Сальников Александр ЭСБ-241 Курсовая. Министерств

• Название: Министерств
• Дата: 22.05.2023
• Размер: 1.98 Mb.
• Имя файла: Сальников Александр ЭСБ-241 Курсовая.docx
• Тип: Документы; #1152216

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»

Институт Экономики и Финансов

Кафедра «Информационные системы цифровой экономики»

Курсовая работа

по дисциплине «Методы оптимальных решений»

на тему

«Модели организации и планирования производства»

Вариант №20

Выполнил:

Студент гр.ЭСБ-241 Сальников А.Д.

Проверил: доц. Фроловичев А.И.

Москва 2023

СОДЕРЖАНИЕ

Оглавление……………………………………………………………………………………1

Введение…………………………………………………………………………..2

Основная часть……………………………………………………………............3

Кейс-задание №1…………………………………………………………….3

Математическая модель задачи………………………………………...4

Решение задачи графическим методом…………………………………5

Решение задачи с помощью надстройки «Поиск решения»………….7

Интерпретация результатов и общий вывод……………………………9

Кейс-задание №2В………………………………………………………....10

Математическая модель задачи………………………………………..11

Решение задачи линейного программирования симплексе-методом..12

Решение задачи линейного программирования с помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel……………………………………………………..14

Исследование оптимального решения………………………………...16

Заключение……………………………………………………………………….19

Список литературы………………………………………………………………20

 

ВВЕДЕНИЕ

Человеческая деятельность связана с принятием множества решений по способам достижения поставленных целей. При принятии решений приходится учитывать много факторов, таких как: ограниченность ресурсов, неопределённость внешних условий, присутствие конкурирующих сторон, которые стремятся достичь своих целей, не всегда совпадающих с нашими.

Если в какой-то системе (экономической, организационной, управленческой) имеющихся в наличии ресурсов не хватает для эффективного выполнения запланированной задачи, то возникают распределительные задачи. Цель решения таких задач – отыскание оптимального распределения ресурсов по работам. Под оптимальностью распределения может пониматься, например, минимизация общих затрат, связанных с выполнением работ, или максимизация получаемого в результате общего дохода. Для решения таких задач используются методы математического программирования.

Математическое программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения.

Наиболее простыми и лучше всего изученными среди задач математического программирования являются задачи линейного программирования.

Линейное программирование — это наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Для решения задач линейного программирования составляется математическая модель задачи и выбирается метод решения. По типу решаемых задач методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Целью данной курсовой работы является овладение математическими методами решения экономических задач. Задачи курсовой работы:

• 
  освоить графический метод решения задачи линейного программирования
  
• 
  научиться строить экономико-математические модели основных типов задач линейного программирования и решать данные задачи с помощью надстройки Microsoft Excel «Поиск решения»;
  
• 
  освоить симплекс-метод и метод решения задачи линейного программирования.
  

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Кейс-задание №1

Предприятие может выпускать две марки стали: сталь марки А и сталь марки B. Норма расхода сырья, времени работы оборудования и затрат на электроэнергию, которые необходимы для производства одной тонны каждого изделия, приведены в таблице.

Недельные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие, ограничены. По сырью эти ограничения обусловлены финансовыми средствами, емкостью складских помещений, логистическими ограничениями и т.д., по оборудованию – плавильными мощностями и трудовыми ресурсами, по электроэнергии – техническими и финансовыми причинами. Размеры запасов и прибыль от реализации продукции в у.е. за 1 тонну приведены в таблице 1.

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на тонну продукции		Ограничения по ресурсам
	Сталь марки A	Сталь марки B
Сырье, ед.	0,55k	0,75k	3200+20k
Оборудование	0,45k	0,6k	2100+30k
Электроэнергия	0,4k	0,7k	2100+25k
Прибыль (у.е./т)	90	140

Исходная таблица. Таблица 1.

	Нормы расхода ресурсов на тонну продукции		Ограничения по ресурсам
Ресурсы	Сталь марки A	Сталь марки B
Сырье, ед.	11	15	3600
Оборудование	9	12	2700
Электроэнергия	8	14	2600
Прибыль (у.е./т)	90	140

Таблица со значениями из варианта. Таблица 2.


