Моделирование систем. Моделирование систем 2е издание, исправленное
 Скачать 5.72 Mb.
|
|
1. Каким видом дифференциальных уравнений описывается многофазная система массового обслуживания? 2. Что называется интенсивностью входного потока требований? 3. Что называется интенсивностью обслуживания многофазной системы? 4. Что называется простейшим потоком требований? 5. Что называется функцией распределения случайной величины? 6. Какова функциональная связь между функцией распределения случайной непрерывной величины и ее плотностью? 7. Могут ли быть многофазные системы с ожиданием? Если могут, то как будет выглядеть схема моделирования многофазной системы с ожиданием? 8. Какие ограничения накладываются на численные значения интенсивности входного потока требований и интенсивности обслуживания в многофазной системе при ее моделировании? 9. Сколько вы знаете аналогов формулы Литтла? Приведите известные вам формулы. Моделирование многоканальных систем массового обслуживания Цель работы: практически освоить моделирование систем массового обслуживания в программных средах MATLAB и GPSS/PC при пуассоновском входном потоке требований, экспоненциальном обслуживании и возможном уходе из очереди также по экспоненциальному закону. Цель моделирования — получение операционных характеристик. Теоретическая часть Многоканальные системы массового обслуживания — это системы с параллельно включенными приборами обслуживания. Для них принято использовать символику Кендалла, которая состоит из основных четырех позиций вида , где — закон поступления требований в систему, — закон обслуживания требований, m — число параллельно функционирующих приборов (каналов, узлов) обслуживания, — допустимое число требований в системе, т. е. число требований в очереди плюс число требований, принятых на обслуживание. В системе последний символ — число источников нагрузки [2] . При этом параметры системы постоянны, а процессы в системах рассматриваются с позиций теории размножения и гибели. Предметом данной лабораторной работы будут системы с простейшим пуассоновским потоком, экспоненциальным обслуживанием и, возможно, экспоненциальном уходом из очереди "нетерпеливых" требований. При сделанных условиях исследуемые системы будут иметь следующие обозначения: , с нетерпеливыми требованиями, , где первые буквы означают пуассоновский поток требований и экспоненциальное обслуживание, а в последнем примере крайняя правая буква — это число требований, формируемых конечным числом источников нагрузки. В частности, может быть система с отказами, т. е. с отказами. При моделировании сначала требуется составить дифференциальные уравнения относительно вероятностей состояний. Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями Колмогорова [2] . При правильном составлении уравнений их решения при заданных начальных условиях стремятся к своим установившимся значениям. Эти значения называются стационарными вероятностями, на основе которых рассчитываются операционные характеристики системы. Для составления уравнений Колмогорова можно использовать мнемоническое правило [4] . Сначала определим понятие потока вероятности: это такой поток, который переводит систему из одного состояния в другое соседнее и определяется как произведение вероятности -го состояния, из которого происходит переход, на интенсивность потока событий (интенсивность поступления требований или интенсивность обслуживания). Теперь приведем мнемоническое правило составления уравнений Колмогорова: производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния [4] Прежде чем применять правило Колмогорова, целесообразно изобразить размеченный граф состояний заданной системы. На рис. 2.1 показан пример размеченного графа состояний для системы M/M/3/5 ( , , — интенсивность входного потока требований, — интенсивность обслуживания одним прибором). Рис. 2.1. Размеченный граф состояний системы М/М/3/5 Используем мнемоническое правило составления уравнений Колмогорова для состояния 2, которое обведено окружностью. При этом потоки вероятности будут направлены по стрелкам. Если стрелка входит в окружность, то поток вероятности принимается положительным. Если стрелка выходит из окружности, то поток вероятности будет отрицательным. Относительно каждого состояния можно проводить воображаемую окружность. Дифференциальные уравнения имеют следующий вид: (2.1) Для решения систем дифференциальных уравнений типа (2.1) обычно задают естественные начальные условия: (2.2) Если в системе (2.1) производные приравнять нулю, то можно будет получить соотношения для расчета стационарных вероятностей состояний системы. При этом следует использовать нормировочное условие для : (2.3) Практическая часть 2.1. Пример моделирования системы типа М/М/M/K Система — это система с пуассоновским входящим потоком требований, с экспоненциальным законом обслуживания в m приборах, с допустимым числом требований в системе, не превышающим , которое не менее, чем заданное количество приборов обслуживания. Параметры системы постоянны, т. е. , . Систему называют многоканальной системой массового обслуживания с ограниченной длиной очереди. Пример 1. Проинтегрируйте систему массового обслуживания при естественных граничных условиях и параметрах , Рассчитайте операционные характеристики системы [2] Для решения примера сначала составим дифференциальные уравнения в соответствии с мнемоническим правилом Колмогорова: Естественные начальные условия: Программный код решения примера в MATLAB: function MMmK; clc,close % Параметры системы L = 3.52; M = 0.678; m = 4; K = 7; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% global A A = [-L,M,0,0,0,0,0,0; L,-(L+M),2*M,0,0,0,0,0; 0,L,-(L+2*M),3*M,0,0,0,0; 0,0,L,-(L+3*M),4*M,0,0,0; 0,0,0,L,-(L+4*M),4*M,0,0; 0,0,0,0,L,-(L+4*M),4*M,0; 0,0,0,0,0,L,-(L+4*M),4*M; 0,0,0,0,0,0,L,-4*M]; %% Численное интегрирование дифф. уравнений P0 = [1;zeros(length(A)-1,1)]; T = [0,20]; [t,P] = ode23(@cmo, T, P0); %% Построение диаграммы вероятностей состояний %% line(t,P,'linew',2) %% с различными цветами line(t,P(:,1),'linew',2, 'color','r') %% Po line(t,P(:,2), 'linew',2,'lines','--') %% P1 line(t,P(:,3), 'linew',2,'lines','-.') %% P2 line(t,P(:,4), 'linew',2,'lines',':') %% P3 line(t,P(:,5), 'marker','o', 'color', 'm') %% P4 line(t,P(:,6), 'marker','h', 'color','k') %% P5 line(t,P(:,7), 'marker','p','color','r') %% P6 line(t,P(:,8), 'marker','>') %% P7 grid on N = length(A)-1; arr = [0:N]'; str = num2str(arr); legend(strcat('\bf\itP\rm\bf_', str, '(\itt\rm\bf)')); title(sprintf('%s Вероятности состояний системы M/M/%d/%d', '\bf\fontsize{12}',m, K)); xlabel('\bf\it\fontsize{12} - - - - - - - - t - - - - - - - -') ylabel('\bf\fontsize{12}\itP\rm\bf(\itt\rm\bf)'); set(gca, 'fontweight','bold', 'fontsize',10) fprintf('\n Стационарные вероятности:\n'); for J = 1 : length(A) fprintf('\tP%d = %f\n', J-1, P(end,J)); end fprintf('\n\t ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:\n'); Pnot = P(end,end); fprintf(' Вероятность отказа Pnot = %f\n', P(end,end)); Q = 1 - Pnot; fprintf(' Относительная пропускная способность Q = %f\n', Q); Ab = L*Q; fprintf(' Абсолютная пропускная способность A = %f\n', Ab); Pq = sum(P(end, m+1:end)); fprintf(' Вероятность наличия очереди Pq = %f\n', Pq); Ps = sum(P(end, m:end)); fprintf(' Вероятность загрузки всех каналов обслуживания Ps = %f\n', Ps); Ns = [0:length(A)-1]*P(end,:)'; fprintf(' Среднее количество требований в системе Ns = %f\n', Ns); fprintf(' Среднее время пребывания требования в системе Ts = %f\n', Ns/L); Nq = [0:(K-m)]*P(end,m:K)'; fprintf(' Средняя длина очереди Nq = %f\n', Nq); fprintf(' Среднее время пребывания требования в очереди Tq = %f\n', Nq/L); function f = cmo(t,P); %% Функция описания правых частей %% дифференциальных уравнений global A f = A*P; Результат выполнения программы Стационарные вероятности: P0 = 0.004352 P1 = 0.022604 P2 = 0.058629 P3 = 0.101614 P4 = 0.131597 P5 = 0.171220 P6 = 0.221807 P7 = 0.288176 ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Вероятность отказа: Pnot = 0.288176 Относительная пропускная способность: Q = 0.711824 Абсолютная пропускная способность: A = 2.505620 Вероятность наличия очереди: Pq = 0.812800 Вероятность загрузки всех каналов обслуживания: Ps = 0.914415 Среднее количество требований в системе: Ns = 5.175269 Среднее время пребывания требования в системе: Ts = 1.470247 Средняя длина очереди: Nq = 1.139458 Среднее время пребывания требования в очереди: Tq = 0.323710 Среднее время пребывания требования в системе было рассчитано по формуле Литтла. Для расчета среднего времени пребывания требования в очереди использовался аналог формулы Литтла [2] Диаграмма с вероятностями состояний системы показана на рис. 2.2 Рис. 2.2. Вероятности состояний системы М/М/4/7 Задание 1 1. Рассчитайте нормировочное условие для трех значений времени. 2. Определите вероятность того, что в системе будет не более требований. Значение выбирайте случайно по равномерному закону из интервала целых чисел (см. ). 3. Примените диалоговое окно (см. ) для ввода параметров системы. 4. Напишите программу для произвольно задаваемых параметров системы , и значений , . Предусмотрите также ввод длительности интервала интегрирования. 2.2. Пример моделирования системы типа М/М/M/K с ограниченным временем ожидания Пример 2. Получите операционные характеристики системы с ограниченным временем ожидания при следующих параметрах системы: — интенсивность входного потока требований, — интенсивность обслуживания каждым прибором, — интенсивность ухода из очереди "нетерпеливых" требований. Моделирование проведите в MATLAB и GPSS/PC. Размеченный граф состояний системы показан на рис. 2.3 Рис. 2.3. Граф состояний системы с ограниченным временем ожидания На рис. 2.3 вокруг состояния 4 проведена воображаемая окружность для пояснения применения мнемонического правила составления дифференциальных уравнений Колмогорова. В соответствии с мнемоническим правилом получаем следующую систему дифференциальных уравнений: где — вероятности состояний системы. Для интегрирования системы дифференциальных уравнений зададим естественные граничные условия: Программный код решения примера в системе MATLAB: function MMmKv %% Система M/M/4/7 с ограниченным временем ожидания в очереди % Параметры системы L = 3.52; M = 0.678; v = 1.3; m = 4; K = 7; % Матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений global A A = [-L, M, zeros(1,6); L, -(L+M), 2*M, zeros(1,5); 0, L, -(L+2*M), 3*M, zeros(1,4); 0, 0, L, -(L+3*M), 4*M, zeros(1,3); zeros(1,3), L, -(L+4*M), (4*M+v), 0, 0; zeros(1,4), L, -(L+4*M+v), (4*M+2*v), 0; zeros(1,5), L, -(L+4*M+2*v), (4*M+3*v); zeros(1,6), L ,-(4*M+3*v)]; % Решение дифференциальных уравнений T = [0,20]; % Время интегрирования P0 = [1;zeros(length(A)-1,1)]; % Начальные условия [t, P] = ode23(@cmo, T, P0); %% Построение диаграмм вероятностей состояний % line(t,P,'linew',2) %% сполошные линии с различными цветами line(t,P(:,1),'linew',2, 'color','r') %% Po line(t,P(:,2), 'linew',2,'lines','--') %% P1 line(t,P(:,3), 'linew',2,'lines','-.') %% P2 line(t,P(:,4), 'linew',2,'lines',':') %% P3 line(t,P(:,5), 'marker','o', 'color', 'm') %% P4 line(t,P(:,6), 'marker','h', 'color','k') %% P5 line(t,P(:,7), 'marker','p','color','r') %% P6 line(t,P(:,8), 