Шмойлова_Теория статистики. Московская финансовопромышленная академия
 Скачать 1.4 Mb.
|
|
Глава 5. Абсолютные, относительные и средние статистические показатели 5.1. Абсолютные показатели Исходной, первичной формой выражения статистических показателей являются показатели в абсолютном выражении или абсолютные величины. Статистические показатели в форме абсолютных величин характеризуют абсолютные размеры изучаемых статистикой процессов и явлений, а именно, их массу, площадь, объем, протяженность, отражают их временные характеристики, а также могут представлять объем совокупности, т.е. число составляющих ее единиц. Индивидуальные абсолютные показатели, как правило, получают непосредственно в процессе статистического наблюдения как результат замера, взвешивания, подсчета и оценки интересующего количественного признака. В ряде случаев индивидуальные абсолютные показатели имеют разностный характер: разность между численностью работников предприятия на конец и на начало года, разность между выручкой от реализации предприятия и общей суммой затрат и т.п. Сводные абсолютные показатели, характеризующие объем признака или объем совокупности как в целом по изучаемому объекту, так и по какой-либо его части, получают в результате сводки и группировки индивидуальных значений. К таким показателям относятся общая численность занятых в отрасли, совокупные активы коммерческих банков региона и т.п. Абсолютные статистические показатели всегда являются именованными числами. В зависимости от социально-экономической сущности исследуемых явлений, их физических свойств они выражаются в натуральных, стоимостных или трудовых единицах измерения. В международной практике используются такие натуральные единицы измерения как тонны, килограммы, квадратные, кубические и простые метры, мили, километры, галлоны, литры, штуки и т.д. Например, производство электроэнергии в России в 2003 г. составило 915 млрд. кВт ⋅ч, за этот же год добыто 408 млн. т нефти и 620 млрд. куб. м газа. В группу натуральных также входят условно-натуральные измерители, используемые в тех случаях, когда какой-либо продукт имеет несколько разновидностей и общий объем можно определить только исходя из общего для всех разновидностей потребительского свойства. Так, различные виды органического топлива переводятся в условное топливо с теплотой сгорания 29,3 МДж/кг (7000 ккал/кг), мыло разных сортов - в условное мыло с 40%-ным содержанием жирных кислот, консервы различного объема - в условные консервные банки объемом 353,4 куб.см и т.д. Перевод в условные единицы измерения осуществляется на основе специальных коэффициентов, рассчитываемых как отношение потребительских свойств отдельных разновидностей продукта к эталонному значению. Так, например, 100 т торфа, теплота сгорания которого - 24 МДж/кг, будут эквивалентны 81,9 т условного топлива (100 * 24,0/29,3), а 100 т нефти при теплоте сгорания 45 МДж/кг будут оцениваться в 153,6 т условного топлива (100 * 45,0/29,3). В отдельных случаях для характеристики какого-либо явления или процесса одной единицы измерения недостаточно, и используется произведение двух единиц. Примером этому могут служить такие показатели как грузооборот и пассажирооборот, оцениваемые соответственно в тонно-километрах и пассажиро-километрах, производство электроэнергии, измеряемое в киловатт-часах и т.д. В условиях рыночной экономики наибольшее значение и применение имеют стоимостные единицы измерения, позволяющие получить денежную оценку социально-экономических явлений и процессов. Так, одним из важнейших стоимостных показателей в системе национальных счетов, характеризующим общий уровень развития экономики страны, является валовой внутренний продукт, который в России за 1 квартал 2003 года составил 2893 млрд. рублей. При анализе и сопоставлении стоимостных показателей необходимо иметь в виду, что в условиях высоких или относительно высоких темпов инфляции они становятся несопоставимыми. Так, сравнивать ВВП России за 2003 год с его величиной, например, за 1993 год вряд ли целесообразно, так как содержание рубля за этот период существенно изменилось. Для того, чтобы произвести подобные сравнения, там где это возможно, осуществляют пересчет в сопоставимые цены. К трудовым единицам измерения, позволяющим учитывать как общие затраты труда на предприятии, так и трудоемкость отдельных операций технологического процесса, относятся человеко-дни и человеко-часы. 5.2. Относительные показатели Относительный показатель представляет собой результат деления одного абсолютного показателя на другой и выражает соотношение между количественными характеристиками социально-экономических процессов и явлений. Поэтому, по отношению к абсолютным показателям, относительные показатели или показатели в форме относительных величин являются