МКТ Терм. Момент силы относительно оси
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
С mg При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращающий момент, созданный силой тяжести ò F l M sin l mg M , где l – расстояние между точкой подвеса и центром тяжести маятника (знак минус обусловлен тем, что момент силы М имеет такое направление, что стремится вернуть маятник к положению равновесия, те. уменьшить угол ). Для малых углов отклонения sin , тогда l mg M (1) С другой стороны момент возвращающей силы можно записать в виде 2 2 dt d I i I M (2) I – момент инерции маятника i – угловое ускорение. Из (1) и (2) можно получить 0 2 2 mgl dt d I 0 Обозначая , 0 I mgl (3) получим 0 2 0 2 2 dt d (4) Уравнение (4) – линейное дифференциальное уравнение го порядка. Его решением является выражение ) cos( 0 С учетом уравнения (3) период малых колебаний физического маятника можно записать как пр 2 2 0 , (5) где пр - приведенная длина физического маятника Из формулы (5) можно выразить момент инерции физического маятника относительно оси вращения 2 2 4 mgl T I (6) Находя путем измерений m, l и T, можно по формуле (6) вычислить момент инерции физического маятника относительно заданной оси вращения. В данной работе используется физический маятник (рис, представляющий собой стальной стержень, на котором закреплены две массивные стальные чечевицы (Аи Аи опорные призмы для подвеса (Пи П. Момент инерции такого маятника будет складываться из моментов инерции стержня, чечевиц и призм 2 1 2 1 П П A A ст I I I I I I Момент инерции стержня можно рассчитать с помощью теоремы Штейнера: 2 0 d m I I ст ст , где I 0 - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести. 2 2 2 2 12 12 d l m d m l m I ст ст ст ст ст ст (7) ст масса стержня, ст – длина стержня, d – расстояние от центра тяжести стержня до точки подвеса. Моменты инерции чечевиц и призм можно приближенно рассчитать как для точечных масс. Тогда момент инерции маятника запишется в виде 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 12 П П П П A A A A ст ст r m r m r m r m d l m I , (8) где 2 1 , A A m m - массы чечевиц Аи А, 2 1 , A A r r - расстояния от оси вращения (точки подвеса) до чечевиц Аи А 2 соответственно, 2 1 , П П m m - массы призм Пи П, 2 1 , П П r r - расстояния от оси вращения до призм Пи П соответственно. Т.к. по условиям выполнения работы перемещается лишь одна чечевица А, то изменяться будет лишь момент инерции и 1 A const I I I 2 1 1 A A const r m I I (9) Описание установки. Применяемый в данной работе физический маятник (рис) представляет собой стальной стержень (Сна котором закреплены две массивные стальные чечевицы (Аи Аи опорные призмы для подвеса (Пи П. Маятник подвешивается на кронштейне. Посредством перемещения одной из чечевиц можно изменить момент инерции маятника относительно точки подвеса (оси вращения. Центр тяжести маятника определяется балансированием маятника на горизонтальном ребре специальной призмы (рис. На стержне маятника через 10 мм нанесены кольцевые нарезки, служащие для точного определения расстояния от центра тяжести до оси вращения без помощи линейки. Небольшим смещением чечевицы А вдоль стержня можно добиться, чтобы расстояние l А АС П П Рис. Схема установки от точки подвеса до центра тяжести равнялось целому числу сантиметров, отсчитываемому по шкале на стержне. Порядок выполнения работы. 1. Определить положение центра тяжести маятника. а) Снять маятник с кронштейна и установить его в горизонтальном положении на специальной призме П (рис) так, чтобы он находился в равновесии. Точное положение равновесия достигается небольшим передвижением чечевицы А Рис. Уравновешивание маятника б) По шкале на маятнике измерить l - расстояние от точки подвеса ребро призмы П) до центра тяжести маятника (верхнее ребро призмы П. в) По шкале маятника измерить расстояние 1 A r - от точки подвеса ребро призмы П) до верхней чечевицы А 2. Определить период колебаний физического маятника. а) Установить маятник призмой П на кронштейн (рис) б) Определить время полных 50 - 100 колебаний маятника. Записать время t и число n колебаний маятника. в) Определить период колебаний физического маятника по формуле n t T (10) 3. Снять маятник с кронштейна. Передвинуть чечевицу А на несколько сантиметров в новое положение и повторить опыт. Измерения должны быть выполнены не менее, чем для трех различных положений чечевицы А 1 относительно точки подвеса. А П 4. По формуле (6) вычислить момент инерции физического маятника оп. Вычислить относительную погрешность момента инерции для одного из рассмотренных случаев по формуле l l m m T T 2 (11) Величины T и l определяются по классу точности приборов. 