Экономика. ЛАБРАБ№1_КритерииПР2016. Модели принятие решений в условиях риска

• Название: Модели принятие решений в условиях риска
• Анкор: Экономика
• Дата: 22.04.2022
• Размер: 489.33 Kb.
• Имя файла: ЛАБРАБ№1_КритерииПР2016.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #490417

1
Лабораторная работа №1
Тема: Модели принятие решений в условиях риска.
Цель работы: смоделировать систему выбора оптимального решения в
соответствии с заданной целевой функцией.
1.Теоретическая часть.
Введение.
Состояние человека в большой мере зависит от степени удовлетворенности его потребностей. На них в свою очередь оказывают влияние состояние внешней среды и осуществляемая им деятельность. Под влиянием неблагоприятных внешних воздействий у человека появляются новые потребности. По словам Р.
Акоффа, из-за их неудовлетворенности он испытывает чувства дискомфорта, беспокойства, волнения, тревоги. Человек стремиться выбраться из этого состояния, как-то изменить окружающую обстановку или приспособиться к ней.
Поскольку существует множество вариантов решения данной задачи, возникает проблема выбора наилучшего или оптимального решения. Процесс выбора может протекать на основе различных критериев в зависимости от возможностей и предпочтений людей.
К наиболее часто используемым относятся минимизация издержек и максимизация эффекта. Задача выбора еще больше усложняется в условиях неопределенности или риска. Таким образом, критерии отражают позицию лица,
принимающего решение по отношению к риску.
Действительно, в случае, когда человек точно знает, к каким последствиям приведет то или иное решение, для него не составляет труда выбрать наиболее эффективное (оптимальное). В случае же неопределенности или риска последствия принятого решения во многом зависят от состояния внешних условий. Одно и тоже действие может привести к разным результатам, поэтому человек при принятии решения вынужден учитывать их влияние. Упрощением этого процесса и придаче решениям большей надежности и занимается теория принятия решений. В настоящее время она широко применяется учеными для анализа и исследования поведения людей в различных областях человеческой деятельности: технике, экономике и социальных науках.
Критерии выбора оптимального решения.
Поскольку значения критериев оптимальности зависят от величин, описывающих свойства процесса, используемые ресурсы и т. д., то их часто называют критериальными или целевыми функциями или функциями эффективности. В настоящее время можно выделить следующие их основные виды
(классические критерии):
- Оптимистический критерий;
- Минимаксный критерий;

2
- Критерий Байеса-Лапласа;
- Критерий Сэвиджа.
Оптимистический критерий соответствует точке зрения азартного игрока.
Математическая его интерпретация имеет следующий вид:
}
max max
|
{
0 0
0 0
ij
j
i
i
i
i
e
e
E
E
E
E




Эта формула читается следующим образом. Множество
0
E
оптимальных вариантов состоит из тех вариантов
0
i
E
, которые принадлежат множеству
E
всех вариантов и оценка
0
i
e
которых максимальна среди всех возможных максимальных оценок, соответствующих каждому решению.
При выборе данного критерия человек делает ставку на то, что выпадет наивыгоднейший случай. Фактически он соответствует максимальному значению риска и используется крайне редко. Обычно оптимистический критерий используется совместно с минимаксным критерием, как крайние точки, для оценки результатов принятия решения на основе других критериев.
Минимаксный критерий использует оценочную функцию, соответствующую позиции крайней осторожности. Математическая формулировка данного метода выглядит следующим образом:
}.
min max
|
{
0 0
0 0
ij
j
i
i
i
i
e
e
E
E
E
E




Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием можно интерпретировать следующим образом. Матрица решений
ij
e
дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Выбрать надлежит те варианты
0
i
E
, в строках которых стоят наибольшие значения этого столбца.
Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение человек не может столкнуться с худшим результатом, чем тот на который он ориентируется. Какие бы условия ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже значения оценочной функции. Это свойство заставляет считать минимаксный критерий одним из фундаментальных. Поэтому особенно в технических задачах он применяется чаще всего, как сознательно, так и не осознанно.
Применение минимаксного критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
- о возможности появления внешних состояний ничего не известно;
- приходиться считаться с появлением различных внешних состояний;
- решение реализуется лишь один раз;
- необходимо исключить какой бы то ни было риск, то есть ни при каких условиях не допускается получать результат, меньший, чем значение оценочной функции.
Процесс нахождения оптимального решения рассмотрим на примере.
Заданная матрица решений – таблица 1.
Шаг 1. Выбираем минимальное значение в каждой строке.

