МКТ Терм. Момент силы относительно оси
 Скачать 1.2 Mb.
|
|
R натяж F натяж F g m 1 Рис.2. Схема установки m m m где g m 1 1 - сила тяжести нат F - сила натяжения шнура (см. рис. 1); a - линейное ускорение, с которым падает груз m 1 вниз. Принимая направление движения груза за положительное, перепишем уравнение (I) в скалярной форме , 1 1 a m F g m нат (2) откуда получим выражение для силы натяжения шнура 1 1 1 1 a g m a m g m F íàò (3) Линейное ускорение a находится из формулы пути равноускоренного движения безначальной скорости 2 2 t h a (4) где h – высота падения груза m 1 ; t – время падения. Сила натяжения нити F нат вызывает ускоренное вращение крестовины. Основной закон вращательного движения крестовины с учетом сил трения запишется так M – M тр = I i , (5) где М – момент силы натяжения M тр – момент сил трения I – момент инерции крестовины i – угловое ускорение, с которым вращается крестовина. Величина момента сил трения M тр по сравнению с величиной вращающего момента М невелика, и, следовательно, ею можно пренебречь. Из уравнения (5) с учетом сделанного замечания получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины , i r F i M I нат (6) где r - радиус шкива. Угловое ускорение i определяется по формуле r a i (7) Подставляя (3) ив, получаем окончательную формулу для расчета момента инерции крестовины 2 1 a r a g m I (8) Порядок выполнения работы. Часть I. Экспериментальное определение момента инерции системы х грузов. 1. Снять со стержней грузы m . 2. Намотать в один слой шнур на шкив, установив грузна заранее выбранной высоте h . Отпустив крестовину, замерить время падения t о груза с помощью секундомера. Опыт повторить пять раз (при одной и той же высоте падения h ). 3. Закрепить на концах стержней грузы 4. Выполнить операции, указанные в пункте 2, измеряя секундомером время падения t . Опыт повторить пять раз. 5. С помощью штангенциркуля измерить диаметр шкива d в пяти разных положениях. 6. Результаты измерений занести в таблицу. Найти приближенные значения и по методу Стьюдента оценить абсолютные погрешности измерения величин t о, t и d. 7. По формуле (4) рассчитать величину линейного ускорения a, с которым падает груз m 1 для случаев а) крестовина без грузов (об) крестовина с грузами а. 8. По формуле (8) вычислить момент инерции крестовины без грузов ( I o ) и с грузами ( I ), используя приближенные значения m 1, R, g и полученные значения аи а о. 9. Вычислить погрешности измерений по формулам) r r a a a g a g m m I I 2 1 1 (10) Таблица 1 Результаты измерений и вычислений № п/п t o, c t, c d, мм) кг m 1 = (0,175+ 0,005) кг R = (0,220 + 0,003) м 1 2 3 4 5 Приближен. значения Абсолютная погрешность Часть II. 1. Теоретически найти момент инерции системы х грузов массы m, находящихся на расстоянии R от оси вращения (считая грузы материальными точками) 2 теор) 2. Сравнить результаты эксперимента и расчетов. Вычисть относительную погрешность % 100 ТЕОР ЭКС ТЕОР I I I (12) и сделать вывод о том, как велико расхождение полученных результатов. Контрольные вопросы. 1. Что называется моментом инерции материальной точки и произвольного тела 2. Отчего зависит момент инерции тела относительно оси вращения 3. Приведите примеры формул момента инерции тел. Как они получены 4. Теорема Штейнера о параллельных осях и ее практическое использование. 5. Вывод формулы для расчета момента инерции крестовины с грузами и без грузов. Литература 1. Савельев ИВ. Курс общей физики Учебн. пособие для втузов в 3 т. Т Механика. Молекулярная физика. - е изд, испр. - М Наука, 1986. – с. 2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики Учебн. пособие для втузов. - М Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ с. 588-603. 