производными, вторичными. Без относительных показателей невозможно измерить интенсивность развития изучаемого явления во времени, оценить уровень развития одного явления на фоне других взаимосвязанных с ним явлений, осуществить пространственно-территориальные сравнения, в том числе и на международном уровне. При расчете относительного показателя абсолютный показатель, находящийся в числителе получаемого отношения, называется текущим или сравниваемым. Показатель же, с которым производится сравнение и который находится в знаменателе, называется основанием или базой сравнения. Таким образом, рассчитываемая относительная величина показывает, во сколько раз сравниваемый абсолютный показатель больше базисного, или какую составляет от него долю, или сколько единиц первого приходится на 1, 100, 1000 и т. д. единиц второго. Относительные показатели могут выражаться в коэффициентах, процентах, промилле, продецимилле или быть именованными числами. Если база сравнения принимается за 1, то относительный показатель выражается в коэффициентах, если база принимается за 100, 1000 или 10000, то относительный показатель соответственно выражается в процентах (%), промилле ( o oo ) и продецимилле ( o ooo ). Относительный показатель, полученный в результате соотнесения разноименных абсолютных показателей, в большинстве случаев должен быть именованным. Его наименование представляет собой сочетание наименований сравниваемого и базисного показателей (например, производство какой-либо продукции в соответствующих единицах измерения в расчете на душу населения). Все используемые на практике относительные статистические показатели можно подразделить на следующие виды: 1) динамики; 2) плана; 3) реализации плана; 4) структуры; 5) координации; 6) интенсивности и уровня экономического развития; 7) сравнения. Относительный показатель динамики (ОПД) представляет собой отношение уровня исследуемого процесса или явления за данный период времени (по состоянию на данный момент времени) к уровню этого же процесса или явления в прошлом: уровень базовый или ющий Предшеству уровень Текущий ОПД = Рассчитанная. таким образом величина показывает, во сколько раз текущий уровень превышает предшествующий (базисный) или какую долю от последнего составляет. Данный показатель может быть выражен кратным отношением или переведен в проценты. Различают относительные показатели динамики с постоянной и переменной базой сравнения. Если сравнение осуществляется с одним и тем же базисным уровнем, например, первым годом рассматриваемого периода, получают относительные показатели динамики с постоянной базой (базисные). При расчете относительных показателей динамики с переменной базой (цепных) сравнение осуществляется с предшествующим уровнем, т.е. основание относительной величины последовательно меняется. Для примера воспользуемся данными таблицы 5.1. Таблица 5.1. Производство легковых автомобилей в РФ в 2000 – 2003гг. (тыс. шт.) Год 2000 2001 2002 2003 Объем производства 969 1022 981 1011 Рассчитаем относительные показатели динамики с переменной и постоянной базой сравнения: переменная база сравнения постоянная база сравнения (цепные показатели) (базисные показатели) % 5 , 105 % 100 969 1022 = ⋅ % 5 , 105 % 100 969 1022 = ⋅ % 0 , 96 % 100 1022 981 = ⋅ % 2 , 101 % 100 969 981 = ⋅ % 1 , 103 % 100 981 1011 = ⋅ % 4 , 104 % 100 969 1011 = ⋅ Относительные показатели динамики с переменной и постоянной базой сравнения взаимосвязаны между собой следующим образом: произведение всех относительных показателей с переменной базой равно относительному показателю с постоянной базой за исследуемый период. Так, для рассчитанных показателей (предварительно переведя их из процентов в коэффициенты) получим: 044 , 1 031 , 1 960 , 0 055 , 1 = ⋅ ⋅ Относительные показатели плана и реализации плана. Все субъекты финансово-хозяйственной деятельности, от небольших индивидуальных частных предприятий и до крупных корпораций, в той или иной степени осуществляют как оперативное, так и стратегическое планирование, а также сравнивают реально достигнутые результаты с ранее намеченными. Для этой цели используются относительные показатели плана (ОПП) и реализации плана (ОПРП): периоде м - i в й достигнуты Уровень, период 1) (i на й планируемы Уровень, ОПП + = период 1) (i на й планируемы Уровень, периоде 1) (i в й достигнуты Уровень, ОПРП + + = Первый из этих показателей характеризует относительную высоту планового уровня, т.е. во сколько раз намечаемый объемный показатель превысит достигнутый уровень или сколько процентов от этого уровня составит. Второй показатель отражает фактический объем производства или реализации в процентах или коэффициентах по сравнению с плановым уровнем. Предположим, оборот торговой фирмы в 2002 г. составил 3,0 млн.