3
Шаг 2. Выбираем максимальное значение в добавленном столбце (
 
min
ij
j
e
)
Соответственно оптимальными решениями являются все решения, значения
 
min
ij
j
e
которых равны 4. В данном случае имеем одно решение – E
6.
Таблица 1. Исходная таблица
Таблица 2. Результаты шага 1
Таблица 3. Результаты шага 2
F
1
F
2
F
1
F
2
 
min
ij
j
e
F
1
F
2
 
min
ij
j
e
E
1 1
1
E
1 1
1 1
E
1 1
1 1
E
2 3
3
E
2 3
3 3
E
2 3
3 3
E
3 7
1
E
3 7
1 1
E
3 7
1 1
E
4 2
2
E
4 2
2 2
E
4 2
2 2
E
5 3
1
E
5 3
1 1
E
5 3
1 1
E
6 4
4
E
6 4
4 4
E
6 4
4
4
E
7 5
1
E
7 5
1 1
E
7 5
1 1
E
8 4
2
E
8 4
2 2
E
8 4
2 2
E
9 5
3
E
9 5
3 3
E
9 5
3 3
E
10 6
2
E
10 6
2 2
E
10 6
2 2
4
При построении оценочной функции, соответствующей минимаксному критерию, каждый вариант представлен лишь одним из своих результатов.
Критерий Байеса-Лапласа (BL), напротив, учитывает каждое из возможных следствий. Пусть
j
q – вероятность появления внешнего состояния, тогда BL- критерий имеет следующую математическую формулировку:
}.
1
max
|
{
1 1
0 0
0 0










n
j
j
n
j
j
ij
i
i
i
i
q
q
e
e
E
E
E
E
Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом. Матрица решений
ij
e
дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты
0
i
E
, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.
При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
- вероятности появления состояний известны и не зависят от времени;
- решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз;
- для малого числа реализации решения допускается некоторый риск.
При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключен.
Исходная позиция применяющего BL-критерий оптимистичнее, чем в случае минимаксного критерия, однако она предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

4
Соответственно оптимальными решениями по критерию Байеса–Лапласа
(таблица 4) являются все решения, значения
1
n
ij
j
j
e q


которых равны 4. В данном случае имеем два решения – E
3
, E
6
, E
9
, E
10.
Таблица 4. Результат по критерию Байеса–Лапласа
Таблица 5. Результат по критерию Сэвиджа
F
1
F
2 1
n
ij
j
j
e q


F
1
F
2 max
ij
ij
i
e
e

max(max
)
ij
ij
j
i
e
e

E
1 1
1 1
E
1 1
1 6 3
6
E
2 3
3 3
E
2 3
3 4 1
4
E
3 7
1
4
E
3 7
1 0 3
3
E
4 2
2 2
E
4 2
2 5 2
5
E
5 3
1 2
E
5 3
1 4 3
4
E
6 4
4
4
E
6 4
4 3 0
3
E
7 5
1 3
E
7 5
1 2 3
3
E
8 4
2 3
E
8 4
2 3 2
3
E
9 5
3
4
E
9 5
3 2 1
2
E
10 6
2
4
E
10 6
2 1 2
2
4
7 4
2
Критерию
Сэвиджа соответствует следующая математическая формулировка:
)]}.
max
(
max
[
min
|
{
0 0
0 0
ij
ij
i
j
i
i
i
i
e
e
e
E
E
E
E





Для понимания этого критерия определяемую соотношением
ij
ij
i
e
e 
max величину можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если при данных условиях вместо варианта
i
E
выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Однако, рассматриваемую величину можно интерпретировать и как потери (штрафы), возникающие в каждом конкретном состоянии при замене оптимального для него варианта на вариант
i
E
. Тогда определяемая соотношением
)
max
(
max
ij
ij
i
j
e
e 
величина представляет собой – при интерпретации ее в качестве потерь – максимальные возможные (по всем внешним состояниям) потери в случае выбора варианта
i
E
. Теперь эти максимально возможные потери минимизируются за счет выбора подходящего варианта
i
E
Соответствующее S-критерию правило выбора можно интерпретировать так. Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Полученные разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