3. Зисман ГА, Тодес ОМ. Курс общей физики для втузов в 3 т. Т. 1: Механика, молекулярная физика, колебания и волны - е изд, стереотип. - М Наука, 1974. - 340 с. 4. Методические указания к выполнению лабораторных работ по разделу Механика- Иваново, ИХТИ, 1989 г. (под редакцией Биргера Б.Н.). Часть II. Колебания и волны ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ДЕКРЕМЕНТА КОЛЕБАНИЙ МАЯТНИКА Цель работы определить логарифмический декремент колебаний маятника при наличии разных сил сопротивления и построить графики изменения амплитуды колебаний со временем. Приборы и принадлежности маятник, кювета со шкалой, приспособление для пуска маятника, секундомер, емкость с водой. Теоретическое введение Колебаниями называются движения или процессы, повторяющиеся во времени. Простейшим видом колебательного движения является гармоническое колебание. Оно возникает в том случае, когда на тело, выведенное из положения равновесия, действует сила F, направленная к положению равновесия и пропорциональная смещению F = –kx, (1) где х – смещение тела от положения равновесия, k – коэффициент пропорциональности, который зависит от упругих свойств системы и называется коэффициентом квазиупругой силы. Знак минус показывает, что сила направлена противоположно смещению. Второй закон Ньютона для материальной точки, совершающей гармоническое колебание, представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка kx dt x d m 2 2 , (2) где m – масса материальной точки. Решением уравнения (2) является выражение x = Acos( t + ), (3) где A – амплитуда колебаний, – циклическая частота, – начальная фаза колебаний. Аргумент периодической функции = t + (4) называется фазой колебаний. При t = 0 фаза = . Начало отсчета можно выбрать так, чтобы = 0, тогда x = Acos t. (5) График зависимости смещениях от времени t представляет собой график гармонического колебания (рис. 1). Если колебания совершаются при наличии сил сопротивления, то энергия системы частично затрачивается на их преодоление. Вследствие этого амплитуда колебаний постепенно уменьшается, те. колебания будут затухающими. Таким образом, затухающие колебания совершаются при наличии двух сил силы, возвращающей систему в положение равновесия, и силы сопротивления среды. При малых скоростях сила сопротивления прямо пропорциональна скорости υ: F сопр = –rυ, (6) где r – коэффициент сопротивления среды. Знак минус показывает, что сила сопротивления направлена в сторону, противоположную скорости. Для затухающих колебаний второй закон Ньютона имеет вид dt dx r kx dt x d m 2 2 (7) Решением уравнения (7) является выражение x = A 0 e – t cos( t + α), (8) где A 0 – начальная амплитуда колебаний – коэффициент затухания, равный t T A –A x 0 Рис. 1. График гармонического колебания = m r 2 ; (9) – циклическая частота затухающих колебаний, равная = 2 2 0 ω δ , где 0 – собственная частота колебаний системы. Собственнойчастотой колебаний называется частота колебаний в отсутствие сил сопротивления среды. Смещение колеблющейся системы в начальный момент времени равно x 0 = A 0 cosα. Из уравнения (8) видно, что амплитуда затухающих колебаний уменьшается стечением времени по экспоненциальному закону A = A 0 e – t (10) График затухающего колебания представлен на рис. 2. t T A 0 x 0 x 0 Рис. 2. График затухающего колебания A t A t +T T A = Кроме перечисленных выше величин A 0 , , , затухающие колебания характеризуются также логарифмическим декрементом D. Логарифмический декремент колебаний – безразмерная величина, равная натуральному логарифму отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на время, равное одному периоду D = t t T ln A A (11) Подставив в уравнение (11) A t = A 0 e – t и A t + T = A 0 e – (t + T) , получим связь между параметрами затухающего колебания – логарифмическим декрементом D, коэффициентом затухания и периодом колебаний Т D = Т. (12) Время , за которое амплитуда уменьшается в е