'marker','>') %% P7 grid on N = length(A)-1; arr = [0:N]'; str = num2str(arr); legend(strcat('\bf\itP\rm\bf_', str, '(\itt\rm\bf)')); title(sprintf('%s Вероятности состояний системы M/M/%d/%d', '\bf\fontsize{12}',m, K)); xlabel('\bf\it\fontsize{12} - - - - - - - - t - - - - - - - -') ylabel('\bf\fontsize{12}\itP\rm\bf(\itt\rm\bf)'); set(gca, 'fontweight','bold', 'fontsize',10) Pcm = P(end,:); % Стационарные вероятности fprintf('\n Стационарные вероятности:\n'); for J = 1 : length(A) fprintf('\tP%d = %f\n', J-1, Pcm(J)); end fprintf('\n\t ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:\n'); Pnot = P(end,end); fprintf(' Вероятность отказа Pnot = %f\n', P(end,end)); Q = 1 - Pnot; fprintf(' Относительная пропускная способность Q = %f\n', Q); Ab = L*Q; fprintf(' Абсолютная пропускная способность A = %f\n', Ab); Pq = sum(P(end, m+1:end)); fprintf(' Вероятность наличия очереди Pq = %f\n', Pq); Ps = sum(P(end, m:end)); fprintf(' Вероятность загрузки всех каналов обслуживания Ps = %f\n', Ps); Ns = [0:length(A)-1]*P(end,:)'; fprintf(' Среднее количество требований в системе Ns = %f\n', Ns); fprintf(' Среднее время пребывания требования в системе Ts = %f\n', Ns/L); Nq = [0:(K-m)]*P(end,m:K)'; fprintf(' Средняя длина очереди Nq = %f\n', Nq); fprintf(' Среднее время пребывания требования в очереди Tq = %f\n', Nq/L); function f = cmo(t,P); %% Функция описания правых частей %% дифференциальных уравнений global A f = A*P; Результат выполнения программы Стационарные вероятности: P0 = 0.007887 P1 = 0.040947 P2 = 0.106289 P3 = 0.183963 P4 = 0.238701 P5 = 0.209568 P6 = 0.138707 P7 = 0.073939 ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Вероятность отказа: Pnot = 0.073939 Относительная пропускная способность: Q = 0.926061 Абсолютная пропускная способность: A = 3.259736 Вероятность наличия очереди: Pq = 0.660915 Вероятность загрузки всех каналов обслуживания: Ps = 0.844877 Среднее количество требований в системе: Ns = 4.157868 Среднее время пребывания требования в системе: Ts = 1.181213 Средняя длина очереди: Nq = 1.073958 Среднее время пребывания требования в очереди: Tq = 0.305102 Диаграмма вероятностей состояний системы с ограниченным временем ожидания показана на рис. 2.4 Рис. 2.4. Вероятности состояний системы М/М/4/7 с ограниченным временем ожидания Задание 3 1. Постройте зависимость среднего времени пребывания в очереди от интенсивности входного потока, изменяя интенсивность от до , где — номер компьютера (1, 2, 3, ...), за которым выполняется лабораторная работа. 2. Напишите программу для анализа системы с параметрами, вводимыми с клавиатуры пользователем, т. е. , , , , Предусмотрите также ввод интервала интегрирования дифференциальных уравнений. Для решения примера в системе GPSS/PC подготовим данные о функциях распределения входного потока, экспоненциальном обслуживании и экспоненциальном уходе из очереди "нетерпеливых" требований. Программа в MATLAB формирования данных: clear all,clc L = 3.52; %% Интенсивность входного потока M = 0.678; %% Интенсивность обслуживания v = 1.3; %% Интенсивность ухода из очереди %% Функции экспоненциального распределения x = 0 : 0.2 : 20; F = 1 - exp(-L*x); F2 = 1 - exp(-M*x); F3 = 1 - exp(-v*x); %%% Запись в текстовый файл MC2.txt fid = fopen('MC2.txt', 'w'); %% Для блока generate fprintf(fid, 'puas function RN1,C50\r\n'); for J = 1 : length(x) if J <= 50 if mod(J, 5) fprintf(fid, '%g,%g/', F(J), x(J)); else fprintf(fid, '\r\n'); fprintf(fid, '%g,%g/', F(J), x(J)); end end end fprintf(fid, '\r\n;-----------------------------------\r\n'); %% Для блоков advance fprintf(fid, '\r\nexpM function RN2,C50\r\n'); for J = 1 : length(x) if J <= 50 if mod(J, 5) fprintf(fid, '%g,%g/', F2(J), x(J)); else