5
Условия применения данного критерия к ситуациям принятия решений соответствуют требованиям, предъявляемым в случае использования минимаксного критерия.
Для критерия Сэвиджа (таблица 5) оптимальными решениями являются все решения, значения max(max
)
ij
ij
j
i
e
e

которых равны 2. В данном случае имеем два решения – E
9
, E
10.
Попробуем графически проиллюстрировать рассмотренные классические критерии.
Допустим, что ситуация принятия решения характеризуется двумя внешними факторами или состояниями среды при
m
вариантах решения.
Введем теперь прямоугольную систему координат, откладывая по оси абсцисс значения результата решения
1
i
e
, соответствующие внешнему состоянию
1
F
, а по оси ординат – значения
2
i
e
, соответствующие состоянию
2
F
(рисунок 1). В этом случае каждый вариант решения
i
E
соответствует точке
)
,
(
2 1
i
i
e
e
на плоскости.
1
e
2
e
Рисунок 1 - Поле выбора решений
Исходя из приведенной математической формулировки для оптимистического критерия в двумерном случае получается семейство кривых
k
e
e

)
,
min(
2 1
, называемых линиями уровня (рисунок 2). Функцию
f
называют функцией предпочтения, зависящей от результатов
1
e
и
2
e
принятого решения, которые определяются факторами внешней среды. С помощью параметра k осуществляется выбор оптимального решения. Путем периодического увеличения данного параметра определяется наилучший вариант, соответствующий максимальному его значению.

6 1
e
2
e
k
e
e

)
,
max(
2 1
1
e
2
e
Рисунок 2 - Функция предпочтения оптимистического критерия
Рисунок 3 - Графический выбор решения в соответствии с оптимистическим критерием
Оптимальный вариант решения для данного критерия получается путем сдвига линии уровня вдоль прямой
2 1
e
e 
до тех пор, пока она в последний раз задевает поле выбора в точке наивысшего уровня (рисунок 3).
Действуя в соответствии с приведенной математической формулировкой, для минимаксного критерия получаем в двумерном случае в качестве линий уровня семейство кривых
k
e
e

)
,
min(
2 1
, зависящее от параметра k (рисунок 4).
1
e
2
e
k
e
e

)
,
min(
2 1
1
e
2
e
Рисунок 4 - Функции предпочтения минимаксного критерия
Рисунок 5 - Графический выбор решения в соответствии с минимаксным критерием
Для нахождения оптимального варианта решения на биссектрисе
2 1
e
e 
выбирается произвольная, однако достаточно близкая к началу координат точка, чертится исходя из нее, конус предпочтения, задаваемый как раз соответствующими линиями уровня, после чего вся система, состоящая из указанных точки и конуса, переносится по биссектрисе до тех пор, когда в последний раз встречается одна из точек
)
,
(
2 1
i
i
e
e
,
m
i
,
,
1 

(рисунок 5). Каждой такой точке соответствует максимально достижимый уровень и тем самым оптимальный вариант решения.

7
Согласно математической интерпретации критерия Байеса-Лапласа в случае двух состояний в качестве семейства линий уровня получаются прямые, отсекающие на осях отрезки
1
/ q
k
и
2
/ q
k
(рисунок 6):
k
q
e
q
e


2 2
1 1
1
e
2
e
k
q
e
q
e


2 2
1 1

1
e
2
e

Рисунок 6 - Функции предпочтения критерия Байеса-Лапласа
Рисунок 7 – Графический выбор решения в соответствии с критерием Байеса-
Лапласа
Под данным критерием в действительности скрывается целое семейство критериев, в качестве определяющего параметра для которых можно выбрать угол

или
1 2
/ q
q
tg


, то есть отношение соответствующих вероятностей. В зависимости от

меняется соответственно наклон линий уровня и направляющих прямых.
Оптимальное решение для данного критерия находиться путем перемещения линий уровня до момента, когда достигается последняя точка в поле выбора (рисунок 7).
Для графической интерпретации критерия Сэвиджа введем сначала понятие
«поле полезности». Под ним понимается прямоугольник, стороны которого параллельны координатным осям, а противоположными вершинами являются антиутопическая и утопическая точки:
)
,
(
2 1
e
e


,
)
,
(
2 1
e
e


, где
1 1
min
i
i
e
e 

,
2 2
min
i
i
e
e 

,
1 1
min
i
i
e
e 

,
2 2
min
i
i
e
e 

Линии уровня, соответствующие данному критерию, удовлетворяют следующему математическому выражению:
k
e
e
e
e



