ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1 Задание 1. Найти указанные пределы: а) lim х→∞ 16𝑥 5 +4 𝑥 7 −7 𝑥 3−6 13𝑥 7 +25 𝑥 При х стремящемся к бесконечности выражение в числителе и знаменателе дроби стремится к бесконечности. Имеем неопределенность вида ∞ ∞ . Многочлены в числителе и знаменателе – это многочлены 7 степени. Разделим числитель и знаменатель на 𝑥 7 . lim х→∞ 16𝑥 5 +4 𝑥 7 −7 𝑥 3−6 13𝑥 7 +25 𝑥 = lim х→∞ 16𝑥 5 𝑥7 + 4 𝑥 7 𝑥7 − 7 𝑥 3 𝑥7 − 6 𝑥7 13𝑥7 𝑥7 + 25𝑥 𝑥7 = lim х→∞ 16 𝑥2 + 4− 7 𝑥4 − 6 𝑥7 13+ 25 𝑥6 = = limх→∞ ( 16 𝑥2 + 4− 7 𝑥4 − 6 𝑥7 ) limх→∞ (13+ 25 𝑥6 ) = = limх→∞ (0 + 4− 0 − 0) limх→∞ (13+0 ) = limх→∞ 4 limх→∞ 13 = 4 13 . Ответ: 𝟒 𝟏𝟑 б)lim 𝑥→1 √1+15 𝑥 2 −4 𝑥 2−𝑥 При непосредственной подстановке в выражение под знаком предела вместо х значение, равное 1, получаем и в числителе, и в знаменателе дроби 0, значит имеем неопределенность вида 0 0 . Чтобы освободиться от этой неопределенности, умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю, то есть на выражение √1 + 15 𝑥 2 + 4. lim 𝑥→1 √1+15 𝑥 2 −4 𝑥 2−𝑥 = lim 𝑥→1 (√1+15 𝑥 2 −4)(√1+15 𝑥 2 + 4) (𝑥 2−𝑥)(√1+15 𝑥 2 + 4) =lim 𝑥→1 1+15 𝑥 2 −16 (𝑥 2−𝑥)(√1+15 𝑥 2 + 4) = = lim 𝑥→1 15 𝑥 2 −15 (𝑥 2−𝑥)(√1+15 𝑥 2 + 4) = lim 𝑥→1 15( 𝑥 2 −1) (𝑥 2−𝑥)(√1+15 𝑥 2 + 4) = lim 𝑥→1 15( 𝑥 −1)(𝑥+1) 𝑥(𝑥−1)(√1+15 𝑥 2 + 4) = = lim 𝑥→1 15(𝑥+1) 𝑥(√1+15 𝑥 2 + 4) = lim 𝑥→1 15(1+1) 1(√1+15∗1 + 4) = lim 𝑥→1 30 (√16 + 4) = lim 𝑥→1 30 8 = 30 8 = 3,75 Разложили числитель и знаменатель на множители, сократили выражение на (х – 1), неопределенность ушла, можно выполнить непосредственную подстановку х = 1 и вычислить предел. Ответ: 3,75 3. lim 𝑥→0 𝑥 sin(14𝑥) = lim 𝑥→0 ( 1 14 ∗ 14𝑥 sin(14𝑥) ) = 1 14 lim 𝑥→0 14𝑥 sin(14𝑥) = 1 14 * 1 = 1 14 Воспользовались следующим: lim 𝑥→0 sin𝑥 𝑥 = 1 (это I замечательный предел), значит функции sin x и x являются эквивалентными бесконечными малыми и lim 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 1. В нашем случае lim 𝑥→0 14𝑥 𝑠𝑖𝑛 (14𝑥) = 1 Ответ: 𝟏 𝟏𝟒 Задание 2. Найти производные функций: a) y = 13 7𝑥 7−12𝑥 5 + 𝑥 Возьмем производную, используя правило нахождения производной частного. y' =( 13 7𝑥 7−12𝑥 5 + 𝑥 )'= (13) ′(7𝑥 7−12𝑥 5 + 𝑥)−(7𝑥 7−12𝑥 5 + 𝑥) ′ ∗13 (7𝑥 7−12𝑥 5 + 𝑥) 2 = = 0∗(7𝑥 7−12𝑥 5 + 𝑥)−(49𝑥 6−60𝑥 4 +1) ∗13 (7𝑥 7−12𝑥 5 + 𝑥) 2 = −13 (49𝑥 6−60𝑥 4 +1) (7𝑥 7−12𝑥 5 + 𝑥) 2 Ответ: y' = −𝟏𝟑 (𝟒𝟗𝒙 𝟔−𝟔𝟎𝒙 𝟒 +𝟏) (𝟕𝒙 𝟕−𝟏𝟐𝒙 𝟓 + 𝒙) 𝟐 б) y = ln(5𝑥 + cos 𝑥) y' = 1 5𝑥+cos𝑥 * (5x +cos x)' = 5−sin𝑥 5𝑥+cos𝑥 Воспользовались формулой производной сложной функции, взяв производную от натурального логарифма и умножив её на производную функции, стоящей под знаком логарифма. Ответ: y' = 5−sin𝑥 5𝑥+cos𝑥 в) y = −8𝑥 2 + 𝑥 −4𝑥 5 √𝑥 2 −7 y' = (−8𝑥 2 + 𝑥 −4𝑥 5) ′ (√𝑥 2 −7)−(√𝑥 2 −7) ′ ∗(−8𝑥 2 + 𝑥 −4𝑥 5 ) (√𝑥 2 −7) 2 = = (−16𝑥 + 1 −20𝑥 4) ∗(√𝑥 2 −7)− 2𝑥 2√𝑥2 −7 ∗(−8𝑥 2 + 𝑥 −4𝑥 5 ) (√𝑥 2 −7) 2 = = (−16𝑥 + 1 −20𝑥 4) ∗(√𝑥 2 −7)∗ (√𝑥 2 −7)−𝑥 ∗(−8𝑥 2 + 𝑥 −4𝑥 5 ) (√𝑥 2 −7)(√𝑥 2 −7) 2 = = (−16𝑥 + 1 −20𝑥 4) ∗ (𝑥 2 −7) + 8𝑥 3 − 𝑥 2 + 4𝑥 6 ) (√𝑥 2 −7)(√𝑥 2 −7) 2 = = −16𝑥 3 +102𝑥+ 𝑥 2 −7 −20𝑥 6 +140𝑥 4+8𝑥 3 − 𝑥 2 + 4𝑥 6 (√𝑥 2 −7) 3 = −16𝑥 6 +140𝑥 4 − 8𝑥 3 +102𝑥 −7 (√𝑥 2 −7) 3 Ответ: y' = −𝟏𝟔𝒙 𝟔 +𝟏𝟒𝟎𝒙 𝟒 − 𝟖𝒙 𝟑 +𝟏𝟎𝟐𝒙 −𝟕 (√𝒙 𝟐 −𝟕) 𝟑 Задание 3. Найдите неопределенные интегралы: а) ∫(8𝑥 7 + 6 𝑥 5 - 3𝑥 2 + 4)dx = 8 *𝑥 8 8 + 6* 𝑥 6 6 – 3*𝑥 3 3 + 4x + C = 𝑥 8+𝑥 6 - 𝑥 3+ 4x + C б)∫ 2 7−𝑥2 dx = ∫ 2 (√7) 2 −𝑥2 dx = −2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥2 – (√7) 2 = - 2 * 1 2√7 ln | 𝑥−√7 𝑥+√7 | + 𝐶 = − 1 √7 ln | 𝑥−√7 𝑥+√7 | + 𝐶 Воспользовались формулой дифференцирования ∫ 𝑑𝑥 𝑥2−𝑎2 = 1 2𝑎 ln | 𝑥−𝑎 𝑥+𝑎 | + 𝐶, в нашем случае а = √7. в) ∫ cos 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥3 Интегрируем по частям. Пусть 1 𝑥2 = u, тогда du = ( 1 𝑥2 )′dx = (-2𝑥 −3 )𝑑𝑥 = −2 𝑑𝑥 𝑥3 , значит 𝑑𝑥 𝑥3 = - 1 2 du и cos 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥3 = - 1 2 cos u du ∫(− 1 2 cos u) du = - 1 2 sin u + C = - 1 2 sin 1 𝑥2 + C Итак, ∫ cos 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥3 = - 1 2 sin 1 𝑥2 + C Ответ: а) x 8+x 6 - x 3+ 4x + C б) - 1 √7 ln | x−√7 x+√7 | + C в) - 1 2 sin 1 x 2 + C |
Скачать 14.65 Kb.