МКТ Терм. Момент силы относительно оси

• Название: Момент силы относительно оси
• Анкор: МКТ Терм
• Дата: 16.11.2021
• Размер: 1.2 Mb.
• Имя файла: mechanics.pdf
• Тип: Закон; #273416
• страница: 5 из 5

v>
<z>
,
(1) где <v> и <z> – средняя скорость и среднее число столкновений молекулы в единицу времени. Весьма приближенно число столкновений молекул за одну секунду можно подсчитать исходя из следующих соображений. Условно изобразим путь, пройденный молекулой за 1 с, прямой линией (рис. 2), длина которой численно равна <v>. Пусть в окружающем пространстве в единице объема содержится n молекул. Тогда рассматриваемая молекула, двигаясь по прямой, столкнется со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом R, равным эффективному диаметру молекул d. Под эффективным диаметром понимается минимальное расстояние (рис. 3), на которое сближаются при столкновении центры двух молекул. Так как объем цилиндра равен

R
2
<
v > =

d
2
<
v >, то всего молекул в нем окажется

d
2
<
v >n. С этими молекулами и произойдут столкновения за 1 с. Таким образом, <z> =

d
2
<
v >n. Более точный расчет с учетом распределения Максвелла молекул по скоростям приводит к выражению
<z> = 2

d
2
<v>n .
(2) Подставив это значение <z> в (1) получим для средней длины свободного пробега следующую формулу
<

> =
1 2

d
2
n
(3) После замены

d
2
на эффективное сечение молекулы

, формула (3) принимает вид
<

> =
1 2

n
(4)

При постоянной температуре концентрация n пропорциональна давлению p (n = p/kT). Следовательно, средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна давлению
<

>

1
p
(5) Эффективное сечение молекул уменьшается с повышением температуры по уравнению

=

0 1 +
C
T
(6) где –

0
величина, которую можно рассматривать как истинный диаметр молекулы, С – константа. В соответствии с уравнением (6) при повышении температуры длина свободного пробега увеличивается. При нормальных условиях средняя длина свободного пробега молекул в газе составляет величину порядкам. При очень высоком вакууме соударений молекул между собой практически не происходит. Они ударяются только о стенки сосуда и длина пробега молекулы становится постоянной, равной линейным размерам сосуда. Столкновения молекул, происходящие в газах в результате теплового движения молекул, определяют характер процессов, известных под названием явлений переноса. К этим процессам относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение или вязкость. Диффузией называется самопроизвольный процесс, возникающий при наличии градиента концентрации в системе, заключающийся в переносе массы в направлении убывания концентрации и совершающийся за счет теплового движения атомов, молекул, ионов, или более крупных агрегированных частиц. Диффундировать могут как растворенные в веществе посторонние частицы, таки частицы самого вещества самодиффузия. Теплопроводность – это процесс переноса теплоты внутри неравномерно нагретой среды при наличии градиента температуры и при

условии, что конвекция и другие явления устранены. При этом молекулы, находящиеся в более нагретых областях и обладающие в среднем более высокой кинетической энергией, при хаотическом тепловом движении переносят энергию в более холодные области, в результате чего происходит выравнивание температуры по всей области. Внутреннее трение или вязкость – это свойство жидкостей и газов оказывать сопротивление перемещению одной их части относительно другой. При переходе частиц (атомов, молекул, ионов) из одного слоя в другой, движущихся относительно друг друга с некоторой скоростью, они переносят с собой импульс, при этом слой, движущийся быстрее, замедляется, а слой, движущийся медленнее, ускоряется. Все явления переноса формально могут быть описаны уравнением
J = k
dJ
dn

S

t ,
(7) где J – поток переносимой величины (массы, теплоты, импульса, k – коэффициент пропорциональности (диффузии D, теплопроводности

, внутреннего трения

), dJ/dn – градиент переносимой величины концентрации, температуры, скорости) вдоль нормали к площадке

S, через которую осуществляется перенос величины J, t – время.
Молекулярно-кинетическая теория газов позволяет во всех деталях интерпретировать явления переноса и установить связь между коэффициентами переноса (диффузии, теплопроводности, вязкости
D =
1 3
<v> <

>
(8)

=
1 3
<v>

<

> С
,
(9)

=
1 3
<v>

<

> ,
(10) где

– плотность вещества, С – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Последнее уравнение положено в основу определения средней длины свободного пробега молекул воздуха в данной работе. Из формулы (9) получаем

=
3


<v>
(11) Коэффициент вязкости, в свою очередь, можно определить из закона
Пуазейля, описывающего ламинарное течение вязкой среды в тонкой цилиндрической трубке. Согласно закону Пуазейля объем газа/жидкости, протекающей через поперечное сечение трубки под действием перепада давления на концах трубки

p, определяется выражением
V =

r
4 8

l

pt,
(12) где V – объем газа, r – радиус капилляра l длина капилляра,

p – разность давлений на концах капилляра, t – время, в течение которого через капилляр протекает данный объем газа. Из (3) получаем