)
,
max(
2 2
1 1


Они представляют собой конусы предпочтения, вершины которых лежат на направляющей, проходящей через утопическую точку и параллельной биссектрисе
2 1
e
e 
(рисунок 8). Конусы предпочтения, вершины которых лежат внутри поля

8 полезности, отвечают положительным значениям уровня k , тогда как конусу, вершиной которого служит сама утопическая точка, отвечает значение
0

k
1
e
2
e
2
e

1
e

1
e

2
e

Рисунок 8 - Функции предпочтения критерия Сэвиджа
По сравнению с минимаксным критерием специфика критерия Сэвиджа состоит в том, что он более приспособлен к полю полезности, а соответствующая ему оптимизация соотносится с утопической точкой, и притом в смысле аппроксимации, равномерной относительно всех возможных состояний.
Из требований, предъявляемых рассмотренными критериями к анализируемой ситуации, ясно, что вследствие их жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных решений. На практике учеными чаще всего применяется производные критерии, позволяющие с помощью изменения значений их параметров, устанавливать различную величину риска. К ним относятся в частности критерий Гурвица, критерий Ходжа-Лемана, критерий
Гермейера.
Критерий Гурвица имеет следующую математическую формулировку:
}
1 0
]
max
)
1
(
min
[
max
|
{
0 0
0 0









c
e
c
e
c
e
E
E
E
E
ij
j
ij
j
i
i
i
i
,. где с – весовой множитель.
Правило выбора согласно этому критерию можно интерпретировать так.
Матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки:
ij
j
ij
j
ir
e
c
e
c
e
max
)
1
(
min



Выбираются те варианты
0
i
E
, в строках которых стоят наибольшие элементы
ir
e
этого столбца.
Для
1

c
критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий. Для
0

c
он превращается в критерий азартного игрока. Таким образом, путем изменения данного параметра осуществляется варьирование между этими двумя крайними точками исходя из значения допустимого риска.

9
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
- о вероятностях появления состояний ничего не известно;
- с появлением состояний необходимо считаться;
- реализуется лишь малое количество решений;
- допускается некоторый риск.
Критерий Ходжа-Лемана опирается одновременно на минимаксный критерий и критерий Байеса-Лапласа. С помощью параметра
 выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей. Если это доверие велико, то акцентируется критерий Байеса-Лапласа, в противном случае предпочтение отдается минимаксному критерию.
Рассматриваемый критерий имеет следующую математическую интерпретацию:
}
1 0
]
min
)
1
(
[
max
|
{
1 0
0 0
0














n
j
ij
j
j
ij
i
i
i
i
e
q
e
e
E
E
E
E
Правило выбора, соответствующее критерию Ходжа-Лемана, формируется следующим образом. Матрица решений дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными коэффициентами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки:





n
j
ij
j
j
ij
ir
e
q
e
e
1
min
)
1
(


Отбираются те варианты решений
0
i
E
, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.
Рассматриваемым критерием предполагаются следующие свойства ситуации, в которой принимается решение:
Рисунок 9 - Функции предпочтения критерия Гурвица
Рисунок 10 - Функции предпочтения критерия Ходжа–Лемана
- вероятности появления состояний неизвестны, но некоторые предположения о распределениях вероятностей возможны;

10
- принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;
- при малых числах реализаций допускается некоторый риск.
Для табличного способа вычисления по критериям Гурвица и Ходжа–
Лемана необходимо вычислять три дополнительных столбца – по каждому входящему критерию и один общий для результирующего выбора.
Критерий Гермейера имеет следующую математическую формулировку: где q
j
– вероятности появления состояний.
Исходно критерий ориентирован на величины потерь. Правило выбора согласно этому критерию можно интерпретировать так. Матрица решений дополняется столбцом, содержащим минимум произведений элементов строки на вероятности появления соответствующих состояний:
Выбираются те варианты
0
i
E
, в строках которых стоят наибольшие элементы
ir
e
этого столбца.
Рисунок 11 – Функция предпочтения Гермейера
В известном отношении G-критерий обобщает ММ-критерий. При равновероятном распределении они становятся идентичными. Если функция распределения известна не очень надежно, а число реализаций мало, то следуя G- критерию получаем неоправданно большой риск.
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:
- о вероятностях появления состояний ничего не известно;
- с появлением состояний необходимо считаться;
- решение реализуется один или много раз;
- допускается некоторый риск.

