Моменты инерций сложных сечений

• Название: Моменты инерций сложных сечений
• Дата: 15.12.2020
• Размер: 416.6 Kb.
• Имя файла: 26.11.docx
• Тип: Документы; #160689

Моменты инерций сложных сечений.

В расчетной практике часто приходится вычислять моменты инерции сложных сечений относительно различных осей, лежащих в плоскости фигуры. Для стандартных поперечных сечений стержней моменты инерции относительно различных осей даны в сортаменте.

При вычислении нестандартных сложных сечений последние можно разбить на отдельные простые части, моменты которых известны. Из основного свойства интеграла суммы следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.

Если в сечении есть отверстие, его обычно удобно считать частью фигуры с отрицательной площадью.

Моменты инерций относительно параллельных осей.

Пусть известны моменты инерции фигуры относительно центральных осей и :

; ; (2.12)

Требуется определить моменты инерции относительно осей, параллельных центральным (рис 2.5).



Рис. 2.1

; ; (2.13)

Координаты любой точки в новой системе можно выразить через координаты в старых осях так:

;

Подставим эти значения в формулы (2.13) и интегрируем почленно:

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Так как интегралы и равны нулю как статические моменты относительно центральных осей, то формулы (2.14) - (2.16) принимают вид

;

; (2.17)

Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей.

Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры (рис. 2. 6) относительно координатных осей , :

; ; (2.18)

Повернем оси , на угол против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.



Рис. 2.2

Найдем теперь моменты инерции сечения относительно повернутых осей , :

; ; (2.19)

Координаты произвольной элементарной площадки в новой системе выражаются через координаты , прежней системы следующим образом:

(2.20)

(2.21)

Подставив эти выражения в (2.19) окончательно получим:

(2.22)

(2.23)

(2.24)

Складывая почленно формулы (2.22),(2.23), находим

(2.25)

При повороте прямоугольных осей сумма моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

Определение направления главных осей. Главные моменты инерции.

Наиболее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами и .



Чтобы определить положение главных центральных осей несимметричной фигуры, повернем произвольную начальную систему центральных осей , (рис 2.7) на некоторый угол при котором центробежный момент инерции становится равным нулю:

(2.26)


Рис. 2.3

Согласно формулы (2.24)

, (2.27)

откуда

. (2.28)

Полученные из формулы (2.28) два значения угла отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как легко видеть, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает π/4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой . На рис (2.8) приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами и .



Рис. 2.4

Значения главных моментов инерции можно определить из следующих выражений:

; (2.29)
, (2.30)

Причем верхние знаки следует брать при > , а нижние – при < .

Понятие о радиусе инерции

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции.

(2.31)

где - радиус инерции относительно оси .

Из выражения (2.31) следует, что

(2.32)

Аналогично радиус инерции площади сечения относительно оси

(2.33)

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции

(2.34)
Тема 2. Напряженное состояние бруса при чистом изгибе.

(2 /2 /2 час.), с использованием метода активного обучения – лекция - визуализация.

Данный вид лекции является результатом нового использования принципа наглядности. Чтение лекции сводится к связному, развернутому комментированию преподавателем подготовленных наглядных материалов, полностью раскрывающему тему данной лекции. Чтение лекции сопровождается показом процесса испытаний на изгиб стального стержня в лаборатории механических испытаний ОАО «Прогресс».

Нормальные напряжения и деформации при чистом изгибе.

Как уже было сказано, при чистом плоском изгибе в поперечном сечении из шести внутренних силовых факторов не равен нулю только изгибающий момент (рис. 6.1, в):

; (6.1)

Опыты, поставленные на эластичных моделях, показывают, что если на поверхность модели нанести сетку линий (рис. 6.1, а), то при чистом изгибе она деформируется следующим образом (рис. 6.1, б):

а) продольные линии искривляются по длине окружности;

б) контуры поперечных сечений остаются плоскими;

в) линии контуров сечений всюду пересекаются с продольными волокнами под прямым углом.