Требуется сформировать недельную производственную программу (определить объемы выпуска каждого вида продукции), при которой прибыль от реализации будет максимальной. Для этого предлагается:

1. Составить математическую модель данной задачи

2. Решить задачу линейного программирования графическим методом; 

3. Решить задачу линейного программирования с использованием надстройки «Поиск решения» MS Excel; 

4. Провести интерпретацию результатов и сделать выводы. 

 

​1. Математическая модель данной задачи 

1) критерий – максимум прибыли 

2) переменные 

x₁ – количество стали марки А

x₂ – количество стали марки В

3) целевая функция – максимизация прибыли

Z(x) = 90 x₁ + 140 x₂ -> max

4) система ограничений

Целевая функция:

Z(X) = 90х₁+140х₂max

Ограничения по запасам ресурса на три вида продукции.

Левая часть ограничения по нормам расхода ресурсов представляет собой сырье, оборудование и электроэнергию, затрачиваемые на производство объема выпуска каждого вида крепежных изделий х1, х2. Правая часть ограничения – это их запас ресурса.

Получаем следующие ограничения:
- по сырью:

11х₁ + 15х₂ ≤ 3600

- по оборудованию:

9х₁ + 12х₂ ≤ 2700

- по электроэнергии:

8х₁ + 14х₂ ≤ 2600
Вид математической модели:

Z(X) = 90х₁+140х₂  max




2. Решение задачи линейного программирования графическим методом

​Решение графическим методом означает, что нужно построить прямые по каждым неравенствам и определить полуплоскости. 

​Z(x) = 90 x₁ + 140 x₂ -> max

​

Соблюдая алгоритм, решим ЗЛП графическим методом:

1) Построение ОДР (область допустимых решений). Для построения графической системы необходимо решить неравенства. Для этого приравняем каждое из неравенств и решим их по отдельности.

1)

х1	0	300
х2	240	20

2)

х1	300	0
х2	0	225

3)

х1	325	150
х2	0	100

2) Вектор градиента целевой функции. Исходя их нашей целевой функции задачи Z(X) = 90х₁+140х₂  max, можем найти вектор-градиент. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации Z(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (90;140).

grad = (90;140)


Рис.1.1 (график)

3) построение линий уровня целевой функции и нахождение экстремальной точки:

90 x₁ + 140 x₂ =0

Х_max = С

4) определение точки экстремума аналитически:

Х_max = (2) (3)



x₁ =220; x₂ =60

Z_max = 90*220+ 140 * 60 = 28200

Ответ: x₁ =220; x₂ =60; Z_max = 28200

Вывод: при объеме выпуска 220 тонн стали марки А и 60 тонн стали марки В, прибыль составит 28.200 у.е.

3. Решение задачи линейного программирования спомощьюнадстройки«Поиск решения»MSExcel.

Построив математическую модель, можно перейти к построению табличной модели. Для этого введем данные – параметры, которые характеризуют выпуск крепежных изделий, в единую таблицу.



Рис.1.2. (Исходные данные в табличной модели)

В колонке «Запас ресурса» указаны ограниченные месячные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие.

Целевая функция. В ячейке В11 будет отображаться значение целевой функции. Формула, по которой это значение будет рассчитано, определяется выражением:

90х₁+140х₂

Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel, получим следующее:

=СУММПРОИЗВ(B10:C10;B7:C7)

Ограничения задачи представляют собой сумму произведений каждой из ячеек переменных (B10, C10) на соответствующую ячейку для коэффициентов конкретного ограничения (B7, C7).

Таким образом, для первого ограничения в ячейку В14 будет введена формула:

=СУММПРОИЗВ($B$10:$C$10;B3:C3),

где символ $ означает, что при копировании этой формулы в другие места листа Excel номер строки 10 не изменится. Скопируем эту формулу в ячейки В15 и В16. В формуле будет меняться только номер строки во втором массиве. Этот номер является строкой, где записано ограничение.



