Шмойлова_Теория статистики. Московская финансовопромышленная академия
 Скачать 1.4 Mb.
|
|
Глава 9. Статистическое изучение динамики социально- экономических явлений 9.1. Понятие о рядах динамики и их виды Процессы и явления социально-экономической жизни общества, являющиеся предметом изучения статистики, находятся в постоянном движении и изменении. Для того, чтобы выявить тенденции и закономерности социально-экономического развития явлений, статистика строит особые ряды статистических показателей, которые называются рядами динамики (иногда их называют временными рядами), то есть – это ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. В англоязычной литературе для временных рядов используется термин “time series”. Ряды динамики получаются в результате сводки и обработки материалов периодического статистического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных показателей в ходе статистической сводки (гл.2) систематизируются в хронологической последовательности. Значения показателя, составляющие ряд динамики, называются уровнями ряда Каждый ряд динамики характеризуется двумя параметрами: значениями времени и соответствующими им значениями уровней ряда. Уровни ряда обычно обозначаются “yt”: y1, y2 и т.д. В качестве показателя времени в рядах динамики могут указываться отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, годы и т.д.) времени или определенные моменты (даты). Время в рядах динамики обозначается через “t”. Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графически. Ряды динамики могут быть классифицированы по следующим признакам: • В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. При этом ряды динамики абсолютных величин рассматриваются как исходные, а ряды относительных и средних величин - как производные. Ряды динамики абсолютных величин наиболее полно характеризуют развитие процесса или явления, например, грузооборота транспорта, инвестиций в основной капитал, добычи топлива, уставного капитала коммерческих банков и т.д. Ряды относительных величин могут характеризовать во времени темпы роста (или снижения) определенного показателя; изменение удельного веса того или иного показателя в совокупности или изменение показателей интенсивности отдельных явлений, например, удельного веса приватизированных предприятий в той или иной отрасли; производства продукции на душу населения; структуры инвестиций в основной капитал по отраслям экономики, индекса потребительских цен и т.д. Ряды динамики средних величин служат для характеристики изменения уровня явления, отнесенного к единице совокупности, например: данные о среднегодовой численности занятых в экономике; о средней урожайности отдельных сельскохозяйственных культур, о средней заработной плате в отдельных отраслях и т.д. • В зависимости от характера временного параметра ряды динамики делятся на моментные и интервальные Уровни моментных рядов динамики характеризуют явление по состоянию на определенный момент времени. Пример. Моментный ряд динамики, характеризующий численность персонала строительной фирмы на 1-е число каждого месяца за первое полугодие 2004 г., представлен в таблице 9.1. Таблица 9.1. Дата 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 Численность персонала, чел. 780 810 880 930 940 970 Следует помнить, что моментные ряды абсолютных величин нельзя суммировать. Бессмысленно, например, складывать численность персонала по состоянию на 1 января, 1 февраля и т.д. Полученная сумма ничего не выражает, так как в ней многократно повторяются одни и те же единицы совокупности. Ряд, в котором уровни характеризуют результат, накопленный или вновь произведенный за определенный интервал времени, называется интервальным Пример. Интервальный ряд динамики, характеризующий динамику объема розничного товарооборота во всех каналах реализации в регионе, представлен в таблице 9.2. Таблица 9.2. Годы 2000 2001 2002 2003 2004 Товарооборот, млн.руб. 28,3 31,9 38,3 42,3 45,2 Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда вполне реальный показатель, например, общий объем розничного товарооборота за 2000- 2004 г.г. • В зависимости от расстояния между уровнями, ряды динамики подразделяются на ряды с равноотстоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями во времени. Ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих через определенные промежутки дат называются равноотстоящими (табл. 9.1 и табл. 9.2). Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются не равноотстоящими (табл. 9.3). Пример . Рядом динамики с не равноотстоящими уровнями во времени может служить объем экспорта продукции предприятия, представленный в таблице 9.3. Таблица 9.3. Годы 1993 1996 1998 2000 2004 Объем экспорта, млн.