fprintf(fid, '\r\n'); fprintf(fid, '%g,%g/', F2(J), x(J)); end end end fprintf(fid, '\r\n;-----------------------------------\r\n'); %% Для функции распределения ухода из очереди fprintf(fid, '\r\nexpM function RN3,C50\r\n'); for J = 1 : length(x) if J <= 50 if mod(J, 5) fprintf(fid, '%g,%g/', F3(J), x(J)); else fprintf(fid, '\r\n'); fprintf(fid, '%g,%g/', F3(J), x(J)); end end end fclose(fid); GPSS-программа приводится ниже. В ней задано условие обработки 1000 требований. Программный код решения примера в системе GPSS/PC: simulate puas function RN1,C50 0,0/0.505397,0.2/0.755368,0.4/0.879004,0.6/ 0.940155,0.8/0.970401,1/0.98536,1.2/0.992759,1.4/0.996419,1.6/ 0.998229,1.8/0.999124,2/0.999567,2.2/0.999786,2.4/0.999894,2.6/ 0.999948,2.8/0.999974,3/0.999987,3.2/0.999994,3.4/0.999997,3.6/ 0.999998,3.8/0.999999,4/1,4.2/1,4.4/1,4.6/ 1,4.8/1,5/1,5.2/1,5.4/1,5.6/ 1,5.8/1,6/1,6.2/1,6.4/1,6.6/ 1,6.8/1,7/1,7.2/1,7.4/1,7.6/ 1,7.8/1,8/1,8.2/1,8.4/1,8.6/ 1,8.8/1,9/1,9.2/1,9.4/1,9.6/ 1,9.8/ ;----------------------------------- expM function RN2,C50 0,0/0.126808,0.2/0.237536,0.4/0.334223,0.6/ 0.418649,0.8/0.492369,1/0.556741,1.2/0.612949,1.4/0.662031,1.6/ 0.704888,1.8/0.742311,2/0.774988,2.2/0.803521,2.4/0.828436,2.6/ 0.850192,2.8/0.869189,3/0.885777,3.2/0.900261,3.4/0.912909,3.6/ 0.923953,3.8/0.933596,4/0.942017,4.2/0.949369,4.4/0.95579,4.6/ 0.961396,4.8/0.966291,5/0.970566,5.2/0.974298,5.4/0.977558,5.6/ 0.980403,5.8/0.982888,6/0.985058,6.2/0.986953,6.4/0.988607,6.6/ 0.990052,6.8/0.991314,7/0.992415,7.2/0.993377,7.4/0.994217,7.6/ 0.99495,7.8/0.995591,8/0.99615,8.2/0.996638,8.4/0.997064,8.6/ 0.997437,8.8/0.997762,9/0.998045,9.2/0.998293,9.4/0.99851,9.6/ 0.998699,9.8/ ;----------------------------------- expV function RN3,C50 0,0/0.228948,0.2/0.405479,0.4/0.541594,0.6/ 0.646545,0.8/0.727468,1/0.789864,1.2/0.837974,1.4/0.87507,1.6/ 0.903672,1.8/0.925726,2/0.942731,2.2/0.955843,2.4/0.965953,2.6/ 0.973748,2.8/0.979758,3/0.984392,3.2/0.987966,3.4/0.990721,3.6/ 0.992845,3.8/0.994483,4/0.995746,4.2/0.99672,4.4/0.997471,4.6/ 0.99805,4.8/0.998497,5/0.998841,5.2/0.999106,5.4/0.999311,5.6/ 0.999469,5.8/0.99959,6/0.999684,6.2/0.999756,6.4/0.999812,6.6/ 0.999855,6.8/0.999888,7/0.999914,7.2/0.999934,7.4/0.999949,7.6/ 0.999961,7.8/0.99997,8/0.999977,8.2/0.999982,8.4/0.999986,8.6/ 0.999989,8.8/0.999992,9/0.999994,9.2/0.999995,9.4/0.999996,9.6/ 0.999997,9.8/ *************************************** T_s table m1,0,2,6 ************************************** 10 GENERATE fn$puas 20 test LE q1,3,exit1 30 test L qx1,fn$expV,exit2 40 QUEUE 1 50 TRANSFER ALL,CHAN1,CHAN4,3 ************************************** 100 CHAN1 SEIZE zet1 110 assign 1,zet1 120 transfer ,come ************************************** 200 chan2 SEIZE zet2 210 assign 1,zet2 220 transfer ,come ************************************** 300 chan3 SEIZE zet3 310 assign 1,zet3 320 transfer ,come ************************************** 400 chan4 SEIZE zet4 410 assign 1,zet4 ************************************** 510 come DEPART 1 520 advance fn$expM 530 release p1 540 tabulate T_s 550 work terminate 1 560 exit1 terminate 570 exit2 terminate ************************************** START 1000 ;end В программе использованы следующие стандартные числовые атрибуты: — длина первой очереди, — среднее время пребывания в первой очереди без нулевых входов, — время пребывания транзакта в модели. Освобождение того или иного устройства блоком выполнено на основе записи в первый параметр транзактов имени устройства, например, Программа реализует следующий алгоритм. Поступающие по пуассоновскому закону требования (транзакты в системах GPSS) попадают в очередь на обслуживание. Если в очереди меньше или равно 3 транзактам, то они ожидают начала обслуживания. В противном случае они