раз, называется временем релаксации или временем затухания. Коэффициент затухания – величина, обратная времени релаксации, а логарифмический декремент – величина, обратная числу колебаний N e , за которое амплитуда уменьшается в е раз. Для характеристики колебательной системы также используется величина, называемая добротностью Q. При малых значениях логарифмического декремента (D << 1) добротность колебательной системы равна Q π D , тогда Q = Для определения логарифмического декремента нужно измерить амплитуды двух последовательных колебаний и взять натуральный логарифм их отношения. На опыте измеряют амплитуду в начальный момент времени A 0 и амплитуду A t через N полных колебаний. Получим формулу для вычисления логарифмического декремента. Выразим отношение двух амплитуд 0 0 δ t 0 t A A A A e = e δt Так как t = NT, где N – число полных колебаний, Т – период колебаний, то Используя соотношение (12), получим Найдем натуральный логарифм отношения амплитуд ln t 0 A A = lne DN = DN, откуда D = t 0 ln 1 A A N (13) Описание установки На рис. 3 изображена схема установка для наблюдения затухающих колебаний. Массивный маятник с длиной стержня около двух метров подвешен на треугольном стальном ноже 1, опирающемся на кронштейн 2. На стержне укреплен массивный диск 3. На нижнем конце стержня укреплен указатель 4 для отсчета числа делений по шкале 5. На стержне также закреплена лопатка 6. Маятник удерживается в отклоненном положении с помощью механического фиксатора 7. При повороте фиксатора маятник приходит в колебательное движение. В работе изучаются затухающие колебания в воздухе ив воде. Чтобы заполнить кювету 8 водой, емкость 9 фиксируется в верхнем положении на кронштейне 10, и вода самотеком наливается в кювету через шланг. Порядок выполнения работы 1. Установить маятник в крайнее правое положение с помощью фиксатора 7. Определить начальное значение амплитуды A 0 по шкале и записать его. 2. Освободить маятник, повернув фиксатор, и одновременно включить секундомер. Вести отсчет числа колебаний маятника и через каждые 50 колебаний отмечать по шкале значение амплитуды колебаний А. Через 250 колебаний остановить секундомер и записать его показание. 4. Наполнить сосуд водой и повторить опыт. Вести отсчет амплитуды через каждые 25 колебаний. Записать время 125 колебаний. В случае быстрого затухания амплитуду измерять чаще, например, через каждые 10 колебаний. 5. По формуле (13) рассчитать логарифмический декремент колебаний в воздухе ив воде. 6. Обработать результаты по методу Стьюдента. Записать приближенное значение логарифмического декремента колебаний в воздухе ив воде с указанием абсолютной и относительной погрешности. 7. По результатам измерений на одном графике построить зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний в воздухе ив воде. 8. Вычислить период колебаний маятника в воздухе ив воде. 9. Используя формулу (12) рассчитать коэффициент затухания колебаний маятника в воздухе ив воде. 10. Записать уравнения затухающих колебаний в виде (8), подставив в него полученные в работе величины A 0 , , и 11. Используя формулу (9), рассчитать коэффициент сопротивления среды воздуха и воды. 12. Сделать выводы по работе. Таблица Результаты измерений и вычислений № п/п В воздухе Вводе А 0 А t N D А 0 А t N D 1 50 25 2 100 50 3 150 75 4 200 100 5 250 125 Среднее значение D Среднее значение D Абсолютная погрешность D Абсолютная погрешность D Контрольные вопросы и задания 1. Какие колебания называются гармоническими Под действием какой силы они происходят Запишите второй закон Ньютона для гармонических колебаний. 2. Запишите уравнение смещения от времени для гармонического колебания. Перечислите величины, характеризующие гармоническое колебание. Изобразите график гармонического колебания. 