долл. 1110 1220 1320 1450 1640 • По числу показателей можно выделить изолированные (одномерные) и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя ряда, то ряд динамики изолированный (например, данные о производстве газа по годам). В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление. 9.2. Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики Важнейшим условием правильного построения рядов динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета. Рассмотрим основные причины несопоставимости уровней ряда динамики. Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменения единиц измерения и единиц счета. Нельзя сравнивать и анализировать цифры о производстве тканей, если за одни годы оно дано в погонных метрах, а за другие – в квадратных метрах. На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методология учета или расчета показателей. Например, если в одни годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие – с убранной, то такие уровни будут несопоставимы. В процессе развития во времени, прежде всего, происходят количественные изменения явлений, а затем на определенных ступенях совершаются качественные скачки, приводящие к изменению закономерностей явления. Поэтому научный подход к изучению рядов динамики заключается в том, чтобы ряды, охватывающие большие периоды времени, разделять на такие, которые бы объединяли лишь однокачественные периоды развития совокупности, характеризующейся одной закономерностью развития. Процесс выделения однородных этапов развития рядов динамики носит название периодизации динамики. Вопрос о том, какие этапы развития прошло то или иное явление за определенный исторический отрезок времени, решается теорией той науки, к области которой относится изучаемая совокупность явлений. Важно также, чтобы в ряду динамики интервалы или моменты , по которым определены уровни, имели одинаковый экономический смысл . Скажем, при изучении роста поголовья скота бессмысленно сравнивать цифры поголовья по состоянию на 1 октября с данными 1 января, так как первая цифра включает не только скот, оставшийся на зимовку, но и предназначенный к убою, а вторая цифра включает только скот, оставленный на зимовку. Уровни ряда динамики могут оказаться несопоставимыми по кругу охватываемых объектов вследствие перехода ряда объектов из одного подчинения в другое. Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменений территориальных границ областей, районов и так далее. Следовательно, прежде чем анализировать динамический ряд, надо, исходя из цели исследования, убедиться в сопоставимости уровней ряда и, если последняя отсутствует, добиться ее дополнительными расчетами. Для того, чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который носит название смыкание рядов динамики . Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых являются несопоставимыми. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах). Пример. Предположим, что в N-ом регионе имеются данные об общем объеме оборота розничной торговли за 1999-2001гг. в фактически действующих ценах, а за 2001-2004гг. – в сопоставимых ценах (табл. 9.4.). Таблица 9.4. Динамика общего объема оборота розничной торговли Годы 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Оборот розничной торговли, млрд. руб. (в фактически действующих ценах) 19,7 20 21,2 - - - Оборот розничной торговли, млрд. руб. (в сопоставимых ценах) - - 22,8 24,6 25,2 26,1 Сомкнутый ряд абсолютных величин (в сопоставимых ценах; млрд. руб.) 21,3 21,5 22,8 24,6 25,2 26,1 Сопоставимый ряд относительных величин (в % к 2001 г.) 92,9 94,3 100 107,9 110,5 114,5 Решение . Чтобы проанализировать динамику общего объема розничной торговли за 1999-2004 гг., необходимо сомкнуть (объединить) приведенные выше два ряда в один. А чтобы уровни нового ряда были сопоставимы, необходимо пересчитать данные 1999- 2001 гг. в сопоставимые цены. Для этого на основе данных об объеме розничной торговли за 2001 г. в фактических и сопоставимых ценах находим соотношение между ними: 22,8:21,2 = 1,08. Умножая на полученный коэффициент данные за 1999-2001 гг., приводим их, таким образом, к сопоставимому виду с последующими уровнями. Сомкнутый (сопоставимый) ряд динамики показан в предпоследней строке таблицы 9.4. Другой способ смыкания рядов заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере – уровни 2001 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера – в фактических и сопоставимых ценах, т.