покидают систему по метке . Проверка длины очереди осуществляется блоком в строке 20. Время ожидания соотносится со случайным временем ожидания "нетерпеливых" требований —— со значением функции распределения . Если оно меньше, то требования поступают в устройства обслуживания, в одно из свободных устройств, начиная с первого (реализуется блоком в режиме ). Поступающим в устройства обслуживания транзактам в первый параметр записывается имя устройства ( ), после чего они отправляются по метке в блок , который освобождает одно место в очереди под номером 1. Далее происходит обслуживание транзактов по экспоненциальному закону блоком в строке 520. Вывод транзакта из работающего устройства осуществляется блоком по первому параметру, в котором записано имя устройства. Обслуженные транзакты выводятся из системы блоком с меткой Для получения распределения времени пребывания в модели использован оператор таблицы с меткой . Сбор статистики для введенной таблицы осуществляется блоком Результат выполнения программы система GPSS/PC оформляет в виде файла стандартного отчета, который имеет следующий вид: GPSS/PC Report file REPORT.GPS. (V 2, # 37349) 01-08-2010 11:16:14 page 1 START_TIME END_TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES FREE_MEMORY 0 416 23 4 0 137072 LINE LOC BLOCK_TYPE ENTRY_COUNT CURRENT_COUNT RETRY 10 1 GENERATE 14227 0 0 20 2 TEST 14227 0 0 30 3 TEST 13127 0 0 40 4 QUEUE 1002 0 0 50 5 TRANSFER 1288 1 0 100 CHAN1 SEIZE 317 0 0 110 7 ASSIGN 317 0 0 120 8 TRANSFER 317 0 0 200 CHAN2 SEIZE 265 0 0 210 10 ASSIGN 265 0 0 220 11 TRANSFER 265 0 0 300 CHAN3 SEIZE 232 0 0 310 13 ASSIGN 232 0 0 320 14 TRANSFER 232 0 0 400 CHAN4 SEIZE 187 0 0 410 16 ASSIGN 187 0 0 510 COME DEPART 1001 0 0 520 18 ADVANCE 1001 1 0 530 19 RELEASE 1000 0 0 540 20 TABULATE 1000 0 0 550 WORK TERMINATE 1000 0 0 560 EXIT1 TERMINATE 1100 0 0 570 EXIT2 TERMINATE 12125 0 0 FACILITY ENTRIES UTIL. AVE._TIME AVAILABLE OWNER PEND INTER RETRY DELAY ZET1 317 0.776 1.02 1 0 0 0 1 0 ZET2 265 0.675 1.06 1 14161 0 0 1 0 ZET3 232 0.557 1.00 1 0 0 0 1 0 ZET4 187 0.507 1.13 1 0 0 0 1 0 QUEUE MAX CONT. ENTRIES ENTRIES(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY 1 4 1 1002 765 0.72 0.30 1.27 0 TABLE MEAN STD.DEV. RETRY RANGE FREQUENCY CUM.% T_S 1.34 1.58 0 - 0 374 37.40 0 - 2 448 82.20 2 - 4 122 94.40 4 - 6 42 98.60 6 - 8 14 100.00 XACT_GROUP GROUP_SIZE RETRY POSITION 0 0 По файлу стандартного отчета определим следующие операционные характеристики: среднее время пребывания в очереди и среднее время пребывания в модели (в системе). Эти характеристики обозначим и соответственно. Значение расположено в поле статистики очереди. Оно равно Значение Ts есть среднее значение таблицы , т. е. в поле Оно равно Поскольку очередь имеет нулевые входы – поле , для расчета средней длины очереди используем аналог формулы Литтла [2] , т. е. Для определения среднего количества требований в системе используем формулу Литтла: Задание 4 1. По данным файла стандартного отчета определите вероятность отказа, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность. 2. Если требуется, то внесите изменения в программу для определения ве-роятности наличия очереди и вероятности загрузки всех каналов обслуживания. 3. Внесите изменения в программу для определения вероятностей состояния системы. 4. Полученные результаты сведите в таблицу, в которую также внесите операционные характеристики системы с ограниченным временем ожидания, полученные с помощью анализа в MATLAB. 