11
В случаях, когда требуется слишком сильная идеализация, можно одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится все-таки волевым образом выделять некоторой окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.
Задание:
Написать программу на языке высокого уровня, позволяющую осуществлять выбор оптимального решения в соответствии с двумя заданными целевыми функциями, а также сравнить результаты выбора по каждой их них.
Оценки e
ij
для каждого i-го варианта решения по каждому j-му состоянию формируются случайно с помощью генератора псевдослучайных чисел.
Рекомендуется получать числа в интервале от 1 до 100. В случае, если в критерии выбора предусматривается вероятности появления внешнего состояния, то они задаются произвольным образом так, чтобы их сумма по каждому состоянию для конкретного варианта решения не превышала единицы. Варианты заданий представлены ниже в таблице.
№ вар
Критерий выбора 1
Критерий выбора 2
Количество вариантов решения
Количество возможных состояний
Дополнительные параметры
1.
Критерий Сэвиджа
Критерий Гермейера
10 14
-
2.
Критерий Гурвица
Оптимистический критерий
10 14
с=0.3
3.
Критерий Ходжа-
Лемана
Критерий Байеса–
Лапласа
10 14
v=0.3
4.
Критерий Сэвиджа
Критерий Байеса–
Лапласа
10 14
-
5.
Критерий Гурвица
Минимаксный критерий
10 14
v=0.6
6.
Критерий Ходжа-
Лемана
Оптимистический критерий
10 14
с=0.4
7.
Критерий Сэвиджа
Оптимистический критерий
10 14
-
8.
Критерий Гурвица
Критерий Байеса–
Лапласа
10 14
c=0.7
9.
Критерий Ходжа-
Лемана
Минимаксный критерий
10 14
v=0.5
10.
Критерий Сэвиджа
Критерий Гермейера
12 12
-
11.
Критерий Гурвица
Оптимистический критерий
12 12
с=0.2
12.
Критерий Ходжа-
Лемана
Критерий Байеса–
Лапласа
12 12
v=0.5
13.
Критерий Сэвиджа
Критерий Байеса–
Лапласа
12 12
-
14.
Критерий Гурвица
Минимаксный критерий
12 12
v=0.7
12.
Критерий Ходжа-
Лемана
Оптимистический критерий
12 12
с=0.5

12 16.
Критерий Сэвиджа
Оптимистический критерий
12 12
-
17.
Критерий Гурвица
Критерий Байеса–
Лапласа
12 12
c=0.7
18.
Критерий Ходжа-
Лемана
Минимаксный критерий
12 12
v=0.4
19.
Критерий Сэвиджа
Критерий Гермейера
14 10
-
14.
Критерий Гурвица
Оптимистический критерий
14 10
с=0.6
21.
Критерий Ходжа-
Лемана
Критерий Байеса–
Лапласа
14 10
v=0.8
22.
Критерий Сэвиджа
Критерий Байеса–
Лапласа
14 10
-
23.
Критерий Гурвица
Минимаксный критерий
14 10
v=0.3
24.
Критерий Ходжа-
Лемана
Оптимистический критерий
14 10
с=0.4
25.
Критерий Сэвиджа
Оптимистический критерий
14 10
-
26.
Критерий Гурвица
Критерий Байеса–
Лапласа
14 10
c=0.4
27.
Критерий Ходжа-
Лемана
Минимаксный критерий
14 10
v=0.6
28.
Критерий Сэвиджа
Оптимистический критерий
14 12
–
29.
Критерий Гурвица
Минимаксный критерий
12 12
c=0.5
30.
Критерий Ходжа-
Лемана
Критерий
Байеса–
Лапласа
12 12
v=0.4
Контрольные вопросы
1. Записать выражение и геометрическое представление минимаксного критерия (критерия Вальда).
2. Записать выражение и геометрическое представление критерия азартного игрока.
3. Записать выражение и геометрическое представление критерия Сэвиджа
4. Записать выражение и геометрическое представление критерия Байеса-
Лапласа.
5. Записать выражение и геометрическое представление критерия Гурвица.
6. Записать выражение и геометрическое представление критерия Ходжа-
Лемана.
7. Записать выражение и геометрическое представление критерия
Гермейера.
8. Какой из двух критериев в вашем варианте является более рискованным?