е. 21,2 и 22,8) принимаются за 100%, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере в фактических ценах – по отношению к 21,2, в сопоставимых ценах – к 22,8). В результате получаем сомкнутый ряд динамики, который показан в последней строке таблицы 9.4. Та же проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, административных и территориальных районов. Это, во-первых, вопрос о сопоставимости цен сравниваемых стран, во-вторых, вопрос о сопоставимости методики расчета сравниваемых показателей. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному основанию , то есть к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все остальные уровни выражаются в виде коэффициентов или в процентах по отношению к нему. 9.3. Аналитические показатели ряда динамики На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяется ряд основных аналитических показателей. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым происходит сравнение – базисным. Абсолютный прирост (∆) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста. В общем случае абсолютный прирост может быть представлен в виде: ∆i = yi – yi-k , (9.1) где yi – текущий уровень ряда динамики; i = 2,3,…,n; k = 1,2,…,n-1. При k = 1 от текущего уровня yi вычитается предыдущий уровень yi-1, и получается формула для расчета цепного абсолютного прироста: ∆ц = yi – yi-1 (9.2) При k = i-1 из формулы (9.1) вытекает выражение для базисного абсолютного прироста, определяемого относительно начального уровня ряда: ∆б = yi – y1 (9.3) Для записи формулы базисного абсолютного прироста в более общем виде уровень y1 в формуле (9.3) может быть заменен на уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения – y0: ∆б = yi – y0 (9.4) Показатель интенсивности изменения уровня ряда – в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста или темпом роста . Иными словами, коэффициент роста и темп роста представляют собой две формы выражения интенсивности изменения уровня. Разница между ними заключается только в единице измерения. Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы). Темпы роста характеризуют отношение двух сравниваемых уровней ряда в виде: 100 ⋅ = − k i i y y Tp % (9.5) где yi – текущий уровень ряда динамики; i = 2,3,…,n; k = 1,2,…,n-1. Отметим, что индекс уровня yi-k, находящийся в знаменателе, определяется так же, как и в случае абсолютного прироста. Следовательно, из выражения формулы (9.6) в зависимости от значений индекса k получаются формулы для расчета цепных и базисных темпов роста. Цепной темп роста будет равен: % 100 1 ⋅ = − i i y y Tp ц (9.6) Базисный темп роста может быть представлен в виде : % 100 1 ⋅ = y y Tp i б (9.7) где y1 – уровень ряда динамики, принятый за базу сравнения. Темп роста всегда число положительное. Если темп роста равен100%, то значение уровня не изменилось, если больше 100%, то значение уровня повысилось, а если меньше 100% - понизилось. Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в процентах темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. Темп прироста рассчитывается как отношение абсолютного прироста к уровню, принятому за базу сравнения: % 100 ⋅ − = − − k i k i i y y y Тпр (9.8) где yi – текущий уровень ряда динамики; i = 2,3,…,n; k = 1,2,…,n-1. Если темп роста всегда положительное число, то темп прироста может быть положительным, отрицательным и равным нулю. При k = 1 получаем цепной темп прироста: % 100 1 1 ⋅ − = − − i i i y y y Тпр ц (9.9) Преобразовав выражение формулы (9.9), можно показать зависимость цепного темпа прироста от соответствующего темпа роста: % 100 % 100 % 100 1 − = − ⋅ = − ц ц Tр y y Tnp i i (9.10) где Трц – цепной темп роста. Базисный темп прироста равен отношению базисного абсолютного прироста к уровню ряда, принятому за базу сравнения: % 100 1 1 ⋅ − = y y y Тпр i б (9.11) По аналогии с формулой (9.11) получаем: % 100 % 100 % 100 1 − = − ⋅ = б б Тр y y Тпр i (9.12) где Трб – базисный темп роста. Сравнение абсолютного прироста и темпа прироста за одни и те же периоды времени показывает, что в реальных экономических процессах замедление темпов прироста не всегда сопровождается уменьшением абсолютных приростов. Поэтому на практике часто проводят сопоставление этих показателей. Для этого рассчитывают абсолютное значение одного процента прироста . Оно представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время – отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста: 1 1 1 1 1 01 , 0 100 100 % % − − − − − ⋅ = = ⋅ − − = ∆ = i i i i i i i y y y y y y y у Тпр ц ц (9.13) Таким образом, базисные показатели динамики характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от периода, к которому относится базисный уровень, до данного (i-го) периода. Цепные показатели динамики характеризуют интенсивность изменения уровня от периода к периоду (или от даты к дате) в пределах изучаемого промежутка времени (рис. 9.1). Рис. 9.1. Построение цепных и базисных аналитических показателей динамики Y 0 Y 1 Y 2 Y 5 Y 4 Y 3 Пример. По данным о числе проданных квартир в N-ом регионе рассчитаем аналитические показатели ряда динамики (табл.9.5). Таблица 9.5. Динамика числа проданных квартир в N-ом регионе за 2000-2004 гг. А 1 2 3 4 5 6 7 8 2000 108 … - … 100,0 … - … 2001 107 -1 -1 99,1 99,1 -0,9 -0,9 1,08 2002 110 +3 +2 102,8 101,9 +2,8 +1,9 1,07 2003 111 +1 +3 100,9 102,8 +0,9 +2,8 1,10 Абсолютное значение одного процента прироста, тыс.