3. Какие колебания называются затухающими Запишите второй закон Ньютона для затухающих колебаний. 4. Запишите уравнение смещения от времени для затухающего колебания. Перечислите величины, характеризующие затухающее колебание. Изобразите график затухающего колебания. 5. Дайте определение логарифмического декремента колебаний. Каков его физический смысл Отчего зависит логарифмического декремента колебаний 6. Опишите, как определяется логарифмический декремент колебаний в данной работе. Литература 1. Савельев ИВ. Курс общей физики Учебн. пособие для втузов в 3 т. Т Механика. Молекулярная физика. – е изд, испр. – М Наука, 1986. – с. 2. Детлаф А. А, Яворский Б. М. Курс физики Учебн. пособие для втузов. – М Высшая школа, 1989. – 607 с. – предм. указ с. 588–603. 3. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М Высшая школа, 1970. 4. Лабораторный практикум по физике Учеб. пособие для студентов втузов Ахматов АС, Андреевский В.М., Кулаков АИ. и др Под редакцией АС. Ахматова. – М Высшая школа. 1980. – 360 с. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН Цель работы определение длины стоячей волны и скорости звука в воздухе. Приборы и принадлежности резонатор с телефоном и микрофоном, звуковой генератор, осциллограф, отсчетная линейка. Теоретическое введение Звук представляет собой упругие волны, распространяющиеся в газах, жидкостях и твердых телах и воспринимаемые ухом человека и животных. Человеческое ухо способно воспринимать звук с частотами от 16 Гц до 20 кГц. Звук с частотами ниже 16 Гц называется инфразвуком, а выше 20 кГц – ультразвуком. Наука о звуке называется акустикой. Если в упругую среду поместить источник колебаний, то соприкасающиеся с ним частицы будут выведены из положения равновесия и придут в колебательное движение. Колебания этих частиц передаются силами упругости соседним частицам среды, а от них – к другим, более удаленным от источника колебаний. Через некоторое время колебательный процесс охватит всю среду. Распространение колебаний в упругой среде называется волнойили волновым процессом. Различают продольные волны (частицы колеблются вдоль направления распространения волны) и поперечные волны (частицы колеблются перпендикулярно этому направлению. Продольные волны представляют собой чередующиеся сгущения и разрежения. Такие волны распространяются в средах, в которых возникают силы упругости при деформациях сжатия и растяжения, ноне обладающих напряжением сдвига. Примером продольных волн являются звуковые волны в газах ив жидкостях. Поперечные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сдвига (те. в твердых телах или в некоторых особых случаях, например, волны на границе раздела жидкость–газ). Скорость распространения продольных и поперечных волн зависит от упругих свойств среды. Так, при 20 С скорость звука в воздухе равна 343 м, вводе м, встали около 6000 м. Скорость звука в газах теоретически можно рассчитать по формуле M RT / γ υ , (1) где – показатель адиабаты (отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме, R – молярная газовая постоянная, Т – термодинамическая температура, М – молярная масса газа. Таким образом, скорость звука в газах оказывается такого же порядка, что и средняя скорость теплового движения молекул. Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль координаты x, имеет вид = Acos( t – kx), (2) где – смещение частиц среды от положения равновесия А – амплитуда волны – циклическая частота колебаний t – время k – волновое число, λ π 2 k ( – длина волны. Стоячей волной называется особое колебательное состояние среды, возникающее при наложении двух встречных бегущих волн (например, прямой и отраженной) одинаковой амплитуды и частоты. Стоячая волна – это частный случай интерференции волн. Рассмотрим сложение двух встречных волн с одинаковой амплитудой и частотой. Прямая волна описывается уравнением 