=

r
4 8Vl

pt.
(13) Все величины, входящие уравнение (13) легко измеряются в опыте. Средняя арифметическая скорость молекул газа <v > согласно молекулярно-кинетической теории определяется выражением
<
v > =
8RT

M
,
(14) где R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура, М – молярная масса. Плотность газа

находится из уравнения Менделеева-Клапейрона:

=
Mp
RT
,
(15) где p – давление газа. После подстановки (13), (14) ив) получаем


= М) Разность давлений

p может быть рассчитана по формуле

p = в + h
2 2
,
(17) где h
1
и h
2
– высоты уровней жидкости в сосуде А (рис. 4), g – ускорение свободного падения, в – плотность воды. Эффективный диаметр d молекулы находится из соотношения (3), в котором n – число молекул газа в единице объема приданных условиях. Для перехода к нормальным условиям (T
0
= 273,15 K, p
0
= 760 мм рт.ст. или
1,01325

10 5
Па) воспользуемся соотношением = n
0
pT
0
p
0
T
,
(18) Из (3) и (18) получаем выражение для эффективного диаметра молекулы газа
d =
Tp
0 2

n
0
pT
0

(19) Описание установки Для определения средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул воздуха используется установка, состоящая из сосуда, заполненного водой (1), капилляра (2) и мерного стакана (3) (рис. 1). Если открыть кран, то вода будет выливаться из сосуда, одновременно через капилляр в сосуд будет засасываться воздух. Таким образом, капилляр является той трубкой, в которой устанавливается ламинарное течение воздуха в результате того, что разные концы трубки находятся под разным давлением (верхний конец – под атмосферным давлением, нижний – меньше атмосферного. Сосуд снабжен шкалой, с помощью которой можно определить высоту столба вытекшей воды. Под сосудом устанавливается мерный стакан для определения объема вытекшей воды, равного объему воздуха, поступившего в сосуд.

Порядок выполнения работы
1. Поставить под сосуд химический стакан, открыть кран, прикрыв пальцем капилляр. Дождавшись, когда вода перестанет вытекать из сосуда, заменить химический стакан мерным стаканом.
2. Отметить по шкале начальную высоту уровня воды h
1
в сосуде, отпустить палец, освободив капилляр, и одновременно включить секундомер.
3. Через время t = 30 – 120 секунд (выбирается в зависимости от емкости сосуда и параметров капилляра) закрыть кран (4) и одновременно остановить секундомер.
4. Записать время истечения жидкости t, конечную высоту уровня воды в сосуде и объем вытекшей воды V.
5. Все измеренные величины занести в таблицу экспериментальных данных.
2 1
3 Рис. 4. Схема установки сосуд
–
капилляр
–
мерный стакан
–
кран

6. Повторить опыт пять раз.
7. Измерить и записать температуру в комнате и атмосферное давление.
8. Вычислить

p по формуле (16).
9. Найти для каждого опыта среднюю длину свободного пробега и эффективный диаметр молекул воздуха по формулами. Вычислить средние значения длины свободного пробега <

> и эффективного диаметра d молекул воздуха и рассчитать случайные погрешности

и

d. Вычисленные величины занести в таблицу экспериментальных данных.
11. Записать окончательный результат в виде

= <

>


мм. Сравнить полученные значения величин

и d с литературными данными и сделать выводы по работе. Таблица Результаты измерений и вычислений
№ п/п
t, c
V, мм, м
Т
к
, К
p, Па Па

, мм Среднее значение Случайная погрешность Примечание
R = 8,314 Дж/моль

К;
М
возд
= 28,96

10
–3
кг/моль;
n
0
= 2,69

10 25
м
1 мм рт. ст. = 133,3 Па. Радиус r и длина l капилляра указаны на установке.

Контрольные вопросы
1. Что такое средняя длина свободного пробега молекулы
2. От каких факторов зависит средняя длина свободного пробега молекулы
3. На чем основано определение средней дины свободного пробега в данной работе
4. Каков физический смысл эффективного диаметра молекул
5. Явления переноса теплопроводность, диффузия, вязкость. В чем суть явлений
6. Какова связь между коэффициентами теплопроводности, диффузии и вязкости.
7. Какое явление описывает закон Пуазейля? Литература
1. Савельев ИВ. Курс общей физики. Учеб. Пособие. В х т. Т. Механика. Молекулярная физика. – е изд, испр. – М Наука. Гл. ред. физмат. лит.
1986. 432 с.