Шмойлова_Теория статистики. Московская финансовопромышленная академия
 Скачать 1.4 Mb.
|
|
Глава 11. Индексы 11.1. Общие понятия об индексах «Индекс» в переводе с латинского - указатель или показатель. В статистике индексом называют показатель относительного изменения данного уровня исследуемого явления по сравнению с другим его уровнем, принятым за базу сравнения. В качестве такой базы может быть использован или уровень за какой-либо прошлый период времени (динамический индекс), или уровень того же явления по другой территории (территориальный индекс). Индексы являются незаменимым инструментом исследования в тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или пространстве две совокупности, элементы которых непосредственно суммировать нельзя. В целом, индексный метод направлен на решение следующих задач: 1) характеристика общего изменения уровня сложного социально- экономического явления; 2) анализ влияния каждого из факторов на изменение индексируемой величины путем элиминирования воздействия прочих факторов; 3) анализ влияния структурных сдвигов на изменение индексируемой величины. В дальнейшем изложении индексного метода будут использоваться следующие общепринятые обозначения: i - индивидуальный индекс; I - сводный индекс; p - цена; q - количество; 1 - текущий период; 0 - базисный период. Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс , который характеризует изменение во времени экономических величин, относящихся к одному объекту: 0 1 p p i p = - индекс цены, где p 1 - цена товара в текущем периоде; p 0 - цена товара в базисном периоде; Изменение физической массы проданного товара в натуральном выражении измеряется индивидуальным индексом физического объема реализации: i q q q = 1 0 Изменение стоимостного объема товарооборота по данному товару отразится в значении индивидуального индекса товарооборота. Для его расчета товарооборот текущего периода (произведение цены на количество проданного товара) сравнивается с товарооборотом предшествующего периода: i p q p q pq = 1 1 0 0 Данный индекс также может быть получен как произведение индивидуального индекса цены и индивидуального индекса физического объема реализации. Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста, и по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах. В отличие от индексов индивидуальных, сводные индексы позволяют обобщить показатели по нескольким товарам. Исходной формой сводного индекса является агрегатная форма. Агрегатная форма индекса позволяет найти для разнородной совокупности такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. При анализе динамики цен индивидуальные цены различных товаров складывать неправомерно, но суммировать товарооборот по этим товарам вполне допустимо. В текущем периоде такой товарооборот по n товарам составит: p q p q p q p q p q n n 1 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 1 1 + + + + = ∑ Аналогично получим для базисного периода: p q p q p q p q p q n n 0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 0 0 0 0 + + + + = ∑ Если мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим сводный индекс товарооборота : Ι pq p q p q = ∑ ∑ 1 1 0 0 (11.1) Для иллюстрации этого и последующих индексов воспользуемся следующими условными данными (табл. 11.1.): Таблица 11.1. Цены и объем реализации трех товаров Январь Февраль Товар цена, руб. продано, тыс.шт. цена, руб. продано, тыс.шт. А 20 9 22 8 Б 60 15 65 13 В 30 7 35 11 Рассчитаем индекс товарооборота: 089 , 1 7 30 15 60 9 20 11 35 13 65 8 22 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = Ι pq Рассчитанное значение индекса позволяет заключить, что товарооборот в целом по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным возрос на 8,9% /108,9% - 100,0%/. Отметим, что размер товарной группы, единицы измерения товаров при расчете этого и последующих индексов значения не имеют. Величина индекса товарооборота формируется под воздействием двух факторов – на нее оказывает влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того, чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком- либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей как цена и себестоимость физический объем реализации обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают сводный индекс цен (по методу Пааше): ∑ ∑ = + + + + + + = Ι 1 0 1 1 1 0 2 1 2 0 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 q p q p q p q p q p q p q p q p n n n n p (11.2) Для рассматриваемого примера получим: 107 , 1 11 30 13 60 8 20 11 35 13 65 8 22 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = Ι p Таким образом, по данной товарной группе цены в феврале по сравнению с январем в среднем возросли на 10,7%. При построении данного индекса цена выступает в качестве индексируемой величины, а количество проданного товара - в качестве веса. Рассмотрим сводный индекс цен более подробно. Числитель данного индекса содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен. Числитель и знаменатель сводного индекса цен также можно интерпретировать и по-другому. