 3 3 109200 1092 сот. Объясняется этот приём следующим образом: подписываю второй множитель (3) под первой отличной от нуля цифрой первого множителя (4). В числе 36400 содержится 364 сотни. Умножаем 364 сотни на 3, получится 1092 сотни или 109200. Другими словами: выполняют умножение не обращая внимания на нули, записанные в конце первого множителя, и к полученному произведению приписываем справа столько же нулей, сколько их записано в конце первого множителя. Деление, при котором в записи частного встречаются нули на конце или в середине: -3640| 4 -36360 | 4 36 |910 36 |9090 - 4 -3 4 0 0 -36 36 0 Как объясняется появление нуля в частном? В первом случае имеем последний остаток 0 и единиц тоже 0. Делим 0 на 4 и получаем 0 единиц. Во втором случае: невозможно 3 сотни разделить на 4 так, чтобы получить сотни, поэтому на месте сотен в частном пишем 0, и далее будем делить десятки (их 36) и т.д. Чтобы предупредить пропуски нулей в частном, необходимо устанавливать число цифр в частном до выполнения деления (поставить соответствующее число точек в частном), а после выполнения делать проверку. Очень эффективны упражнения вида «Найди ошибку 3645:9=45». II этап Умножение числа на произведение. Этап начинается с рассмотрения приёмов умножения на 10, 100, 1000 в порядке повторения, т.к. отчасти материал опирается на знание нумерации: 456•10=456 десятков=4560 единиц. Далее рассматривают приёмы умножения на «круглые числа» (например: 40, 400, 4000) и на этой основе вводят приём умножения числа на произведение. Учащимся предлагают вычислить различными способами произведение 13• (5•2): 1) 13• (5•2)=13•10=130, 2) 13• (5•2)=(13•5) •2=65•2=130, 3) 13• (5•2)=(13•2)•5=26•5=130. Учащиеся делают вывод: чтобы умножить число на произведение, можно найти произведение и умножить число на полученный результат, а можно умножить число на один из множителей и полученный результат умножить на другой множитель. Это свойство закрепляется при решении различных примеров и задач разными способами, наиболее удобным способом. Умножение чисел, оканчивающихся нулями а) Сначала рассматривают устные приёмы умножения на разрядные числа. Предлагаются подготовительные упражнения вида: 60=6•10, 40=4•10, 500=5•100 и.т.п. Для умножения вида 17 на 40 представляется второй множитель в виде произведения удобных сомножителей: 40=4•10, а далее имеем: 17•40=17•(4•10)=(17•4)•10=68•10=680. Прогнозируемая ошибка учащихся – смешивание правил умножения числа на произведение с умножением числа на сумму: 17•40=17•(4•10)=(17•4)+ 17•10=68+170=238, 17•13=17•(10+3)=(17•10) •3=170•3=510. С целью предупреждения ошибок следует предлагать пары заданий: 7•30=7•(3•10)=(7•3) •10=21•10=210, 7•13=7•(10+3)=7•10+7•3=70+21=91, а так же проводить анализ решения. Полезно вводить задания на сравнение значений выражений вида: 36•10•4*36•14 45•6+45•10*45•60 б) Далее рассматривают письменные приёмы умножения: х385 40 15400 Объясняют это так: число 385 умножаем сначала на 4, а затем полученный результат умножаем на 10. Для первой части умножения пользуются кратким пояснением, т.к. этот материал не нов, а для второй вспоминают, что при умножении на 10 достаточно к первому множителю справа приписать ноль. Умножение на трёх-, четырёхзначные разрядные числа (400, 4000 и т.п.) выполняется аналогично. в) Рассматриваются особые случаи, где оба множителя оканчиваются нулями. Сначала рассуждают устно: 400•50=4 сот. •50= (4 сот. •5) •10= 20 сот. •10=200 сот.=20000. Затем аналогично проводят письменные рассуждения: х8300 40 332000 Выполняя различные упражнения, анализируя данные и полученные результат, учащиеся приходят к правилу: в подобном случае нужно умножить числа, которые получаются, если отбросить нули, а затем к полученному произведению приписать справа столько нулей, сколько их записано в конце обоих сомножителей вместе. Деление числа на произведение а) В подготовительный период повторяю приёмы деления без остатка на 10, 100, 1000: 700:100=7 сот.:1 сот.=7 б) Следующим шагом вводят приёмы деления с остатком на 10, 100 и 1000. Например: 79:10=7 (ост.9). При этом выделяют в делимом наибольшее число, которое делиться на 10 без остатка. Это 70. Делим выделенное число (70) на 10, получили 7, а 9 единиц будут в остатке. Здесь школьникам предоставляется возможность самостоятельно «открыть новое знание». Сравнивая делимое с частным, учащиеся делают вывод: в частном получается столько же единиц, сколько десятков в делимом, а в остатке – число единиц делимого. Аналогично получают вывод при делении на 100 (в частном столько единиц, сколько в числе сотен, а остаток записан двумя последними цифрами делимого) и при делении на 1000 (в частном столько единиц, сколько в числе тысяч, а в остатке число, записанное тремя цифрами последних разрядов делимого). в) Далее на основе графических представлений рассматривается сам приём деления числа на произведение. 12: (2•3)=12:6=2