2.3. Пример моделирования системы типа М/М/M/K/M Система — это система с пуассоновским входящим пото-ком требований, с экспоненциальным законом обслуживания в m приборах, с допустимым числом требований в системе, не превышающим K, и с ограниченным числом источников нагрузки, которые создают поток из требований. Общее число K требований в системе заключено в интервале , где — число требований, формируемых конечным числом источников нагрузки. Предполагается, что требования, поступающие в систему, когда в ней уже имеется требований, теряются и немедленно возвращаются в группу поступающих так, как будто бы они полностью обслужены. Для описанного функционирования системы и ее заданного буквенного обозначения можно определить ее параметры в соответствии с процессом размножения и гибели в следующем виде: Диаграмма интенсивностей переходов для системы будет представлять собой конечный размеченный граф состояний, который показан на рис. 2.5 Рис. 2.5. Граф состояний системы M/M/m/K/M На рис. 2.5 вертикальными штриховыми линиями размечены границы между состояниями системы, с помощью которых можно найти стационарные вероятности состояний по следующему мнемоническому правилу: на границе раздела двух состояний размеченного графа поток вероятности слева от границы равен потоку вероятности справа от границы. Для определения дифференциальных уравнений относительно вероятностей состояний следует каждое состояние описать воображаемой окружностью и далее применить мнемоническое правило составления дифференциальных уравнений Колмогорова: производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятности, переводящих систему в это состояние, минус сумма всех потоков вероятности, выводящих систему из этого состояния [4] Запишем следующее выражение для определения стационарных вероятностей состояний от до : где: — биномиальные коэффициенты; , — вероятность нулевого состояния. Расчет вероятностей состояний от до : Если в последнем выражении сделать замену , , то получим Вероятность нулевого состояния была определена из нормировочного условия: Рассмотрим случай, когда система работает в режиме чистых потерь, т. е. когда параметры системы удовлетворяют условию . Расчет вероятностей состояний будет определяться при : Распределение вероятностей в соответствии с последней формулой называется распределением Энгсета . В соответствии с размеченным графом состояний и с помощью мнемонического правила составим следующие дифференциальные уравнения относительно вероятностей состояний системы: Для решения дифференциальных уравнений следует задать начальные условия. Обычно используются естественные начальные условия, т. е. Для стационарного режима рассмотрим ряд операционных характеристик в достаточно общем виде. Среднее число требований в системе: Среднее время пребывания одного требования в системе определим по формуле Литтла: Средняя длина очереди: Среднее время пребывания требования в очереди определим по формуле Литтла: Вероятность отказа в обслуживании соответствует вероятности того, что в системе находится требований (максимально допустимое число): Относительная пропускная способность: Абсолютная пропускная способность: Таким образом, операционные характеристики рассчитываются по известным стационарным вероятностям и параметрам системы. Практическая часть Пример 3. Для системы массового обслуживания постройте переходные вероятности состояний и определите для нее операционные характеристики при следующих параметрах: , . Среда программирования — MATLAB. Запишем с буквенными коэффициентами дифференциальные уравнения для системы : где: Полученную систему представим в матричном виде: где матрица размера составляется из коэффициентов при вероятностях в правой части уравнений. Для интегрирования дифференциальных уравнений примем естественные граничные условия. Программный код решения примера в MATLAB: function MMmKM; clc,close all % Параметры системы M/M/4/7/9 L = 2.2; M = 3.678; m = 4; K = 7; N = 9; % Матрица коэффициентов А global A A = [-N*L,M,zeros(1,6); N*L,-[(N-1)*L+M],2*M,zeros(1,5); zeros(1,1),(N-1)*L,-[(N-2)*L+2*M],3*M,zeros(1,4); zeros(1,2),(N-2)*L,-[(N-3)*L+3*M],4*M,zeros(1,3); zeros(1,3),(N-3)*L,-[(N-4)*L+4*M],4*M,zeros(1,2); zeros(1,4),(N-4)*L,-[(N-5)*L+4*M],4*M,zeros(1,1); zeros(1,5),(N-5)*L,-[(N-6)*L+4*M],4*M; zeros(1,6),(N-6)*L,-4*M]; T = [0,2]; %% интервал интегрирования P0 = [1,zeros(1,length(A)-1)]; %% начальные условия [t,P] = ode23(@cmo,T,P0); %% Построение диаграмм вероятностей состояний % line(t,P,'linew',2) %% сплошные линии с различными цветами line(t,P(:,1),'linew',2, 'color','r') %% Po line(t,P(:,2), 'linew',2,'lines','--') %% P1 line(t,P(:,3), 'linew',2,'lines','-.') %% P2 line(t,P(:,4), 'linew',2,'lines',':') %% P3 line(t,P(:,5), 'marker','o', 'color', 'm') %% P4 line(t,P(:,6), 'marker','h', 'color','k') %% P5 line(t,P(:,7), 'marker','p','color','r') %% P6 line(t,P(:,8), 'marker','>') %% P7 grid on Na = length(A) - 1; arr = [0:Na]'; str = num2str(arr); legend(strcat('\bf\itP\rm\bf_', str, '(\itt\rm\bf)')); title(sprintf('%sСистема M/M/%d/%d/%d; %s%g; %s%g',... '\bf\fontsize{11}',m,K,N,'\lambda = ',L,'\mu = ',M)); xlabel('\bf\it\fontsize{12} - - - - - - - - t - - - - - - - -'); ylabel('\bf\fontsize{12}\itP\rm\bf(\itt\rm\bf)'); set(gca, 'fontweight','bold', 'fontsize',10) Pcm = P(end,:); % Стационарные вероятности fprintf('\n Стационарные вероятности системы M/M/%d/%d/%d:\n', m,K,N); for J = 1 : length(A) fprintf('\tP%d = %f\n', J-1, Pcm(J)); end fprintf('\n ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ M/M/%d/%d/%d:\n', m,K,N); Pnot = P(end,end); fprintf(' Вероятность отказа Pnot = %f\n', P(end,end)); Q = 1 - Pnot; fprintf(' Относительная пропускная способность Q = %f\n', Q); Ab = L*Q; fprintf(' Абсолютная пропускная способность A = %f\n', Ab); Pq = sum(P(end, m+1:end)); fprintf(' Вероятность наличия очереди Pq = %f\n', Pq); Ps = sum(P(end, m:end)); fprintf(' Вероятность загрузки всех каналов обслуживания Ps = %f\n', Ps); Ns = [0:length(A)-1]*P(end,:)'; fprintf(' Среднее количество требований в системе Ns = %f\n', Ns); fprintf(' Среднее время пребывания требования в системе Ts = %f\n', Ns/L); Nq = [0:(K-m)]*P(end,m:K)'; fprintf(' Средняя длина очереди Nq = %f\n', Nq); fprintf(' Среднее время пребывания требования в очереди Tq = %f\n', Nq/L); function f = cmo(t,P) % М-функция описания правых частей дифференциальных уравнений: global A f = A*P; Результат выполнения программы Стационарные вероятности системы M/M/4/7/9: P0 = 0.013187 P1 = 0.070956 P2 = 0.169841 P3 = 0.236851 P4 = 0.212652 P5 = 0.158847 P6 = 0.095048 P7 = 0.042619 ОПЕРАЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ M/M/4/7/9 Вероятность отказа: Pnot = 0.042619 Относительная пропускная способность: Q = 0.957381 Абсолютная пропускная способность: A = 2.106238 Вероятность наличия очереди: Pq = 0.509166 Вероятность загрузки всех каналов обслуживания: Ps = 0.746017 Среднее количество требований в системе: Ns = 3.634652 Среднее время пребывания требования в системе: Ts = 1.652115 Средняя длина очереди: Nq = 0.815489 Среднее время пребывания требования в очереди: Tq = 0.370677 Зависимости вероятностей состояний от времени показаны на рис. 2.6 Рис. 2.6. Изменение вероятностей состояний во времени системы М/ М/4/7/9 Задание 5 1. Рассчитайте стационарные вероятности по аналитическим формулам (см. теоретическую часть). Сравните результаты. 2. Постройте зависимость среднего времени пребывания в очереди от интенсивности входного потока, изменяя интенсивность от до , где — номер компьютера (1, 2, 3, ...), за которым выполняется лабораторная работа. 3. Напишите программу для анализа системы с параметрами, вводимыми с клавиатуры пользователем, т. е. Предусмотрите также ввод интервала интегрирования |