На основании этого можно предположить, что при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими и поворачиваются так, что остаются нормальными к изогнутой оси балки (гипотеза плоских сечений при изгибе).



Рис. 6.5
Замеряя длину продольных линий (рис. 6.1, б), можно обнаружить, что верхние волокна при деформации изгиба балки удлиняются, а нижние укорачиваются. Очевидно, что можно найти такие волокна, длина которых остается неизменной. Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем (н. с.). Нейтральный слой пересекает поперечное сечение балки по прямой, которая называется нейтральной линией (н. л.) сечения.

Для вывода формулы, определяющей величину нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении, рассмотрим участок балки в деформированном и не деформированном состоянии (рис. 6.2).



Рис. 6.6
Двумя бесконечно малыми поперечными сечениями выделим элемент длиной . До деформации сечения, ограничивающие элемент , были параллельны между собой (рис. 6.2, а), а после деформации они несколько наклонились, образуя угол . Длина волокон, лежащих в нейтральном слое, при изгибе не меняется . Обозначим радиус кривизны следа нейтрального слоя на плоскости чертежа буквой . Определим линейную деформацию произвольного волокна , отстоящего на расстоянии от нейтрального слоя.

Длина этого волокна после деформации (длина дуги ) равна . Учитывая, что до деформации все волокна имели одинаковую длину , получим, что абсолютное удлинение рассматриваемого волокна



Его относительная деформация



Очевидно, что , так как длина волокна, лежащего в нейтральном слое не изменилась. Тогда после подстановки получим

(6.2)

Следовательно, относительная продольная деформация пропорциональна расстоянию волокна от нейтральной оси.

Введем предположение, что при изгибе продольные волокна не надавливают друг на друга. При таком предположении каждое волокно деформируется изолировано, испытывая простое растяжение или сжатие, при котором . С учетом (6.2)

, (6.3)

т. е. нормальные напряжения прямо пропорциональны расстояниям рассматриваемых точек сечения от нейтральной оси.

Подставим зависимость (6.3) в выражение изгибающего момента в поперечном сечении (6.1)

.

Вспомним, что интеграл представляет собой момент инерции сечения относительно оси

.

Или

(6.4)

Зависимость (6.4) представляет собой закон Гука при изгибе, поскольку она связывает деформацию (кривизну нейтрального слоя ) с действующим в сечении моментом. Произведение носит название жесткости сечения при изгибе, Н·м².

Подставим (6.4) в (6.3)

(6.5)

Это и есть искомая формула для определения нормальных напряжений при чистом изгибе балки в любой точке ее сечения.

Для того, чтобы установить, где в поперечном сечении находится нейтральная линия подставим значение нормальных напряжений в выражение продольной силы и изгибающего момента



Поскольку ,

;

то

(6.6)

(6.7)

Равенство (6.6) указывает, что ось – нейтральная ось сечения – проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Равенство (6.7) показывает что и - главные центральные оси сечения.

Согласно (6.5) наибольшей величины напряжения достигают в волокнах наиболее удаленных от нейтральной линии



Отношение представляет собой осевой момент сопротивления сечения относительно его центральной оси , значит



Значение для простейших поперечных сечений следующее:

Для прямоугольного поперечного сечения

, (6.8)

где - сторона сечения перпендикулярная оси ;

- сторона сечения параллельная оси ;

Для круглого поперечного сечения

, (6.9)

где - диаметр круглого поперечного сечения.

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно записать в виде

(6.10)

Все полученные формулы получены для случая чистого изгиба прямого стержня. Действие же поперечной силы приводит к тому, что гипотезы, положенные в основу выводов, теряют свою силу. Однако практика расчетов показывает, что и при поперечном изгибе балок и рам, когда в сечении кроме изгибающего момента действует еще продольная сила и поперечная сила , можно пользоваться формулами, приведенными для чистого изгиба. Погрешность при этом получается незначительной.