руб. Исходя из проведенного анализа складывающихся на рынке тенденций руководство фирмы считает реальным в следующем году довести оборот до 3,6 млн.руб. В этом случае относительный показатель плана, представляющий собой отношение планируемой величины к фактически достигнутой, составит 120% %) 100 0 , 3 6 , 3 ( ⋅ . Предположим теперь, что фактический оборот фирмы за 2003 г. составил 3,8 млн. руб. Тогда относительный показатель реализации плана, определяемый как отношение фактически достигнутой величины к ранее запланированной, составит 105,6% %) 100 6 , 3 8 , 3 ( ⋅ Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь: ОПП ⋅ ОПРП = ОПД В нашем примере: 267 , 1 056 , 1 20 , 1 = ⋅ или 267 , 1 0 , 3 8 , 3 = Основываясь на этой взаимосвязи по любым двум известным величинам при необходимости всегда можно определить третью неизвестную величину. Относительный показатель структуры представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого: целом в ти совокупнос всей по Показатель ти совокупнос часть зующий характери , Показатель ОПС = Выражается относительный показатель структуры в долях единицы или в процентах. Рассчитанные величины, соответственно называемые долями или удельными весами, показывают, какой долей обладает или какой удельный вес имеет та или иная часть в общем итоге. Рассмотрим структуру валового внутреннего продукта РФ в 1 квартале 2003г. (табл. 5.2.): Таблица 5.2. Структура валового внутреннего продукта РФ в 1 квартале 2003г. Объем млрд.руб. % к итогу ВВП - всего в том числе: - производство товаров - производство услуг - чистые налоги на продукты 2893 917 1635 341 100 31,7 56,5 11,8 Рассчитанные в последней графе данной таблицы проценты представляют собой относительные показатели структуры (в данном случае - удельные веса). Сумма всех удельных весов всегда должна быть строго равна 100% или 1. Относительный показатель координации представляет собой отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности: сравнения базы качестве в выбранную ти, совокупнос часть зующий характери , Показатель ти совокупнос часть ую - i зующий характери , Показатель ОПК = При этом в качестве базы сравнения выбирается та часть, которая имеет наибольший удельный вес или является приоритетной с экономической, социальной или какой-либо другой точки зрения. В результате получают, во сколько раз данная часть больше базисной или сколько процентов от нее составляет, или сколько единиц данной структурной части приходится на 1 единицу (иногда - на 100, 1000 и т.д. единиц) базисной структурной части. Так, на основе данных приведенной выше таблицы 3.2 мы можем вычислить, что на каждый рубль произведенных товаров приходится 1,8 руб. произведенных услуг ) 917 1635 ( и 0,4 руб. чистых налогов на продукты ) 917 341 ( Относительный показатель интенсивности характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления и представляет собой отношение исследуемого показателя к размеру присущей ему среды: А явления ниния распростра среду зующий характери , Показатель А явление зующий характери , Показатель ОПИ = Данный показатель получают сопоставлением уровней двух взаимосвязанных в своем развитии явлений. Поэтому, наиболее часто он представляет собой именованную величину, но может быть выражен и в процентах, промилле, продецимилле. Обычно относительный показатель интенсивности рассчитывается в тех случаях, когда абсолютная величина оказывается недостаточной для формулировки обоснованных выводов о масштабах явления, его размерах, насыщенности, плотности распространения. Так, например, для определения уровня обеспеченности населения легковыми автомобилями рассчитывается число автомашин, приходящихся на 100 семей, для определения плотности населения рассчитывается число людей, приходящихся на 1 кв.км. Так, по данным социальной статистики на конец 2003 г. общая численность безработных в РФ составляла 6,1 млн. чел., а экономически активное население – 70,9 млн. чел. Отсюда следует, что уровень безработицы составлял 8,6% %) 100 9 , 70 1 , 6 ( ⋅ Разновидностью относительных показателей интенсивности являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчете на душу населения и играющие важную роль в оценке развития экономики государства или региона. Так как объемные показатели производства продукции по своей природе являются интервальными, а показатель численности населения - моментным, в расчетах используют среднюю за период численность населения (предположим, среднегодовую). Например, рассматривая лишь абсолютный размер ВВП России в 1 квартале 2003 года (2893 млрд. руб.), трудно оценить или "почувствовать" эту величину. Для того, чтобы на основе данной цифры сделать вывод об уровне развития экономики, необходимо сопоставить ее со среднеквартальной численностью населения страны (145,2 млн.