12: (2•3)=(12:2):3=2
12: (2•3)=(12:3):2=2
Учащиеся делают вывод: при делении число на произведение, можно вычислить произведение и разделить число на полученный результат; можно разделить число на первый множитель и полученный результат разделить на второй множитель; можно разделить число на второй множитель и полученный результат разделить на первый множитель. Работа по закреплению приёма и формированию навыка применения аналогична описанной в п.3. Деление чисел, оканчивающихся нулями а) Первым шагом рассматриваются устные приёмы деления на двузначные и трёхзначные разрядные числа (случаи, когда в частном получается однозначное число. Сначала делим без остатка: 320:80=320:(8•10)=(320:8):10= 40:10=4. При этом удобнее: 320:80=320:(8•10)=(320:10):8= 32:8=4. Далее рассматривают случаи деления с остатком: 520:60=8 (ост.40). Рассуждают так: - Нужно 520 разделить на 60. - Разделю 520 на 10 и полученное частное разделю на 6, получится 8. - Узнаю, сколько единиц разделили (60•8=480). - Узнаю, сколько единиц не разделили (520-480=40) – это остаток. После нескольких подробных пояснений переходят к кратким. б) Следующим шагом рассматривают письменные приёмы деления на разрядные числа: -3960| 90 -4980 | 60 360 | 44 480 | 83 -360 -180 360 180 0 0 Рассуждают так: - Первое неполное делимое 498 десятков, значит, в частном будет две цифры (десятки и единицы). - Узнаем, сколько десятков будет в частном – разделим 498 на 10 и полученное частное (49) разделим на 6. Получили 8. - Узнаем, сколько десятков разделили (60•8=480). - Узнаем, сколько десятков осталось (498 – 480=18). Нельзя 18 десятков разделить на 60 так, чтобы получились десятки, значит цифра десятков подобрана правильно. - Образуем второе неполное делимое: 18 десятков = 180 единиц и т.д. Для закрепления приёма и формирования навыка включают упражнения: - 12750:30=(12000+600+150):3=12000:3+600:3+150:3=40 00+200+50=… - 1400:40=35, 14820:60=247 (дети наблюдают и делают вывод: различное число цифр в делимом, а, следовательно, и в частном), - 480:20=24 и 150:30=5 (дети наблюдают и делают вывод: одинаковое число цифр в делимом, но различное число цифр в частном), - упражнения на деление без остатка и с остатком даются перемеживаясь, - включаются упражнения – особые случаи, когда в записи частного на конце или в середине есть нули. III этап Умножение на двузначное и трёхзначное число. В основе лежит свойство умножения числа на сумму. Начинается этап с введения устного умножения двузначного на двузначное (лёгкий случай): 14•13•=14•(10+3)=14•10+14•3=140+42=182. Затем рассматривается более трудный случай устного умножения двузначного на двузначное: 73•56=73•(50+6)=73•50+73•6=? Это вычислить не просто и дети прибегают к письменным вычислениям неполных произведений: х73 х73 +3650 50 6 438 3650 438 4088 Решение «устно-письменное» и запись получились громоздкими и учитель показывает более краткую запись письменного умножения «в столбик»: х73 56 +438 3650 4088 Педагог сопровождает показ комментарием: «Чтобы умножить 73 на 56, нужно сначала умножить 73 на 6, затем 73 на 60 и полученные числа сложить. При этом: 73 и 56 – это множители, 438 – первое неполное произведение, 3650 – второе неполное произведение, 4088 – окончательный результат или полное произведение». Далее учащиеся решают несколько примеров, подробно комментируя основные операции приёма, дают подробные объяснения новым операциям, а знакомые выполняют самостоятельно или с кратким пояснением. Учитель обращает внимание учащихся на особенность второго неполного произведения – оно всегда оканчивается 0. Следовательно, при сложении неполных произведений число единиц всегда будет таким, каково их число в первом неполном произведении. Тогда можно 0 не писать, а второе неполное произведение начинать записывать под десятками. Аналогично вводится умножение на трёхзначное число. Рассматривают случаи вида: 374•652=374•(600+50+2)=374•600+374•50+374•2=… Учитель просит учащихся составить план вычисления, а затем по плану решения воспроизвести письменную запись этого умножения («в столбик»). Далее идёт работа над закреплением изученного приёма и предупреждением смешения изученных приёмов. Для этого: - решают пары примеров, где на фоне сходного ярче выступает различие приёмов: 138•14=138•4+138•10=? 