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за товары в текущем периоде. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились. Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак «-») или перерасхода («+») покупателей региона от изменения цен: ∑ ∑ = − = − = Ε 136 1270 1406 1 0 1 1 руб тыс q p q p Необходимо отметить, что в статистической практике также используется сводный индекс цен, построенный по методу Ласпейреса, когда веса или объемы продаж фиксируются на уровне базисного, а не текущего периода: ∑ ∑ = Ι 0 0 0 1 q p q p p (11.3) Третьим индексом в рассматриваемой индексной системе (включающий индекс цен, рассчитанный по методу Паше) является сводный индекс физического объема реализации . Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения. Весами в данном случае выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне: ∑ ∑ = Ι 0 0 0 1 p q p q q (11.4) В нашем случае индекс составит: 984 , 0 30 7 60 15 20 9 30 11 60 13 20 8 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = Ι q Физический объем реализации (товарооборота) сократился на 1,6% (98,4%-100,0%). Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь: pq q p Ι = Ι ⋅ Ι или 089 , 1 984 , 0 107 , 1 = ⋅ На основе данной взаимосвязи по значениям двух известных индексов всегда можно определить неизвестное значение третьего индекса. 11.2. Средние формы сводных индексов На практике при расчете индексов часть необходимой информации может отсутствовать или базироваться на результатах выборочных обследований. В подобных случаях вместо индексов в агрегатной форме удобнее использовать средние арифметические и средние гармонические индексы. Любой сводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов. Однако при этом форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождественен исходному агрегатному индексу. Предположим, мы располагаем данными о стоимости проданной продукции в текущем периоде и индивидуальными индексами цен, полученными, например, в результате выборочного наблюдения. Тогда при расчете сводного индекса цен по методу Пааше можно использовать следующую замену: p q i p q p 0 1 1 1 1 = В целом же сводный индекс цен в данном случае будет выражен в форме средней гармонической : Ι p p p q i p q = ∑ ∑ 1 1 1 1 1 (11.5) Рассмотрим следующий условный пример (табл. 11.2.): Таблица 11.2. Данные о реализации и ценах по товарной группе Товар Реализация в текущем периоде, руб. Изменение цен в текущем периоде по сравнению с базисным, % А 44000 -1,3 Б 56000 +4,2 В 31000 +2,5 Последняя графа таблицы содержит информацию об изменениях индивидуальных индексов цен или их приростах. С учетом этих приростов несложно определить первоначальные значения индексов, которые по товарам А, Б и В соответственно составляют 0,987, 1,042 и 1,025. Рассчитаем значение сводного индекса: 019 , 1 025 , 1 31000 042 , 1 56000 987 , 0 44000 31000 56000 44000 = + + + + = Ι p Произведенный расчет позволяет заключить, что цены по данной товарной группе в среднем возросли на 1,9%. Мы получили значение сводного индекса цен в среднегармонической форме, соответствующее сводному индексу Пааше в агрегатной форме. Для получения значения, соответствующего индексу Ласпейреса, индекс цен необходимо представить в среднеарифметической форме. При этом используется следующая замена: 0 0 0 1 q p i q p p = С учетом этой замены сводный индекс цен в среднеарифметической форме можно представить следующим образом: ∑ ∑ = Ι 0 0 0 0 q p q p i p p (11.6) Среднеарифметическая форма также может использоваться при расчете сводного индекса физического объема товарооборота. При этом производится замена: q p i q p q 1 0 0 0 = Тогда сводный индекс физического объема товарооборота имеет вид: Ι q q i q p q p = ∑ ∑ 0 0 0 0 (11.7) Для иллюстрации этой формы расчета воспользуемся следующим примером (табл. 11.3.): Таблица 11.3. Данные о реализации трех товаров в натуральном и стоимостном выражении Товар Стоимостной объем реализации в базисном периоде, руб. Изменение физического объема реализации в текущем периоде по сравнению с базисным, % А 87000 +3,4 Б 54000 -12,0 В 73000 -8,5 Индивидуальные индексы физического объема соответственно будут равны 1,034; 0,880; 0,915. С учетом этого рассчитаем среднеарифметический индекс: 955 , 0 73000 54000 87000 73000 915 , 0 54000 880 , 0 87000 034 , 1 = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ = Ι q В результате расчета мы получили, что физический объем реализации товаров рассматриваемой товарной группы в среднем снизился на 4,5%. 