Рис.1.3. (Ячейки с заполненными формами)

С помощью надстройки «Поиск решения» найдем решение данной задачи. В диалоговом окне «Поиска решения» требуется ввести необходимые параметры.



Рис.1.4. На данном этапе вводится задача параметров для поиска решений с помощью надстройки.



Рис.1.5. Далее, после нажатия кнопки с предыдущего скриншота «Найти решение», видно уведомление о нахождении решения



Рис.1.6. (Результат поиска решений)

4. Интерпретация результатов и общий вывод

При решение графическим методом и при решении с помощью надстройки «Поиск решения» получилась одинаковая максимальная прибыль. Следовательно, оба метода подходят для решения данной задачи. Также хочется отметить, что производственная программа обеспечит максимальную прибыль, равную 28200, при выпуске объема стали марки А в количестве 220 тонн и стали марки В в количестве 60 тонн, а также при расходе ресурсов таким образом: сырье – 3300 ед, оборудование 2700 ед, электроэнергия 2600 ед.
Кейс-задание №2B

Предприятие может выпускать три марки стали: сталь марки А, сталь марки B и сталь марки C. Норма расхода сырья, времени работы оборудования и затрат на электроэнергию, которые необходимы для производства одной тонны каждого изделия, приведены в таблице.

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на тонну продукции			Ограничения по ресурсам
	Сталь марки A	Сталь марки B	Сталь марки C
Сырье, ед.	0,55k	0,75k	1,1k		3200+20k
Оборудование, ед.	0,45k	0,6k	k		2100+30k
Электроэнергия, ед.	0,4k	0,7k	0,9k		2100+25k
Прибыль (у.е./т)	90	140	200

Таблица 2.1. Таблица с исходными данными.

Недельные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие, ограничены. По сырью эти ограничения обусловлены финансовыми средствами, емкостью складских помещений, логистическими ограничениями и т.д., по оборудованию – плавильными мощностями и трудовыми ресурсами, по электроэнергии – техническими и финансовыми причинами. Размеры запасов и прибыль от реализации продукции в у.е. за 1 тонну приведены в таблице 4.

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на тонну продукции				Ограничения по ресурсам
	Сталь марки A	Сталь марки B	Сталь марки C
Сырье, ед.	11	15	22	3600
Оборудование, ед.	9	12	20	2700
Электроэнергия, ед.	8	14	18	2600
Прибыль (у.е./т)	90	140	200

Таблица 2.2. Таблица со значениями варианта.

Требуется сформировать недельную производственную программу (определить объемы выпуска каждого вида продукции), при которой прибыль от реализации будет максимальной.

Для этого предлагается:

1. 
   Составить математическую модель данной задачи
   
2. 
   Решить задачу линейного программирования симплекс-методом;
   
3. 
   Решить задачу линейного программирования с использованием
   

надстройки «Поиск решения» MS Excel;

4. 
   Провести интерпретацию результатов и сделать выводы;
   
5. 
   Исследовать оптимальное решение по следующей схеме (ответы
   

обосновать с помощью результатов «Поиска решения»):

А). Определить дефицитные и избыточные ресурсы;

Б). Насколько можно уменьшить запасы избыточных ресурсов, чтобы программа производства не пострадала?

В). Как изменится производственная программа и прогнозируемая прибыль при увеличении запасов дефицитных ресурсов на 5%;

Г). Как изменится производственная программа при уменьшении прибыли, получаемой от стали марки А, на N единиц, где N – число букв в фамилии студента, выполняющего курсовую работу.

1. Математическая модель данной задачи

1) критерий – максимум прибыли

2) переменные:

x₁ – количество стали марки А

x₂ – количество стали марки В

x₃ – количество стали марки С

3) целевая функция – максимизация прибыли. Цель – максимизация прибыли, получаемая при реализации крепежных изделий: шайб, гаек и болтов. Таким образом, суммарная прибыль, то есть целевая функция:

Z(X) = 90х₁+140х₂+200х₃  max

4) система ограничений:

Ограничения по запасам ресурса на три вида продукции.