138•40=(138•4) •10=?; - предлагаются обратные задания: 268•4+268•20=? (268•24) (268•4) •10=? (268•40); - устно и письменно решаются пары примеров: 36•13 и 36•30; - письменно решаются примеры в несколько действий и сравниваются их результаты: что больше 524•6•10 или 524•6+524•10?; - решаются примеры разными способами: 37•12=37•(3•4)=37•3•4 37•12=37•(6•2)=37•6•2 37•12=37•(2+10)=37•2+37•10 37•12=12•37=12•(30+7)=12•30+12•7 ит.д.; Далее рассматривают частные случаи умножения чисел в записи которых на конце или в середине множителей есть нули. Эти приёмы знакомы учащимся, поэтому они могут самостоятельно перенести их в новые условия. х530 х351 25 604 +265 +1404 106 2106 132550 212004 В первом случае 53 десятка умножаем на 25 и получаем 1325 десятков или приписав нуль справа – 13550 единиц. Во втором случае 351 умножаем на 4 и 351 умножаем на 600, а затем 1404 единицы и 2106 сотни сложим. Для формирования прочного вычислительного навыка следует не забывать о таком эффективном приёме как проверка вычисления. Деление двузначное и трёхзначное число. В основе лежит свойство деления суммы на число. Для определения цифр частного пользуются приёмом замены делителя разрядным числом. Напомним, что в предыдущих случаях найденную цифру частного записывали сразу, а в этом – округляют делитель, получают «пробную» цифру частного, которую ещё нужно проверить. Порядок введения приёма следующий. Начинают с решения примеров деления без остатка и с остатком трёхзначных чисел, где цифру частного находят в результате одной пробы и в частном получают однозначное число: -288 | 36 -315 | 63 _3456 |54 288 | 8 315 | 5 324 | 64 0 0 _216 216 0 В первом случае заменим делитель ближайшим разрядным числом – 40. Достаточно 288:40 или 28:4 и определить пробную цифру – 7. Во втором случае заменим 63 на 60 и разделим 315:60 или 31:6, определяем пробную цифру – 5. Проверка показывает 63•5=315, следовательно, цифра 5 – верна. В третьем случае определяем число цифр в частном. Первое неполное делимое – 345 десятков, следовательно, в частном будут десятки и единицы (2 цифры).Делим 34 на 5 и получаем 6. Проверяем: 54•6=324, 345 – 324=21 – остаток меньше делителя 54, следовательно, первая пробная цифра частного определена верно. Образуем второе неполное делимое – 216. Делим 216:54. Разделим 21:5 и выявим вторую пробную цифру частного – 4. Проверим её: 54•4=216. Частное – 64. Долее рассматривают случаи, когда в частном получается однозначное число, но цифра частного находится в результате нескольких проб. Дети должны понять необходимость проверки цифры частного. Например, 232:58=? Если 23:6=3(ост.5), но проверка этой пробной цифры (58•3=174, 232 – 174=58 – остаток больше делителя!) показывает, что она не подходит. Необходимо её увеличить и проверить цифру 4. Отметим, что поверка проходит устно и в этом заключается сложность. Следующим шагом рассматривают случаи деления любых четырёх, пяти, шестизначных чисел без остатка и с остатком. Комментарии постепенно сокращают, переводят во внутренний план. Дети понимают, что удобнее (целесообразнее) в большинстве случаев заменит делитель ближайшим меньшим разрядным числом. В заключение рассматривают случаи, при которых в середине записи частного содержится 0. Сначала решают устно: 1812:12=(1800+12):12=1800:12+12:12=150+1=151 3926:13=(3900+26):13=3900:13+26:13=300+2=302. Затем ведут деление письменно («уголком»). Особое внимание следует уделить определению количества цифр в частном, что позволит предупредить ошибки. При этом дети уже без специального указания учителя должны стремиться самостоятельно выполнить проверку. Аналогично рассматривают деление на трёхзначное число. Материал закрепляется и отрабатывается до окончания начальной школы.
|