чел), которая в простейшем случае рассчитывается как полусумма численности населения на начало и на конец квартала. В результате квартальный размер ВВП на душу населения составит 19,9 тыс. руб. 2 , 145 2893000 чел млн руб млн Относительный показатель сравнения представляет собой соотношение одноименных абсолютных показателей, характеризующих разные объекты (предприятия, фирмы, районы, области, страны и т.п.): В объект зующий характери , Показатель А объект зующий характери , Показатель ОПС = Для выражения данного показателя могут использоваться как коэффициенты, так и проценты. Например, согласно официальным статистическим данным, инвестиции в основной капитал в РФ в 2002 г. за счет средств федерального бюджета составили 81,6 млрд.руб., бюджетов субъектов Федерации и местных бюджетов – 184,5 млрд. руб., средств предприятий – 653,1 млрд.руб. Таким образом можно сделать вывод, что инвестиции за счет средств предприятий в 8 раз превышали инвестиции из средств федерального бюджета и в 3,5 раза превышали инвестиции из бюджетов субъектов Федерации и местных бюджетов. 5.3. Средние показатели Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимым инструментом анализа явлений и процессов в экономике. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные. Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам. Типичность средней непосредственным образом связана с однородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех предприятий, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокупность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна - общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам. Категорию средней можно раскрыть через понятие ее определяющего свойства. Согласно этому понятию средняя, являясь обобщающей характеристикой всей совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Эту величину можно представить в виде функции: f (х1, х2, ..., хn) (5.1.) Так как данная величина, в большинстве случаев, отражает реальную экономическую категорию, понятие определяющего свойства средней иногда заменяют понятием определяющего показателя. Если в приведенной выше функции все величины х1, х2, ..., хn заменить их средней величиной х , то значение этой функции должно остаться прежним: f (х1, х2, ..., хn)= f(х, х, ..., х) (5.2.) Исходя из данного равенства и определяется средняя. На практике определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу: ИСС Суммарное зна ение или объем осредняемого признака Число единиц или объем совокупности Ч = Так, например, для расчета средней заработной платы работников предприятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на число работников: ИСС Фонд заработной платы (тыс. руб.) Число работников ( ел) Ч = Числитель исходного соотношения средней представляет собой определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Независимо от того, какой первичной информацией мы располагаем - известен ли нам общий фонд заработной платы или заработная плата и численность работников, занятых на отдельных должностях, или какие- либо другие исходные данные - в любом случае среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней. Для каждого показателя, используемого в экономическом анализе, можно составить только одно истинное исходное соотношение для расчета средней. Если, например, требуется рассчитать средний размер вклада в банке, то исходное соотношение будет следующим: ИСС Сумма всех вкладов (тыс. руб.) Число вкладов = Если же необходимо определить среднюю процентную ставку по кредитам, выданным на один и тот же срок, то потребуется следующее исходное соотношение: ИСС Общая сумма выплат по процентам (из рас ета за год , тыс. руб.) Общая сумма предоставленных кредитов (тыс. руб.) Ч = Однако от того, в каком виде представлены исходные данные для расчета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализации исходного соотношения потребуется одна из следующих форм средней величины: • средняя арифметическая, • средняя гармоническая, • средняя геометрическая, • средняя квадратическая, кубическая и т.д. Перечисленные средние объединяются в общей формуле средней степенной (при различной величине k): k i i k i f f x x ∑ ∑ = i= 1, n где х i - i-ый вариант осредняемого признака (i= 1, n ) f i - вес i-го варианта. Помимо степенных средних в экономической практике также используются средние структурные, среди которых наиболее распространены мода и медиана. При осреднении уровней динамических рядов применяются различные виды средней хронологической. Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной. Эта форма средней используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным. Предположим, шесть торговых предприятий фирмы имеют следующий объем товарооборота за месяц: Торговое предприятие 1 2 3 4 5 6 Товарооборот (млн.