1 = Acos( t – kx), (3) в уравнении отраженной волны координата x меняет знак на противоположный 2 = Acos( t + kx). (4) Сложим уравнения (3) и (4): = 1 + 2 = Acos( t – kx) + Acos( t + kx) и, воспользовавшись формулой для суммы косинусов двух углов, получим уравнение стоячей волны = 2Acos λ π 2 xcos t. Выражение, стоящее перед cos t, представляет собой амплитуду стоячей волны А ст : А ст = 2Acos λ π 2 x (6) Амплитуда колебаний частиц среды в стоячей волне зависит от координаты частиц x и, следовательно, меняется от точки к точке. Амплитуда стоячей волны максимальна (такие геометрические места называются пучностями) при условии cos λ π 2 x = 1, те. λ π 2 x = n, (7) откуда координаты пучностей x пучн = 2 λ n (8) Амплитуда стоячей волны принимает нулевые значения (такие точки называются узлами) при условии cos λ π 2 x = 0, те. λ π 2 x = (2n + 1) 2 π , (9) откуда координаты узлов x узл = 2 λ 2 1 n (10) В формулах (7) – (10) n = 0, 1, 2, 3 … . Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно /2, а соседние узлы и пучности сдвинуты на /4. Точки, находящиеся в узлах, не совершают колебаний. Расстояние между двумя смежными узлами или пучностями называется длиной стоячей волны. Следовательно, длина стоячей волны равна половине длины бегущей волны ст = 2 λ (11) Построим график стоячей волны. По уравнению (5) рассчитаем смещения для фиксированных моментов времени t = 0, T/8, T/4, 3T/8, T/2. В каждое из получившихся уравнений = f(x) подставим координаты x = 0, /4, /2, 3 /4, , 5 /4… . Результаты расчетов приведены ниже. t = 0, = 2Acos λ π 2 x x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 2A 0 –2A 0 2A 0 t = 8 T , = 2Acos λ π 2 xcos 8 π 2 T T , = 2 Acos λ π 2 x x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 2 A 0 – 2 A 0 2 A 0 t = 4 T , = 2Acos λ π 2 xcos 4 π 2 T T , = 0 x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 0 0 0 0 0 0 t = 8 3T , = 2Acos λ π 2 xcos 8 3 π 2 T T , = – 2 Acos λ π 2 x x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 – 2 A 0 2 A 0 – 2 A 0 t = 2 T , = 2Acos λ π 2 xcos 2 π 2 T T , = –2Acos λ π 2 x x 0 /4 /2 3 /4 5 /4 –2A 0 2A 0 –2A 0 Полученные зависимости = f(x) изображены на рис. 1 и представляют собой своего рода мгновенные фотографии стоячей волны. 2 A x x x x x /2 /2 /2 /2 /2 2A –2A 2A –2A 0 0 0 0 0 3 /2 3 /2 3 /2 3 /2 3 /2 t = 0 t = T/8 t = T/4 t = 3T/8 t = T/2 Рис. 1. Мгновенные фотографии стоячей волны – 2 A – 2 A 2 A 2 2 2 2 2 Стоячая волна имеет следующие особенности 1) амплитуда колебаний частиц различна в разных местах среды 2) в пределах участка среды от одного узла до другого все частицы колеблются водной фазе, при переходе через узел фаза колебаний меняется на противоположную 3) в отличие от бегущей волны она не переносит энергию. Получим формулу для расчета скорости звука в данной работе. Скорость волны связана с длиной бегущей волны λ и с частотой ν соотношением υ = λν. (12) Поскольку λ = ст, υ = ст. (13) По формуле (13) можно рассчитать скорость звука при температуре эксперимента. Зависимость скорости звука от температуры описывается соотношением υ = υ 0 t α 1 , (14) где υ 0 – скорость звука при 0 С, t – температура в С, α – температурный коэффициент объемного расширения газа. Для воздуха α = (3,67 С. Из формулы (14) выразим скорость звука при 0 С υ 0 = υ 1 αt (15) Подставив (13) в (15), получим расчетную формулу υ 0 = ст) Описание установки Установка для определения скорости звука (рис. 2) состоит из резонатора 1, звукового генератора 2, осциллографа 3 и отсчетной линейки 4. Резонатор представляет собой закрытую с обоих торцов трубу, в которую вмонтирован телефон 5 и подвижный шток 6 с микрофоном 7. Звуковой генератор создает электрические колебания определенной частоты. Телефон преобразует эти колебания в звуковые колебания той же частоты. Звуковая волна от