ед. Годы Число проданных кваритир, тыс.ед по сравне- нию с преды- дущим годом по сравне- нию с 2000 г. Абсолютный прирост, тыс. ед. Темп роста, % Темп прироста, % по сравне- нию с преды- дущим годом по сравне- нию с 2000 г. по сравне- нию с преды- дущим годом по сравне- нию с 2000 г. Решение • Рассчитаем цепные и базисные абсолютные приросты (формулы 9.2 и 9.3): Цепные: ∆01/00 = 107-108 = -1 тыс.ед. ∆02/01 = 110-107 = +3 тыс.ед. и т.д. (см. табл. 9.5 гр.2) Базисные: ∆01/00 = 107-108 = -1 тыс.ед. ∆02/00 = 110 – 108 = +2 тыс.ед. ∆03/00 = 111-108 = +3 тыс.ед. и т.д. (см. табл. 9.5 гр.3) • Рассчитаем цепные и базисные темпы роста (формулы 9.6 и 9.7): Цепные: % 1 , 99 100 108 107 00 01 = ⋅ = Тр % 8 , 102 100 107 110 01 02 = ⋅ = Тр и т.д. (см. табл. 9.5 гр.4) Базисные: % 1 , 99 100 108 107 00 01 = ⋅ = Тр % 9 , 101 100 108 110 00 02 = ⋅ = Тр % 8 , 102 100 108 111 00 03 = ⋅ = Тр и т.д. (см. табл. 9.5 гр.5) • Рассчитаем цепные и базисные темпы прироста (формулы 9.10 и 9.12): Цепные: Тпр01/00 = 99,1% - 100% = -0,9% Тпр02/01 = 102,8% - 100% = +2,8% и т.д. (см. табл. 9.5 гр.6) Базисные: Тпр01/00 = 99,1% - 100% = -0,9% Тпр02/00 = 101,9% - 100% = +1,9% Тпр03/00 = 102,8% - 100% = +2,8% и т.д. (см. табл. 9.5 гр.7) • Рассчитаем абсолютное значение одного процента прироста (формула 9.13): |%|2001 = 108*0,01 = 1,08 тыс.ед. |%|2002 = 107*0,01 = 1,07 тыс.ед. и т.д. (см. табл. 9.5 гр.8) 9.4. Средние показатели в рядах динамики и методы их исчисления Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую совокупность m меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Для обобщения данных по рядам динамики рассчитываются: средний уровень ряда; средний абсолютный прирост; средний темп роста и прироста. Средний уровень ряда динамики ( y ) рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени. Средний уровень ряда определяется по-разному для моментных и интервальных рядов. • Для интервальных равноотстоящих рядов средней уровень находится по формуле простой средней арифметической: n y y n i i ∑ = = 1 (9.14) где n – число уровней или длина ряда. • Для интервальных неравноотстоящих рядов средний уровень находится по формуле взвешенной средней арифметической: ∑ ∑ = = = n i i n i i i t t y y 1 1 (9.15) где ti – продолжительность интервалов времени между уровнями (число периодов времени, при которых значение уровня не изменяется). Пример. В таблице 9.7. приведен интервальный ряд динамики с равноотстоящими уровнями. По этим данным можно рассчитать среднегодовой уровень числа проданных квартир за 2000-2004 гг. Он будет равен 347 тыс.ед. ( y = 1735/5), то есть в среднем ежегодно число проданных квартир в регионе за 2000-2004 гг. составило полученное значение. • Средний уровень моментного равноотстоящего ряда динамики находится по формуле средней хронологической простой: 1 2 y или 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 3 2 1 1 4 3 3 2 2 1 − + + = − + + + + + = = − + + + + + + + + = ∑ − = − − n y y y n y y y y y n y y y y y y y y y n i i n n n n n (9.16) • Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологической взвешенной: ∑ ∑ − = + − − − + = = + + + + + + + + + = 1 1 1 - n 1 = i 1 i 1 2 1 1 1 2 3 2 1 2 1 2 ) (y ) ( 2 ) ( ) ( ) ( n i i i i n n n n t t y t t t t y y t y y t y y y (9.17) где t – продолжительность интервала времени между соседними уровнями. Пример . Покажем расчет среднего уровня моментного ряда динамики с равноотстоящими уровнями по данным о численности работников фирмы на 1-е число каждого месяца 2004 г. (чел.): 1/I 1/II 1/III 1/IV 347 350 349 351 Среднемесячная численность работников фирмы за 1 квартал (по формуле 9.16) составит: чел y 349 3 1048 3 2 351 349 350 2 347 ≈ = + + + = Пример . Известна списочная численность рабочих организаций на некоторые даты 2004 г. (чел.). Ряд динамики имеет не равноотстоящие уровни во времени: 1/I 1/III 1/VI 1/IX 1/I-1995 530 570 520 430 550 Среднегодовая численность работников за 1994 г. (по формуле 9.17) составит: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) чел y 510 12 12240 4 3 3 2 2 4 550 430 3 430 520 3 520 570 2 570 530 = = + + + + + + + + + + = Обобщающим показателем абсолютной скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост за весь период, ограничивающий ряд динамики. Скоростью в данном случае будем называть прирост (уменьшение) в единицу времени. Для его определения используется формула средней арифметической простой: 1 − ∆ = ∆ ∑ n ц (9.18) Подставив в числитель выражение для цепных абсолютных приростов, получим более удобную форму записи для среднего абсолютного прироста: ( ) 1 1 1 1 2 3 1 2 − − = − − + + − + − = ∆ − n y y n y y y y y y n n n (9.19) где yn и y1 - соответственно конечный и начальный уровни ряда динамики. Пример . По данным таблицы 9.7 определим средний абсолютный прирост числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. Он будет равен 1,0 тыс.ед. [(112-108) : 4]. Сводной обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста . Он показывает, сколько в среднем процентов последующий уровень составляет от предыдущего в течение всего периода наблюдения. Средний темп (коэффициент) роста рассчитывается по формуле средней геометрической из цепных коэффициентов роста: 1 1 1 / 2 / 3 1 / 2 − − − = = n ц n n n ПК К К К Tp (9.20) Выразив цепные коэффициенты (темпы) роста через соответствующие уровни ряда, получим: % 100 % 100 1 1 1 1 3 4 2 3 1 2 ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − − − n n n n n y y y y y y y y y y Tp (9.21) Пример . По данным таблицы 9.7 рассчитаем средний темп роста числа проданных квартир за период 2000-2004 гг. по формуле 9.21: 100,9% или 009 , 1 037 , 1 009 , 1 009 , 1 028 , 1 991 , 0 4 4 = = ⋅ ⋅ ⋅ = Tp или по формуле 009 , 1 037 , 1 108 112 4 4 = = = Tp или 100,9% Когда приходится производить расчет средних темпов роста по периодам различной продолжительности (не равноотстоящие уровни), то используют среднюю геометрическую, взвешенную по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной будет иметь вид: ( ) ( ) ( ) ∑ = − − t t n n t t n К К К Tp 1 2 1 1 / 2 / 3 1 / 2 (9.22) где t – интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста. Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательных темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста. Для его вычисления необходимо сначала найти средний темп роста, а затем его уменьшить на единицу или на 100%: % 100 − = p T np T (9.23) Пример . По данным таблицы 9.7 был рассчитан средний темп роста числа проданных квартир за 2000-2004 гг. равный 100,9%, отсюда средний темп прироста будет равен: %. 9 , 0 % 100 % 9 , 100 = − = p T 9.5. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики. Под основной тенденцией развития ряда динамики понимают изменение, определяющее общее направление развития. Это - систематическая составляющая долговременного действия. В некоторых случаях общая тенденция ясно прослеживается в динамике рассматриваемого показателя, в других случаях она может не просматриваться из-за ощутимых случайных колебаний. Например, в отдельные моменты времени сильные колебания розничных цен могут заслонить наличие тенденции к росту или снижению этого показателя. Поэтому для выявления основной тенденции развития в статистике применяются 2 группы методов: • сглаживание или механическое выравнивание отдельных уровней ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней; • выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний. Рассмотрим методы каждой группы. Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни. Например, ряд недельных данных можно преобразовать в ряд помесячной динамики, ряд квартальных данных заменить годовыми уровнями. Уровни нового ряда могут быть получены путем суммирования уровней исходного ряда, либо могут представлять средние уровни. Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание ряда динамики . Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней ряда расчетными уровнями, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Метод простой скользящей средней . Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчете средних уровней они как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название – скользящая средняя Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода , если число уровней ряда динамики нечетное. Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимся в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех уровней, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвертым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних. Пример . Покажем расчет скользящей средней за 3 и 4 месяца по данным, представленным в таблице 9.6. Таблица 9.6. Динамика продажи магнитофонов в торговой сети за 2004 год Месяц Продано магнито- фонов, тыс.