6. Найти абсолютную погрешность для каждого случая, принимая относительную погрешностьодинаковой для всех случаев. Записать в таблицу окончательный результат в виде оп. По формуле (8) вычислить момент инерции маятника теор для каждого случая. 8. Сравнить полученные результаты I оп и теор, вычислив отношение % 100 теор оп теор I I I (12) Сделать вывод о том, насколько велико расхождение полученных значений и каковы причины расхождений. Таблица Результаты измерений и вычислений № п/п l, мс, м оп, кг м 2 теор, кг м 2 % 100 теор оп теор I I I 1 2 3 Контрольные вопросы. 1. Что такое физический маятник 2. Что называется приведенной длиной физического маятника 3. Какое колебание называется гармоническим 4. Что такое период колебаний 5. Выведите формулу для вычисления периода колебаний физического маятника. 6. Что такое момент инерции В чем заключается аддитивность момента инерции 7. Как рассчитать момент инерции тела относительно осине проходящей через центр его тяжести 8. Получите формулу для вычисления момента инерции физического маятника. Литература 1. Савельев ИВ. Курс общей физики Учебн. пособие для втузов в 3 т-х., т Механика. Молекулярная физика. - е изд, испр. - М Наука, 1986. – с. 2. Детлаф А. А, Яворский Б. М. Курс физики Учебн. пособие для втузов. - М Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ с. 588-603. 3. Лабораторный практикум по физике Учеб. пособие для студентов втузов Б. Ф. Алексеев, КА. Барсуков, И. А. Войцеховская и др Под ред. КА. Барсукова и Ю. И. Уханова. – М Высш. школа. – 351 сил 4.Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М Высшая школа, 1970 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА Цель работы познакомиться с оборотным маятником и определить сего помощью ускорение свободного падения. Приборы и принадлежности оборотный маятник, секундомер. Теоретическое введение Маятником называют твердое тело, способное под действием силы тяжести совершать колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники. Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка (тело, размерами которого можно пренебречь. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити. Период колебаний математического маятника равен g l T 2 , (1) где l– длина маятника, g– ускорение свободного падения. Физическим маятником называют твердое тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной осине проходящей через его центр масс. Под действием силы тяжести физический маятник способен совершать колебания относительно этой оси. При малых колебаниях период колебаний физического маятника определяется формулой l g m I T 2 , (2) где I– момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса m– масса маятника l– расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника. Рис. 1. Схема физического маятника Сопоставление формул (1) и (2) показывает, что математический маятник с длиной пр) будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину пр, определяемую с помощью равенства (3), называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Этот период задается формулой пр) Точка Она прямой, соединяющей точку подвеса Ос центром масс C, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. Приведенная длина всегда больше l, поэтому точка подвеса О и центр качания О' лежат по разные стороны от центра масс C (см. рис. 1). Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания О' приведенная длина маятника, а значит и его период колебаний, останутся теми же, что и вначале (когда маятник был подвешен в точке О. l про о С Следовательно, точка подвеса О и центр качания О' обладают свойством взаимности при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания. На этом свойстве основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называют такой физический маятнику которого имеются две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы Пи П, за которые маятник можно поочередно подвешивать. Тяжелый груз, которым снабжен маятник, можно перемещать вдоль маятника и закреплять на нем. Период колебаний такого маятника зависит оттого, в каком положении закреплен грузи за какую из двух опорных призм этот маятник подвешен (то есть T = Т при использовании в качестве точки подвеса призмы Пи Т при использовании в качестве точки подвеса призмы П. Лишь при одном положении груза период колебаний маятника не зависит оттого, за какую из двух опорных призм этот маятник подвешен T = Т = Т = T*. Выполнение этого условия означает, что опорные ребра призм Пи П находятся в точках О и О, те. расстояние между опорными ребрами призм равно приведенной длине l пр данного физического маятника (маятника с заданным положением груза. Измерив приведенную длину при период колебаний T* данного маятника, можно по формуле (4) найти ускорение свободного падения g. Описание установки Используемый в данной работе оборотный маятник изображен на рисунке 2. Маятник представляет собой стальной стержень, А А П П Рис. Схема установки К снабженный двумя неподвижными опорными призмами Пи Пи двумя массивными стальными чечевицами A 1 и A 2 . Одна и чечевиц – A 1 – неподвижна, а вторую – A 2 – можно перемещать вдоль стержня и закреплять в разных положениях. Маятник подвешивают на кронштейне К поочередно за каждую из призм Пи Пи измеряют периоды колебаний Т и Т 2 Закреплением чечевицы A 2 на разных расстояниях от конца стержня добиваются того, чтобы при некоем положении чечевицы A 2 периоды колебаний маятника Т и Т были одинаковы. Приведенная длина l пр маятника с найденным положением чечевицы A 2 равна расстоянию между опорными ребрами призм Пи П 2 Порядок выполнения работы 1. Закрепите чечевицу А на некотором расстоянии b от конца стержня. 2. Установите маятник на опорной призме П. Приведите маятник в колебательное движение, отклонив его на небольшой угол (не более 10°) от вертикальной оси. Найдите период колебаний n t T ср 1 П , трижды определив время t, за которое маятник совершает n колебаний рекомендуем взять n = 10), и вычислив среднее арифметическое t ср Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 1. 3. Установите маятник на опорной призме Пи проведите измерения периода колебаний n t T ср 2 П также, как описано в пункте 2. Опыты (1-3) рекомендуем провести при пяти – шести положениях чечевицы А, например, соответствующих расстояниям b 1 = 2, b 2 = 6, b 3 = 10, b 4 = 14, b 5 = 18 см. 4. Постройте графики Т П1 = f 1 (b) и Т П2 = f 2 (b) зависимостей периода колебаний маятника от положения чечевицы А, откладывая по оси абсцисс расстояние b, а по оси ординат периоды колебаний Т П1 и Т П2 , измеренные при различных значениях b при двух положениях маятника с опорой на призму Пи на призму П. Координата b x точки пересечения кривых Т П1 = f 1 (b) и Т П2 = f 2 (b) определяет такое положение чечевицы А, при котором периоды Т П1 и Т П2 одинаковы Т П1 = Т П2 = Т (рис. 3). 5. Уточните значение периода колебаний маятника при найденном положении b x чечевицы А. Для этого закрепите чечевицу А в положении b x и, подвесив маятник сначала на призме Па потом на призме П, потри раза измерьте соответствующие времена Пи П, за которые маятник совершает колебаний при таком положении груза (в этих опытах рекомендуем принять n = 20). С помощью измеренных величин Пи П найдите шесть значений периода колебаний маятника n t T * . Наиболее вероятную величину периода колебаний Та также абсолютную погрешность Т величины Т найдите методом Стьюдента, используя шесть вычесленных значений Т. Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу 2. 6. Определите приведенную длину маятника пр, не менее трех раз измерив расстояние между ребрами опорных призм Пи П (при измерении можно использовать нанесенные на стержень маятника сантиметровые метки. Методом Стьюдента найдите наиболее вероятную величину при абсолютную погрешность пр. Вычислите g по формуле 2 пр. Вычислите относительную погрешность определения величины g по формуле * * 2 T T l l g g пр пр 9. Найдите абсолютную погрешность Δg = ε·g . 