Левая часть ограничения по нормам расхода ресурсов представляет собой сырье, оборудование и электроэнергию, затрачиваемые на производство объема выпуска каждого вида крепежных изделий х₁, х₂, х₃. Правая часть ограничения – это их запас ресурса. Получаем следующие ограничения:

- по сырью:

11х₁ + 15х₂+22х₃ ≤ 3600;

- по оборудованию:

9х₁ + 12х₂ +20х₃ ≤ 2700;

- по электроэнергии:

8х₁ + 14х₂ +18х₃ ≤ 2600
2. Решение задачи линейного программирования симплексе-методом

Z(X) = 90х₁+140х₂+200х₃  max





1) Приведем задачу линейного программирования к каноническому виду:





-Z(x)= -90 x₁ -140 x₂ - 200 x₃ -> min

Переменные – свободные; - базисные


Данному базисному решению соответствует следующая симлпекс-таблица

	Своб. член	х1	х2	х3
Z1	0	90	140	200
х4	3600	11	15	22
х5	2700	9	12	20
х6	2600	8	14	18

Таблица 2.3. Симплекс-таблица.

Нашли генеральный элемент – 20, т.к. в строке Z выбираем положительное число (у нас число 200 – выбираем столбец х3) а в столбце х₃, не считая строки Z, выбираем то значение, для которого отношение к нему свободного члена минимально (2700/20 – минимальное значение). В новом допустимом базисном решении х₃ и х₅ изменим на противоположные. Найдем это решение, перейдя к новой симплекс-таблице:

	Своб. Член	х1	Х2	Х5
Z1	-27000	0	-20	10
х4	630	11/10	9/5	-11/10
Х3	135	9/20	3/5	1/20
Х6	170	-1/10	16/5	-9/10

Таблица 2.4. Решение симплекс-методом.

Определяем генеральный элемент в новой таблице – 16/5. В новом допустимом базисном решении х₂ и х₆ изменим на противоположные. Найдем это решение, перейдя к новой симплекс-таблице:

	Своб. член	х1	Х6	Х5
Z1	-56125/2	-5/8	25/4	25/8
х4	17100/37	37/32	-9/16	-19/32
Х3	220	15/32	-3/16	-9/32
Х2	0	-1/32	-5/16	35/8

Таблица 2.5. Решение симплекс-методом.

В этой таблице определяем новый генеральный элемент – 15/32 и строим новую таблицу, меняя местами х₁ и х₃:

	Своб. член	Х3	Х6	Х5
Z1	-28200	4/3	6	14/3
х4	280	-37/15	-1/10	-17/15
Х1	220	32/15	-2/5	7/15
Х2	60	1/15	3/10	-4/15

Таблица 2.6. Конечный вид симплекс-таблицы.

Далее генеральный столбец выбрать нельзя. Значит, оптимальное решение имеет вид:

Х_опт= (220; 60; 0)

Z_min=-28200, следовательно Z_max= 28200

Z_max= 90*220 +140*60 +200*0= 28200

Вывод: при объеме выпуска 220 тонн стали марки A, 60 тонн стали марки B и 0 тонн стали марки C максимальная прибыль от реализации составит 28200 у.е.
3. Решение задачи линейного программирования с помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel

Построив математическую модель, можно перейти к построению табличной модели. Для этого введем данные – параметры, которые характеризуют выпуск стали, в единую таблицу.


Рис. 2.1. Таблица с данными.

В колонке «Запас ресурса» указаны ограниченные месячные запасы ресурсов, которыми располагает предприятие. Целевая функция. В ячейке В11 будет отображаться значение целевой функции. Формула, по которой это значение будет рассчитано, определяется выражением:

90х₁+140х₂+200х₃

Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel, получим следующее:

=СУММПРОИЗВ(B10:D10;B7:D7)

Ограничения задачи представляют собой сумму произведений каждой из ячеек переменных (B10, D10) на соответствующую ячейку для коэффициентов конкретного ограничения (B7, D7).