шт. Трех- уровневые скользящие суммы Трех- уровневые скользящие средние Четырех- уровневые скользящие суммы Четырех- уровневые скользящие средние нецентри- рованные Четырех- уровневые скользящие средние центри- рованные А 1 2 3 4 5 6 январь 23 - - - - февраль 25 - 23 - - март 21 69 24 - 24,4 апрель 26 72 25 95 24,9 май 28 75 26 100 25,8 июнь 24 78 27 99 27,0 июль 29 81 27 107 27,5 август 28 81 29 109 28,4 сентябрь 30 87 29 111 29,3 октябрь 29 87 30 116 30,1 ноябрь 31 90 31 118 - декабрь 33 93 - 123 - Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции. Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде функции времени – y = f(t). При таком подходе изменение явления связывают лишь с течением времени, считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени. Правильно построенная модель должна соответствовать характеру изменения тенденции исследуемого явления. Выбранная функция позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней ряда динамики. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды. Полиномы имеют следующий вид: полином первой степени y a a t t = + 0 1 полином второй степени y a a t a t t = + + 0 1 2 2 (9.24) полином третьей степени y a a t a t a t t = + + + 0 1 2 2 3 3 полином n-ой степени y a a t a t a t t n n = + + + + 0 1 2 2 Здесь a0; a1; a2; … an – параметры полиномов, t – условное обозначение времени. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, например, параметр a0 характеризует средние условия развития ряда динамики, параметр a1 – скорость роста, параметр a2 – ускорение роста, параметр а3 – изменение ускорения. Оценка параметров в моделях (9.24) находится методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в определении таких параметров (коэффициентов), при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной. Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения: ( ) min 2 1 → − ∑ = n t t t y y (9.25) где yt - фактическое значение уровня ряда динамики; t y - расчетное значение; n – длина ряда динамики. В результате минимизации выражения (9.25) получается система нормальных уравнений: = + + + + = + + + + = + + + + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + + p p p p p p p p p p yt t a t a t a t a yt t a t a t a t a y t a t a t a na 2 2 2 1 1 0 1 3 2 2 1 0 2 2 1 0 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L (9.26) где n - число членов в ряду динамики, t=1,2,...,n Система 9.26, состоящая из “р” уравнений, содержит в качестве известных величин y ∑ ∑ ∑ , yt,..., yt p , то есть суммы наблюдаемых значений уровней динамического ряда, умноженные на показатели времени в степени 1,2,...,р и неизвестных величин aj. Решение этой системы относительно a0, a1,...,ap и дает искомые значения параметров. Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как а0, а1, а2. Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой y a a t t = + 0 1 примет вид: na a t y a t a t yt 0 1 0 1 2 + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (9.27) для параболы второго порядка (yt=a0+a1t+a2t2): na a t a t y a t a t a t yt a t a t a t yt 0 1 2 2 0 1 2 2 3 0 2 1 3 2 4 2 + + = + + = + + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (9.28) Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины Σt, Σt2 и т.д. не зависят от конкретных уровней ряда. Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы: ( ) ∑ + = 2 1 n n t ; ( )( ) 6 1 2 1 2 + + = ∑ n n n t ; ( ) 4 1 2 2 3 + = ∑ n n t ; ( )( ) ( ) 30 1 3 3 1 2 1 2 4 − + + + = ∑ n n n n n t (суммирование по t = 1+n). Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае упрощаются сами нормальные уравнения, а так же уменьшаются абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1,2,3,...,n, то после переноса: • для нечетного числа уровней ряда t = …; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; … • для четного числа уровней ряда t = …; -5; -3; -1; 1; 3; 5; … Следовательно, Σt и все Σtp , у которых “р” − нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, содержащие Σt с такими степенями, могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой: = = ∑ ∑ ∑ ty t a y n a 2 1 0 (9.29) для параболы второго порядка: = + = = + ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ y t t a t a ty t a y t a n a 2 4 2 2 0 2 1 2 2 0 (9.30) Решая системы (9.29) и (9.30), получим величины параметров соответствующих полиномов. При сглаживании ряда динамики по показательной кривой (yt=a0a1t) для определения параметров применяется также метод наименьших квадратов, но только к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров показательной функции необходимо решить следующую систему уравнений: + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 2 1 0 1 0 lg lg lg lg lg lg t a t a n y t t a a n y (9.31) Если ∑ = 0 t , то параметры уравнения lg a0 и lg a1 находим по формулам: n y a ∑ = lg lg 0 ; ∑ ∑ = 2 1 lg lg t y t a Пример. Необходимо определить основную тенденцию ряда динамики числа проданных квартир в N-ом регионе за 2000-2004 гг. Таблица 9.7. Таблица исходных и расчетных данных Годы Число проданных квартир, тыс.