10. Запишите окончательный результат g = (g ± Δg); ε = . . . . Сравните этот результат с величиной ускорения свободного падения, приводимой в справочниках по физике g = 9,80665 м/с 2 Рис. 3. Зависимость периода колебаний оборотного маятника, подвешенного на кронштейне за опорные призмы Пи Пот положения b чечевицы А 2 Таблица 1 Результаты измерений периода колебаний оборотного маятника при опоре на призму Пи на призму П при различных положениях чечевицы А b, см № Призма П 1 Призма Пс t ср , с T, с t, с t ср , с T, с b 1 1 2 3 b 2 1 2 3 · · · b k 1 2 3 Таблица 2 Результаты измерений периода колебаний оборотного маятника при положении чечевицы А, равном b x = . . . см П 1 П 2 Т*, с Т, спр, мс Пс Т П1 , с Пс Т П2 , с 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Контрольные вопросы 1. Что такое математический маятник Что такое физический маятник 2. Запишите формулы для периодов колебаний математического и физического маятников. Какие предположения использованы при выводе этих формул 3. Что называется приведенной длиной физического маятника 4. Докажите справедливость утверждения Приведенная длина физического маятника всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром масс маятника. 5. Что называется центром качания физического маятника 6. Докажите справедливость утверждения Маятник, подвешенный в центре качания О, имеет такую же приведенную длину, какую он имел, когда был подвешен в исходной точке О. 7. Какой маятник называют оборотным Как в данной работе с помощью оборотного маятника определяют величину ускорения свободного падения 8. Тонкий однородный абсолютно твердый стержень, имеющий массу m и длину r, подвешен за один из своих краев. Найдите положение центра качания, соответствующего этой точке подвеса. Литература 1. Савельев ИВ. Курс общей физики. т. Механика. Молекулярная физика. – М Наука, 1982 – 432 с. 2. Лабораторный практикум по физике Алексеев Б.Ф., Барсуков КА, Войцеховская И.А. и др. – М Высшая школа. – 351 с. 3. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М Высшая школа, 1970. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА. Цель работы – определить момент инерции системы четырех одинаковых грузов массы m двумя способами 1) экспериментально с помощью маятника Обербека, 2) теоретически, считая грузы материальными точками. Сравнить полученные результаты. Приборы и принадлежности маятник Обербека, секундомер, масштабная линейка, набор грузов, штангенциркуль. Теоретическое введение Момент инерции – физическая величина, характеризующая инертность тела при вращательном движении. Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение массы этой точки на квадрат ее расстояния до оси (см. рис. 1) Моментом инерции произвольного тела относительно оси называется сумма моментов инерции материальных точек из которых состоит тело, относительно этой оси см. рис. 2) Для однородных тел правильной геометрической формы можно заменить суммирование интегрированием. dm r I 2 , где dm = ρdV (ρ – плотность вещества, dV– элемент объема) О O r m Pис. 1. Схема определения момента инерции материальной точки Таким образом получены формулы некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр тяжести а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню 12 ст, б) обруча (а также тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр тяжести совпадающей с осью цилиндра) об, где R – радиус обруча (цилиндра) в) диска (сплошного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр тяжести (совпадающей с осью цилиндра ) 2 д, где – радиус диска (цилиндра) г) шара радиуса R относительно оси произвольного направления, проходящей через его центр тяжести ш Момент инерции тела зависит 1) от формы и размеров тела, 2) от массы и распределения масс, 3) от положения оси относительно тела. Теорема Штейнера о параллельных осях записывается как 2 0 md I I , где I – момент инерции тела массой m относительно произвольной оси, 0 I – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно произвольной оси, d – расстояние между осями. Описание установки Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из шкива и четырех равноплечих стержней, закрепленных на горизонтальной оси (см. рис. На стержнях на равных расстояниях от оси вращения насажены четыре одинаковых груза массы m каждый. При помощи груза m 1 , прикрепленного к концу шнура, намотанного на один из шкивов, вся система может быть приведена во вращательное движение. Для отсчета высоты падения h груза m 1 имеется вертикальная шкала. Запишем второй закон Ньютона для падающего груза в векторной форме 1 a m F g m нат (1) r m |