телефона распространяется внутри резонатора. Между микрофоном и телефоном существует замкнутое пространство, в котором распространяются падающая и отраженная волны. В результате интерференции прямой и отраженной звуковой волны в резонаторе образуется стоячая волна, которая представляет собой чередующиеся сгущения и разрежения воздуха. Стоячая волна образуется в том случае, когда между мембранами телефона и микрофона укладывается целое число длин волн ст возникает явление резонанса, которое на слух воспринимается как усиление звука. x 1 x k 2 5 1 4 7 3 Рис. 2. Схема установки ЗГ ЭО 6 Звук улавливается микрофоном и преобразуется в электрический сигнал, подаваемый на осциллограф. На экране осциллографа наблюдается сигнал синусоидальной формы, амплитуда которого пропорциональна амплитуде звуковых колебаний в данном месте резонатора. На опыте обычно измеряют положение первого максимума x 1 и последнего максимума x k и рассчитывают длину стоячей волны по формуле ст = 1 1 k x x k , (17) где k – число максимумов. Порядок выполнения работы 1. Включить звуковой генератор и установить частоту колебаний по указанию преподавателя (рекомендуемые частоты 900, 1000, 1100 Гц. 2. Перемещая шток с микрофоном по направлению от источника колебаний, определить число максимумов k с помощью осциллографа. По отсчетной линейке найти положение первого максимума x 1 и последнего максимума x k . Результаты измерений занести в таблицу. Таблица Результаты измерений и вычислений № п/п , Гц k ст, мс 3. Для каждого значения частоты выполнить не менее трех измерений. При этом каждый раз рекомендуется заново устанавливать частоту на звуковом генераторе. 4. По формуле (17) рассчитать длину стоячей волны, а по формуле (16) – скорость звука в воздухе при 0 С. Результаты вычислений записать в таблицу. 5. Рассчитать приближенное значение скорости звука и оценить случайную погрешность υ сл по методу Стьюдента. 6. Вычислить систематическую погрешность вскорости звука υ сист Относительная систематическая погрешность рассчитывается по формуле ст ст, где ст принять равной цене деления отсчетной линейки, = 20 Гц, t принять равной половине цены деления шкалы термометра, = 5 10 –5 С –1 . Абсолютная систематическая погрешность равна сист = υ 0 7. Определить общую погрешность по формуле υ = 2 сл 2 сист υ υ 8. Записать окончательный результат с указанием погрешности. 9. Рассчитать по формуле (1) скорость звука в воздухе (γ = М = 29 г/моль) и сравнить с полученным на опыте значением. 10. Сделать выводы по работе. Контрольные вопросы и задания 1. Что такое звук Каков диапазон частот звуковых волн Отчего зависит скорость звука 2. Может ли звук распространяться в вакууме Ответ обоснуйте. 3. Запишите уравнение бегущей волны и поясните величины, входящие в уравнение. 4. Дайте определение стоячей волны. Как возникают стоячие волны 5. Выведите уравнение стоячей волны. 6. Что такое узлы и пучности Получите уравнения координат узлов и пучностей. 7. В чем отличие стоячей волны от бегущей 8. Построить график стоячей волны для фиксированного момента времени t = 0, T/8, T/4, 3T/8 или T/2 (или для других моментов по указанию преподавателя. 9. Обоснуйте расчетную формулу для скорости звука. 10. Опишите экспериментальную установку и методику определения скорости звука. Литература 1. Савельев ИВ. Курс общей физики Учебн. пособие для втузов в 3 т. Т Механика. Молекулярная физика. - е изд, испр. - М Наука, 1986. – с. 2. Детлаф А. А. , Яворский Б. М. Курс физики Учебн. пособие для втузов. - М Высшая школа, 1989. - 607 с. - предм. указ с. 588-603. 3. Майсова Н.Н. Практикум по курсу общей физики. – М Высшая школа, 1970 4. Лабораторный практикум по физике Учеб. пособие для студентов втузов Ахматов АС, Андреевский В.М., Кулаков АИ. и др Под редакцией АС. Ахматова. – М Высшая школа. 1980. – 360 с. |