руб.) 25 18 27 32 15 21 Для того, чтобы определить средний месячный товарооборот в расчете на одно предприятие, необходимо воспользоваться следующим исходным соотношением: ИСС = Общий объем товарооборота (млн.руб.) Число торговых центров Используя приведенные в предыдущем параграфе условные обозначения, запишем формулу данной средней: х х х ... х n х n 1 2 n i = + + + = ∑ (5.3.) С учетом имеющихся данных получим: 23 6 21 15 32 27 18 25 = + + + + + = х млн.руб. В данном случае мы использовали формулу средней арифметической простой (невзвешенной). Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по несколько раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными. Рассмотрим следующий условный пример: Таблица 5.3. Сделки по акциям эмитента «Х» за торговую сессию Сделка Количество проданных акций, шт. Курс продажи, руб. 1 2 3 700 200 950 420 440 410 Определим по данному дискретному вариационному ряду средний курс продажи 1 акции, что можно сделать, только используя следующее исходное соотношение: ИСС = Общая сумма сделок (руб.) Коли ество проданных акций (шт.) Ч Чтобы получить общую сумму сделок необходимо по каждой сделке курс продажи умножить на количество проданных акций и полученные произведения сложить. В конечном итоге мы будем иметь следующий результат: 03 , 417 1850 771500 950 200 700 950 410 200 440 700 420 х = = + + × + × + × = руб. Расчет среднего курса продажи произведен по формуле средней арифметической взвешенной: х х f f i i i = ∑ ∑ (5.4.) В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Так, в приведенном выше примере количество проданных в ходе каждой сделки акций соответственно составляет 37,8% (0,378); 10,8% (0,108) и 51,4% (0,514) от их общего числа. Тогда, с учетом несложного преобразования формулы (5.4.) получим: ) ( ∑ ∑ = i f i i f x x (5.5.) или 3 0 , 417 514 , 0 410 108 , 0 440 378 , 0 420 х = × + × + × = руб. На практике наиболее часто встречаемая при расчете средних ошибка заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда эти веса в действительности необходимы. Предположим, имеются следующие данные: Таблица 5.4. Себестоимость продукции «Z» Предприятие Себестоимость единицы продукции, руб. 1 2 37 39 Можно ли по имеющимся данным определить среднюю себестоимость данной продукции по двум предприятиям, вместе взятым? Можно, но только в том случае, когда объемы производства данной продукции на двух предприятиях совпадают. Тогда средняя себестоимость составит 38,0 руб. (доказательство этого правила будет приведено ниже.). Однако на первом предприятии за рассматриваемый период может быть произведено, к примеру, 50 единиц продукции, а на втором - 700 единиц. Тогда для расчета средней себестоимости потребуется уже средняя арифметическая взвешенная: руб. 9 , 38 700 50 700 39 50 37 х = + × + × = Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство. При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмотрим следующий пример: Таблица 5.5. Распределение сотрудников предприятия по возрасту Возраст (лет) Число сотрудников (чел.) до 25 25 - 30 30 - 40 40 - 50 50 - 60 60 и более 8 32 68 49 21 3 Итого: 181 Для определения среднего возраста персонала найдем середины возрастных интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравниваются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут следующими: 22, 5 27,5 35,0 45,0 55,0 65,0 Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний возраст работников данного предприятия: 38,6 = 3 + 21 + 49 + 68 + 32 + 8 3 65 + 21 55 + 49 45 + 8 6 35 + 32 27,5 + 8 22,5 = х × × × × × × года. Свойства средней арифметической . Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства: 1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты: ∑ ∑ = i i i f x f x (5.6.) Действительно, если мы обратимся к приведенному выше примеру расчета среднего курса продажи акций (табл. 5.1.), то получим следующее равенство (за счет округления среднего курса правая и левая части равенства в данном случае будут несколько отличаться): 417,03 ×1850=420×700+440×200+410×950 2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю: (5.7.) Для нашего примера: (420-417,03) ×700+(440-417,03)×200+(410-417,03)×950 ≈ 0 Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему: 3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С: (5.8.) Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину или На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при С = х : 1 , где к определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию). 4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину: (5.9.) Так, если все курсы продажи акций увеличить на 15 руб., то средний курс также увеличится на 15 руб.: 432,03 15 417,03 = 1850 950 425 + 00 2 455 + 00 7 435 = x = + × × × руб. 5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз: x A f f = 1 A x f f = 1 A x i i i i i i ∑ ∑ ∑ ∑ (5.10.) 