Понятие множества. Множества Студентка 26 группы

• Название: Множества Студентка 26 группы
• Анкор: Понятие множества
• Дата: 08.10.2022
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: ponyatie_mnozhestvasmirnova_26_gr.pptx
• Тип: Документы; #721653

Множества

Студентка 26 группы

Смирнова Ирина

Понятие множества.

• Георг Кантор (1845-1918)
• Профессор математики и философии, основоположник современной теории множеств.
• «Под множеством мы подразумеваем объединение в целое определённых, различающихся между собой объектов нашего представления или мышления». Георг Кантор

Понятие множества.

Основное понятие в математике - понятие множества.

Понятие множество относится к первоначальным понятиям, не подлежащим определению.

Под множеством подразумевается некоторая совокупность однородных объектов.

Предметы ( объекты), составляющие множество, называются элементами.

Обозначение множества

Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, X и др.

Элементы множества обозначаются строчными буквами латинского алфавита : a, b, c, d и др.

Запись M = { a , b, c, d } означает, что множество М состоит из элементов a , b, c, d.

Є – знак принадлежности. Запись а є М обозначает, что объект а является элементом множества М и читается так:

« а принадлежит множеству М »

Численность множества

Численность множества- число элементов в данном множестве.

Обозначается так : n

Записывается так : n (М) = 4

Множества бывают:

Пустые множества- множества, не содержащие элементов и обозначают так: Ø . Записывают так: n (A)=0 ; A= Ø

Виды множеств:

Дискретные множества(прерывные)- имеют отдельные элементы. Путём счёта распознаются.

Непрерывные множества- нет отдельных элементов. Распознаются путём измерения.

Упорядочные множества. Элемент из множества предшествует или следует за другим. Множество натуральных чисел, расположенных в виде натурального ряда.

Неупорядочные множества. Любое неупорядочное множество можно упорядочить.

Подмножество

Если любой элемент множества В принадлежит множеству А,

то множество В называется подмножеством множества А.

- Знак включения.

Запись В А означает,

что множество В является подмножеством множества А.

Виды подмножеств

Собственное подмножество. Множество В называется собственным подмножеством множества А, если выполняются условия: В≠Ø, В≠А.

Не собственные подмножества. Множество В называется не собственным подмножеством множества А, если выполняются условия: В≠Ø, В=А.

Любое множество является подмножеством самого себя.

Равенства множеств

А

В

А=В

Множества равны, если они состоят из одних и тех же элементов.

Два множества являются равными , если каждый из них является подмножеством другого.

В этом случае пишут: А=В

Операции над множествами

Пересечение множеств.

Объединение множеств.

Разность множеств.

Дополнение множества.

Объединение множеств

Объединением множеств А и В называется множество всех объектов, являющихся элементами множества А или множества В.

U- знак объединения.

А U В читается так:

«Объединение множества А и множества В».

Пересечение множеств

Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только те элементы, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В.

∩-знак пересечения, соответствует союзу «и».

А ∩ В читается так:

«Пересечение множеств А и В»

Разность множеств

• Разностью множеств А и В называется множество всех объектов, являющихся элементами множества А и не принадлежащих множеству В.

\ - знак разности, соответствует предлогу «без».

Разность множеств А и В записывается так: А \ В

Дополнение множества

• Множество элементов множества В, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А до множества В.

Часто множества являются подмножествами некоторого основного, или универсального множества U.

Дополнение обозначается Ā

Свойства множеств

Пересечение и объединение множеств обладают свойствами:

Коммутативность

Ассоциативность

Дистрибутивность

Ассоциативность

( А ∩ В ) ∩ С = А ∩ ( В ∩ С )

( А U В ) U С = А U ( В U С )

Коммутативность

А ∩ В = В ∩ А

А U В = В U А

Дистрибутивность

( А U В ) ∩ С = (А ∩ С ) U ( В ∩ С )

( А ∩ В ) U С = (А U С ) ∩ ( В U С )

Отношения множеств

В теории множеств рассматриваются отношения между множествами:

Тождественность. Если каждый элемент множества А является также и элементом множества В , и каждый элемент множества В есть также элементом множества А, то эти множества тождественны. Обозначается так : А=В. Эквивалентность. Соответствие между элементами множеств А и В, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества В, и наоборот, различным элементам одного множества соответствуют различные элементы другого множества, называется взаимно однозначными. Если существует, по крайней мере, одно взаимно однозначное соответствие между элементами множеств А и В, то такие множества называются эквивалентными.

Свойства эквивалентности

Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами:

Симметричность(взаимность). Если множество А эквивалентно множеству В , то множество В эквивалентно множеству А.

АВ, ВА

Транзитивность ( переходность) . Если множество А эквивалентно множеству В , а множество В эквивалентно множеству С, то множества А и С эквивалентны.

АВ, ВС, А С.

Рефлексивность ( возвратность). Всякое множество эквивалентно самому себе.

АА

Использование отношения эквивалентности позволяет разбить всевозможные множества на классы эквивалентных между собой множеств.