11.3. Расчет сводных индексов за последовательные периоды На практике, как правило, расчет индексов не является разовой акцией. Индексы позволяют получать сводную оценку изучаемых процессов постоянно, месяц за месяцем, год за годом. Однако при этом для достижения сопоставимости они должны рассчитываться по единой методологии. Такая методология или схема расчета индексов за несколько последовательных временных периодов называется системой индексов. В зависимости от информационной базы и целей исследования индексная система может строится по-разному. Рассмотрим некоторые варианты ее построения их на примере сводного индекса цен, рассчитываемого за n периодов. Если сравнивать цены каждого периода с ценами периода предшествующего получаемая индексная система будет включать цепные индексы, отражающие изменение цен за каждый из периодов рассматриваемого временного интервала. При этом в качестве весов можно использовать объемы реализации каждого конкретного периода или же постоянные объемы какого-либо периода, принятого в качестве базисного. Тогда индексная система будет включать индексы, соответственно, с переменными или с постоянными весами. Цепные индексы цен с переменными весами имеют следующий вид: Ι p p q p q 1 0 1 1 0 1 = ∑ ∑ ; Ι p p q p q 2 1 2 2 1 2 = ∑ ∑ ; Ι p p q p q 3 2 3 3 2 3 = ∑ ∑ ; 1 1 ∑ ∑ − − = Ι n n n n n n p q p q p При использовании постоянных весов система преобразуется: Ι p p q p q 1 0 1 0 0 0 = ∑ ∑ ; Ι p p q p q 2 1 2 0 1 0 = ∑ ∑ ; Ι p p q p q 3 2 3 0 2 0 = ∑ ∑ ; 0 1 0 1 ∑ ∑ − − = Ι q p q p n n n n p Отметим, что использование постоянных весов более предпочтительно, так как рассчитываемые таким образом индексы мультипликативны, т.е. их можно последовательно перемножать и получать величину показателя за более продолжительный период. Так, например, располагая индексами цен за три последовательных месяца можно получить сводную оценку изменения цены в целом за квартал и т.п. Индексы с переменными весами такой возможности не предоставляют. Если сравнивать цены каждого периода с ценами какого-либо базисного периода (как правило – начального) получаемая индексная система будет включать базисные индексы, отражающие изменение цен накопленным итогом, т.е. с начала рассматриваемого временного интервала. Например, изменение цен в январе по сравнению с декабрем предшествующего года, в феврале – по сравнению с тем же декабрем и т.д. При этом в качестве весов также можно использовать объемы реализации каждого конкретного периода или же постоянные объемы периода, принятого в качестве базисного. Система базисных индексов с переменными весами имеет следующий вид: Ι p p q p q 1 0 1 1 0 1 = ∑ ∑ ; Ι p p q p q 2 0 2 2 0 2 = ∑ ∑ ; Ι p p q p q 3 0 3 3 0 3 = ∑ ∑ ; 0 0 ∑ ∑ = Ι n n n n p q p q p Базисные индексы цен с постоянными весами рассчитываются по формулам: Ι p p q p q 1 0 1 0 0 0 = ∑ ∑ ; Ι p p q p q 2 0 2 0 0 0 = ∑ ∑ ; Ι p p q p q 3 0 3 0 0 0 = ∑ ∑ ; 0 0 0 0 ∑ ∑ = Ι q p q p n n p Отметим, что использование постоянных весов приводит базисные индексы, так же как и индексы цепные, к сопоставимому виду. 11.4. Индексный анализ влияния структурных изменений Индексы позволяют оценить динамику показателей, характеризующих разнородные в качественном отношении совокупности, как правило, товарные группы. Однако, даже если рассматриваемая совокупность однородна (товар или вид продукции одного вида) на величине результативного показателя будет отражаться влияние структурных изменений, например, изменений в структуре производства или реализации данного товара по территориям. Рассмотрим случай, когда один товар или вид продукции реализуется или производится в нескольких местах (табл. 11.4.): Таблица 11.4. Данные о ценах и объемах реализации товара «X» в двух регионах 2003 2004 Регион цена, тыс.руб. продано, шт. цена, тыс.руб. продано, шт 1 7 36000 8 10000 2 5 12000 6 34000 Проведем анализ изменения цен на данный товар. Из таблицы видно, что цена в каждом регионе возросла. Для сводной оценки этого роста воспользуемся средними показателями. Так как в данном случае реализуется один и тот же товар, вполне правомерно рассчитать его среднюю цену за июнь и за июль. Индекс цен переменного состава представляет собой соотношение средних значений за два рассматриваемые периода: 992 , 0 50 , 6 : 45 , 6 12000 36000 12000 5 36000 7 : 34000 10000 34000 6 10000 8 : 0 0 0 1 1 1 = = = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = Ι ∑ ∑ ∑ ∑ q q p q q p nc p (11.8) Рассчитанное значение индекса указывает на снижение средней цены данного товара на 0,8%, т.е. с 6,50 тыс. руб. до 6,45 тыс. руб. В то же время, из приведенной выше таблицы видно, что цена в каждом регионе в 2003 г. по сравнению с 2002 г. возросла. Данное несоответствие объясняется влиянием изменения структуры реализации товаров по регионам: в 2002 г. по более высокой цене продали товара втрое больше, а в 2003 г. ситуация принципиально изменилась (в данном условном примере для наглядности числа подобраны таким образом, чтобы это различие в структуре продаж было очевидным). Иными словами, на динамике средней цены данного товара отразились структурные сдвиги в рассматриваемой совокупности. Оценить воздействие этого фактора можно с помощью |