1 При С=0 получают начальные моменты (начальный момент 1-го порядка - средняя арифметическая и т.д.). Предположим, курс продажи в каждом случае возрастет в 2 раза. Тогда и средний курс также увеличится на 100%: 834,06 = 2 417,03 = 1850 950 2 410 + 200 2 440 + 00 7 2 420 = x × × × × × × × руб. 6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится: x f A f A = 1 A x f 1 A f = x i i i i i i ∑ ∑ ∑ ∑ (5.11.) Так, в нашем примере удобнее было бы рассчитывать среднюю, предварительно поделив все веса на 100: 03 , 417 5 , 18 7715 5 , 9 2 7 5 , 9 410 2 440 7 420 х = = + + × + × + × = руб. Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между собой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической невзвешенной приведут к одному и тому же результату. Кроме средней арифметической при расчете статистических показателей могут использоваться и другие виды средних. Однако, в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения. Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его знаменатель. Рассмотрим расчет средней урожайности, являющейся одним из основных показателей эффективности производства в агробизнесе: Таблица 5.6. Валовой сбор и урожайность сельскохозяйственной культуры «Y» по районам области Район Валовый сбор, тыс. тонн Урожайность, ц/га А Б В Г Д 36 53 29 78 20 13 9 15 8 17 Средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры в среднем по нескольким территориям, агрофирмам, фермерским хозяйствам и т.п. может быть определена только на основе следующего исходного соотношения: ИСС = Общий валовой сбор (тыс. ц.) Общая посевная площадь (тыс. га ) Общий валовой сбор мы получим простым суммированием валового сбора по районам. Данные же о посевной площади отсутствуют, но их можно получить, разделив валовой сбор по каждого района на урожайность. С учетом этого определим искомую среднюю, предварительно переведя для сопоставимости тонны в центнеры: ц/га 0 , 10 2 , 215 2160 17 200 8 780 15 290 9 530 13 360 200 780 290 530 360 x = = + + + + + + + + = Таким образом, общая посевная площадь данной культуры в целом по области составляла 215,2 тыс.га, а средняя урожайность - 10,0 ц с одного гектара. В данном случае расчет произведен по формуле средней гармонической взвешенной: x w w x i i i = ∑ ∑ , где wi=xifi (5.12.) Данная формула используется для расчета средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда известны индивидуальные значения признака и веса W за ряд временных интервалов. Средняя гармоническая невзвешенная . Эта форма средней, используемая значительно реже, имеет следующий вид: x n x i = ∑ 1 (5.13.) Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в фирме, специализирующейся на торговле по почте на основе предварительных заказов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 5 мин., второй - 15 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна? На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осреднении индивидуальных значений затрат времени на 1 заказ, т.е. (5+15):2=10, мин. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обрабатывает 12 заказов (60:5), второй - 4 заказа (60:15), что в сумме составляет 16 заказов. Если же заменить индивидуальные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится: 12 = 10 60 + 10 60 заказов. Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов: 7,5 = 0,067 + 0,200 2 = 15 1 + 5 1 1 + 1 = 15 60 + 5 60 60 + 60 = x мин. Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится: 16 = 7,5 60 + 7,5 60 заказов. Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения wi для единиц совокупности равны (в рассмотренном примере рабочий день у сотрудников одинаковый). Средняя геометрическая . Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая: x = x x x ... x = Пx 1 2 3 к к i к ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ - невзвешенная (5.14.) x = x x x ... x = Пx 1 m 2 m 3 m к m m i m m 1 2 3 к i ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∑ ∑ - взвешенная Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста, что будет рассмотрено в соответствующей главе. Средняя квадратическая . В основе вычислений ряда сводных расчетных показателей лежит средняя квадратическая: n x x 2 i ∑ = - невзвешенная (5.15.) ∑ ∑ = i i 2 i f f x x - взвешенная Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации. В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го порядка и более высоких порядков. 5.4.Структурные средние Наиболее часто используемыми в экономической практике структурными средними являются мода и медиана. Мода представляет собой значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медианой называется значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины: ∑ = − min M x e i Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным Предположим, что 9 торговых фирм города реализуют товар А по следующим оптовым ценам (тыс.