ед. t t2 yt t y A 1 2 3 4 5 2000 108 -2 4 -216 107,2 2001 107 -1 1 -107 108,4 2002 110 0 0 0 109,6 2003 111 +1 1 +111 110,8 2004 112 +2 4 +224 112,0 Итого 548 0 10 +12 548,0 Первые две графы – ряд динамики, подвергаемый выравниванию, дополняются графой 2, в которой показана система отсчета времени “t”. Причем эта система выбирается таким образом, чтобы Σt = 0. В качестве функции выравнивания выбрано уравнение прямой линии: y a a t t = + 0 1 , параметры данного уравнения находим по упрощенным формулам: = = ∑ ∑ ∑ 2 1 0 t ty a n y a Затем в графах 3 и 4 проводим необходимые расчеты и находим: Σy = 548; Σyt = 12; Σt2 = 10. Отсюда 6 , 109 5 548 0 = = a ; 2 , 1 10 12 1 = = a Уравнение прямой будет иметь вид: t y = 109,6 + 1,2 t. На основе этого уравнения находятся выровненные годовые уровни путем подстановки в него соответствующих значений “t” (графа 5 таблицы 9.7). Полученное уравнение показывает, что численность проданных квартир в регионе растет в среднем на 1,2 тысяч единиц в год. Таким образом, величина параметра а1 в уравнении прямой показывает среднюю величину абсолютного прироста выровненного ряда динамики. Сумма уровней эмпирического ряда ( ∑ i y ) полностью совпала с суммой расчетных значений выровненного ряда ( ∑ е y ). Результаты произведенного аналитического выравнивания ряда динамики проданных квартир за 2000-2004 гг. и фактические данные отражены на рисунке 9.2 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 2000 2001 2002 2003 2004 годы ты с . ед ин иц y y1 Рис. 9.2. Динамика численности проданных квартир в N-ом регионе за 2000-2004 гг. 9.6. Методы выявления сезонной компоненты При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название «сезонных колебаний» или «сезонных волн», а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным , или просто сезонным рядом динамики Сезонные колебания характеризуются специальным показателями, которые называются индексами сезонности (Is). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней. Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам или кварталам. Данные за несколько лет (обычно не менее трех) берутся для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года. Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по фактическим данным без их предварительного выравнивания. Для каждого месяца определяется средняя величина уровня, например, за три года ( у i ), затем из них рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда ( у ) и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, то есть: % 100 y y I i S = (9.32) Пример . За 2002-2004гг. по месяцам имеются данные о числе зарегистрированных браков населением N-го города. Рассчитать индексы сезонности методом постоянной средней (табл. 9.8). Рассчитанные индексы сезонности характеризуют сезонную волну числа зарегистрированных браков населения во внутригодовой динамике, где пик регистрации приходится на январь месяц. Таблица 9.8. Динамика зарегистрированных браков населения N-го города за 2002-2004 гг. Зарегистрировано браков, шт. Месяцы 2002 2003 2004 В среднем за три года Индекс сезонности % январь февраль март апрель май июнь июль август сентябрь октябрь ноябрь декабрь 190 165 150 135 135 123 125 120 118 126 130 138 155 140 153 140 136 130 128 125 118 130 131 131 145 135 135 146 131 136 125 124 120 128 135 139 163,3 146,7 146,0 140,3 134,0 129,7 126,0 123,0 118,7 128,0 132,0 136,0 120,7 108,4 107,9 103,0 99,0 95,9 93,1 90,9 87,7 94,6 97,6 100,5 Средний уровень ряда 137,9 134,8 133,3 135,3 100,0 Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики. При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий: - по соответствующему полиному вычисляются для каждого месяца (квартала) выровненные уровни на момент времени (t); - вычисляются отношения фактических месячных (квартальных) данных (yi) к соответствующим выровненным данным ( y t) в процентах [ ] 100 ) : ( × = t i s y y I ; - находятся средние арифметические из процентных отношений, рассчитанных по одноименным периодам Ii=(I1+I2+I3+...+In):n, где n - число одноименных периодов. В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так: % 100 : × = ∑ n y y I t i S (9.33) Расчет заканчивается проверкой правильности вычислений индексов, так как средний индекс сезонности для всех месяцев (кварталов) должен быть 100 процентов, то сумма полученных индексов по месячным данным равна 1200, а сумма по четырем кварталам - 400. 