Таким образом, для первого ограничения в ячейку В14 будет введена формула:

=СУММПРОИЗВ($B$10:$D$10;B3:D3),

где символ $ означает, что при копировании этой формулы в другие места листа Excel номер строки 10 не изменится. Скопируем эту формулу в ячейки В15 и В16. В формуле будет меняться только номер строки во втором массиве.



Рис. 2.2. Таблица с формулами.

С помощью «Поиска решения» найдем решение данной задачи. В диалоговом окне «Поиска решения» требуется ввести необходимые параметры.



Рис. 2.3. Параметры поиска решений.



Рис. 2.4. Таблица с конечным результатом.

Вывод: В результате решения Кейса №2 симплекс-методом и надстройкой «Поиск решения» в MS Excel получилось, что при объеме выпуска 220 тонн стали марки A, 60 тонн стали марки B и 130 тонн стали марки C максимальная прибыль от реализации составит 28200 у.е.
5. Исследование оптимального решения:

А) Исходя из данных, можно понять, что дефицитные ресурсы –оборудование и электроэнергия; избыточные ресурсы – сырье.

Б) Избыточным является сырьё. Для того, чтобы выяснить, сколько нужно уменьшить, вычтем из 3600 разность числа 3600 и 3320 – 280. Теперь получим оптимальный результат, при котором производство не пострадает.


Рис. 2.5. Уменьшение избытка.

В) Как изменится производственная программа и прогнозируемая прибыль при увеличении запасов дефицитных ресурсов на 5%.

К дефицитным запасам у нас относится оборудование и электроэнергия, значит, увеличим их на 5%. То есть, к электрооборудованию 2700 прибавим 135, а к электроэнергии 2600 прибавим 130. Получим следующие результаты:



Рис. 2.6. Таблица с увеличением запасов.

Г) При уменьшении прибыли стали марки А на 9 (Сальников) и поиску оптимального решения, произойдёт изменение производственной программы. Результаты будут следующие:



Рис. 2.7. Таблица с уменьшением прибыли.

По новой производственной программе будет производиться 0т. стали марки А, 58,59т. стали марки В и 106,09т. стали марки С, но, с последующим небольшим увеличением прибыли на – 29421,875 вместо 28200, что, несомненно, является положительным моментом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В курсовой работе рассмотрен вариант решения задачи оптимизационных экономических задач методами линейного программирования. Метод математического программирования является основным инструментом описания оптимальных решений. Оптимальным решением считается такой способ действия, который в наибольшей степени способствует достижению поставленной в задаче цели.

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Эти программы и системы снабжены развитыми системами подготовки исходных данных, средствами их анализа и представления полученных результатов.

Благодаря математическому программированию мы можем рассчитать наиболее оптимальные варианты для производства. Можно сказать, ответить на вопросы «Что производить и в каких количествах?». Поэтому методы математического программирования так широко используются на различных производствах в наше время.

В данной курсовой работе была рассмотрена и решена задача линейного программирования. Для решения был применён метод линейного программирования, а именно: графический метод и надстройка «Поиск решения» в Microsoft Excel.

В данной курсовой работе были рассмотрены и решены основные задачи линейного программирования: задачи оптимизации производства, задача составления смеси и составления расписания. Для решения данных задач были применены методы линейного программирования, а именно: графический метод и симплекс-метод, а также использовалась надстройка Microsoft Excel «Поиск решения».

В результате выполнения работы были сформированы математические модели задач, были получены решения с помощью графического метода, симплекс-метода и надстройки «Поиск решений» в MS Excel, а также проведён анализ полученных данных.

Список литературы

1. 
   Ишханян М.В., Фроловичев А.И. Методы оптимальных решений: учебное пособие. – М.: МИИТ, 2015. – 132 с.
   
2. 
   Соловьев В. И.Методы оптимальных решений: Учебное пособие. М.: Финансовый университет, 2012. 364 с.
   
3. 
   Методы оптимальных решений: учебное пособие / Н. С. Матвеев, Н. А. Никитина, Л. В. Ярыгина ; М-во образ. и науки РФ, Вологод. гос. ун-т. – Вологда : ВоГУ, 2017. – 92 с.