руб.). 4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6 Так как чаще всего встречается цена 4,3 тыс.руб., то она и будет модальной. Для определения медианы необходимо провести ранжирование: 4,2 4,3 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 4,6 4,6 Центральной в этом ряду является цена 4,4 тыс.руб., следовательно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений. Если мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака, то медиана практически выполняет функции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормальном закону распределения совокупности. Она также используется в тех случаях, когда средняя не позволяет объективно оценить исследуемую совокупность вследствие сильного влияния максимальных и минимальных значений. Проиллюстрируем познавательное значение медианы следующим примером. Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохода группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 имеют доходы в интервале от 100 до 1000 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 50000 долл.: № п/п 1 2 3 4 ... 50 51 ... 99 100 Доход 100 104 104 107 ... 162 164 ... 200 50000 (долл.) Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 600-700 долл., который не только в несколько раз меньше дохода 100-го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 163 долл., позволит дать объективную характеристику уровня доходов 99% данной совокупности людей. Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным данным (рядам распределения). Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид: Цена, руб. Число торговых предприятий 52 12 53 48 54 56 55 60 56 14 Всего 190 Определение моды по дискретному вариационному ряду не составляет большого труда - наибольшую частоту (60 предп.) имеет цена 55 руб., следовательно она и является модальной. Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда: N me = + n 1 2 (5.16) где n - объем совокупности. В нашем случае N me = + = 190 1 2 95 5 , Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 предприятиями. Необходимо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 торговых предприятий, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-ое и 96-ое предприятия находятся в третьей группе (12+48+56=116) и, следовательно, медианой является цена 54 руб. В отличие от дискретных вариационных рядов определение моды и медианы по интервальным рядам требует проведения определенных расчетов на основе следующих формул : М х i (f f ) (f f ) (f f ) о о M M 1 M M 1 M M 1 o o o o o o = + × − − + − − − + (5.17) где Хо - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); i - величина модального интервала; fМо - частота модального интервала; fМо-1 - частота интервала, предшествующего модальному; fМо+1 - частота интервала, следующего за модальным. и e 1 e M M i 0 e f s f 2 1 i x M ∑ − − × + = (5.18) где Хо - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); i - величина медианного интервала: Sme-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; fMe - частота медианного интервала. Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные таблицы 5.7. Информация, подобная представленной в этой таблице, необходима для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и, в конечном итоге, для выбора того или иного метода ценообразования и обоснования окончательной цены на товар. Таблица 5.7. Распределение населения региона по уровню среднедушевого денежного дохода Среднедушевой денежный доход (в среднем за месяц), руб. Удельный вес населения, % 400 и менее 2,4 400 - 500 15,4 500 - 600 20,1 600 -700 17,2 700 - 800 12,8 800 - 900 9,2 900 - 1000 6,5 1000 - 1100 4,5 1100 - 1200 3,2 1200 - 1300 2,3 свыше 1300 6,4 Всего 100,0 Интервал с границами 500 - 600 в данном распределении будет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Использую формулу (5.17), определим моду: руб. 562 17,2) (20,1 15,4) (20,1 15,4 20,1 100 00 5 М 0 = − + − − × + = Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем случае - 50%): Интервал Накопленная частота, % 400 и менее 2,4 400 - 500 17,8 500 - 600 37,9 600 - 700 55,1 Мы определили, что медианным является интервал с границами 600 - 700. Определим медиану: руб. 670 17,2 37,9 50,0 100 00 M e = − × + = 6 Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию. Если Мо - имеет место правосторонняя асимметрия, при Х 560 руб. в месяц. В то же время, более половины населения располагает доходом свыше 670 руб. при среднем уровне 735 руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих показателей следует вывод о правосторонней асимметрии распределения населения по уровню среднедушевых денежных доходов, что позволяет предполагать о достаточной емкости рынка дорогих товаров повышенного качества и товаров престижной группы. |