Математика. Контр. работа по матем. Ирина 2021. Министерство науки ивысшего образования российской федерации
 Скачать 357.36 Kb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ ИВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Забайкальский государственный университет» (ФГБОУ ВО «ЗабГУ») Факультет КафедраПрикладной информатики и математики Контрольная работа № 1Введение в математический анализ Вариант №7 1 – 10. Найти область определения функции. 7. а)   б)   Решение. а) Областью определения данной функции является множество чисел, которое удовлетворяет условию:  .Решим неравенство. Определим нули функции.   Определяем знаки функции в каждом интервале.  Таким образом, область определения данной функции  Ответ. б) Областью определения данной функции является множество точек, которые удовлетворяют системе неравенств:  .Решением неравенства  является множество точек: Решим неравенство:         Таким образом, область определения данной функции               Ответ. 11–20. Построить графики функций при помощи преобразований графиков основных элементарных функций. 17. а)   б)  Решение. а) План построения. 1. Строим график функции  (на рисунке изображен зеленым цветом).2. Строим график функции  - это график функции, полученный смещением графика функции смещением вдоль оси Ох на две единицы влево (на рисунке изображен красным цветом).3. Строим график функции  . Отображаем график функции симметрично относительно оси ОХ. (на рисунке изображен на рисунке изображен синей линией).4. Строим график функции . График функции смещается на одну единицу вверх вдоль оси Оу (на рисунке изображен коричневой линией).   б) План построения. 1. Строим график функции  (на рисунке изображен зеленым цветом).2. Строим график функции  - это график функции симметричный относительно оси Оу (на рисунке изображен красным цветом).3. Строим график функции  . Отображаем график функции симметрично относительно оси ОХ. (на рисунке изображен на рисунке изображен синей линией).4. Строим график функции  . График функции смещается на одну единицу вверх вдоль оси Оу (на рисунке изображен коричневой линией).5. Строим график функции . Все точки графика функции , которые лежат ниже оси Оу симметрично отображаются вверх относительно оси Оу (на рисунке изображен фиолетовой сплошной линией). 21 –30. Найти пределы функций не пользуясь правилом Лопиталя. 27. а)   б)   в)   г)   Решение. а) Так как аргумент функции стремится к бесконечности, то числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают. Получаем неопределенность вида  . Для вычисления данного предела необходимо разделить и числитель и знаменатель дроби на наивысшую степень переменной х (в данном случае делим на х2): Ответ.  б) Подставляем х = -5, получаем неопределенность  . Чтобы избавиться от такой неопределенности, следует и числитель и знаменатель умножить на выражение сопряженное числителю. Трехчлен в знаменателе разложить на множители. В данном примере (x+5) обращается в ноль при х = -5, его и будем выделять, чтобы потом сократить.  Ответ.  в) Так как аргумент функции стремится к числу 0, то при прямой подстановке вместо х числа 0 получаем, равенство числителя и знаменателя дроби нулю.  Разложение числителя по формуле разности кубов:   . Ответ.  г) При  основание степени стремится к 1, а показатель степени неограниченно возрастает. Получаем неопределенность вида  . Неопределенность вида раскрывается с помощью второго замечательного предела: .Преобразуем выражение под знаком предела, чтобы можно было применить приведенную формулу.  Ответ:  31 – 40. Задана функция y=f(x)  и два значения аргумента  и   . Требуется установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента, в случае разрыва функции найти ее пределы слева и справа.37.  Решение. Чтобы проверить непрерывность заданной функции  в каждой из заданных точек х1 = 3 и х2 = 5, используем определение непрерывности функции в точке. Найдем ООФ:  .Исследуем поведение данной функции в точках х1 и х2. Рассмотрим данную функцию в окрестности х1 = 3. х1 = 3ООФ , причем окрестность точки х1 также входит в ООФ;Существует конечный предел  ; Справедливо  .Следовательно, в точке х1 = 3 заданная функция непрерывна. Рассмотрим данную функцию в окрестности х2 = 5. х2 = 5  ООФ , следовательно, в точке х2 = 5 заданная функция не является непрерывной. Поскольку функция определена в окрестности точки х2, то эта точка является точкой разрыва функции. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы функции при  :  Так как односторонний предел равны бесконечности, значит, точка  – точка разрыва 2-го рода, точка бесконечного разрыва.Ответ. В точке х1 = 3 данная функция непрерывна; в точке х2 = 5 функция имеет разрыв 2-го рода. 41 – 50. Задана функция y=f(x) . Найти точки разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.47.   Решение. Функция является кусочно-заданной и определена и непрерывна на интервалах  ,  , . Так как в точках  и  меняется аналитическое выражение функции, то проверим функцию на непрерывность в этих точках. В точке  .  ,   .Односторонние пределы конечны, но не равны между собой, тогда функция в точке имеет разрыв первого рода.    .  .Односторонние пределы совпадают и равны значению функции  . Таким образом, в точке функция непрерывна.Построим график функции   Ответ. Функция в точке функция непрерывна, а в точке имеет разрыв первого рода . |