9.7. Элементы прогнозирования и интерполяции Анализ динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования - определения будущих размеров уровня экономического явления. Процесс прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем, то есть прогноз основан на экстраполяции . Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективой, и в прошлое - ретроспективой . Обычно, говоря об экстраполяции рядов динамики, подразумевают чаще всего перспективную экстраполяцию. Первоначальные прогнозы, как правило, сводятся к экстраполяции тенденции. При этом могут использоваться разные методы, в зависимости от исходной информации. Можно выделить следующие элементарные методы экстраполяции: на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и экстраполяция на основе применения метода наименьших квадратов и представления развития явлений во времени в виде уравнения тренда, т.е. математической функции уровней ряда (y) от фактора времени (t). Прогнозирование по среднему абсолютному приросту может быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной, то есть метод основан на предположении о равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов). В этом случае, чтобы получить прогноз на “i” шагов вперед (i – период упреждения), достаточно воспользоваться следующей формулой: ∆ ⋅ + = ∧ + i y y n n 1 (9.34) где yn – фактическое значение в последней n-ой точке ряда (конечный уровень ряда); 1 + ∧ n y - прогнозная оценка значения (n+1) уровня ряда; ∆ - значение среднего абсолютного прироста, рассчитанное для ряда динамики y1; y2; y3; …; yn. Прогнозирование по среднему темпу роста можно осуществлять в случае, когда есть основание считать, что общая тенденция ряда характеризуется показательной (экспоненциальной) кривой. Для нахождения прогнозного значения на “i” шагов вперед необходимо использовать следующую формулу: i p K y y n n ⋅ = ∧ + 1 (9.35) где p K - средний коэффициент роста, рассчитанный для ряда y1; y2; y3; …; yn. К недостаткам рассмотренных методов следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровень ряда, исключая влияние промежуточных уровней. Тем не менее, методы среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста имеют весьма широкую область применения, что объясняется простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественно- качественному анализу. Наиболее распространенным методом прогнозирования является аналитическое выражение тренда . При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t). При таком подходе к прогнозированию предполагается, что размер уровня, характеризирующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени. На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени y = f(t). Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы: 1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения ряда динамики; 2) оценка параметров выбранных кривых; 3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста; 4) расчет точечного и интервального прогнозов. Остановимся на величине доверительного интервала прогноза, который определяется по формуле: y t t t + ± 1 α σ (9.36) где σ - средняя квадратическая ошибка тренда; y t +1 - расчетное значение уровня; t α - доверительная величина, определяемая на основе t-критерия Стьюдента. Вместо t α - критерия удобно использовать коэффициент (К*). Например, необходимо провести прогноз на 2005-2006гг. по данным таблицы (9.5) количества проданных квартир в N-ом регионе. Для экстраполяции используем уравнение тренда, полученное по прямой: t y t 25 , 0 7 , 39 + = . Подставив соответствующее значение t в наше уравнение, получим точечные прогнозы на 2005-2006гг. (графа 2 таблицы 9.9). Для построения интервальных прогнозов рассчитаем среднеквадратическую ошибку тренда ( σt=0,56) и используем значения К 1 ). Результаты прогноза представлены в таблице (9.9): Таблица 9.9. Прогнозные значения численности проданных квартир в N-ом регионе на 2005-2006гг. Годы t 1 + ∧ n y K σtK* * € 1 K y n ⋅ ± + σ A 1 2 3 4 5 2005 3 113,2 2,374 1,33 111,9-114,5 2006 4 114,4 2,741 1,53 112,9-115,9 При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению некоторых неизвестных уровней внутри данного ряда динамики, то есть к интерполяции Как и экстраполяция, интерполяция может производится на основе среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, а также с помощью аналитического выравнивания. При интерполяции предполагается, что ни выявленная тенденция, ни ее характер не претерпели существенных изменений в том промежутке времени, уровень (уровни) которого нам неизвестны. 1 Значения К* взяты из книги Е.М. Четыркина «Статистические методы прогнозирования». М., 1975 г., стр. 183 |