11 класс ист. Московский физикотехнический институт олимпиада "физтех" по математике
 Скачать 170.09 Kb.
|
|
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 11 класс ВАРИАНТ 5 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. [3 балла] Решите систему уравнений {︃ 4𝑥 − 3 √︀𝑦 2 − 16𝑥 2 = 44, 𝑦 − 3 √︀𝑦 2 − 16𝑥 2 = −20. 2. [4 балла] Решите неравенство √︀ log 3𝑥 𝑥 4 6 log 9𝑥 1 𝑥 2 3. [5 баллов] Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12345 4. [5 баллов] Даны равнобокая трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 – основания, 𝐴𝐷 > 𝐵𝐶) и окружность 𝜔 с центром 𝐶, касающаяся стороны 𝐴𝐷. Касательные к 𝜔, проведённые из точки 𝐵, пересекают прямую 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 (точка 𝑃 лежит между 𝑄 и 𝐷). На продолжении стороны 𝐶𝐵 за точку 𝐵 выбрана точка 𝑁 так, что ∠𝐶𝑃 𝑁 – прямой. Найдите углы 𝐴𝐷𝐶, 𝑁𝑄𝐶 и площадь четырёхугольника 𝑁𝐶𝐷𝑄, если известно, что ∠𝑁𝐶𝑃 = arctg 12 5 , 𝐴𝑃 = 13 2 , 𝑁𝐶 = 13. 5. [5 баллов] Дана система уравнений {︃ sin(𝑥 + 𝑦) = 9 cos (︀ 𝜋 3 − 𝑥 )︀ , cos(𝑥 + 2𝑦) − √ 3 sin(𝑥 + 2𝑦) = −16 sin (︀𝑥 + 𝜋 6 )︀ . Найдите все возможные значения выражения tg 𝑥 − tg 𝑦, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух. 6. [5 баллов] Найдите все пары чисел (𝑎; 𝑏) такие, что неравенство √︂ 275 4 + 25𝑥 − 𝑥 2 6 𝑎𝑥 + 𝑏 6 − 𝑥 2 3 + 5𝑥 3 + 45 4 выполнено для всех 𝑥 на промежутке [︀− 5 2 ; 7 2 ]︀ 7. [6 баллов] Дан параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 , грани 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝐶𝐷𝐷 1 𝐶 1 которого являются прямоугольниками. Сфера 𝑆 касается прямых 𝐵 1 𝐶 1 и 𝐶 1 𝐷 1 , плоскости 𝐶𝐷𝐷 1 , а также плоско- сти 𝐴𝐵𝐶 в точке 𝐴. Эта сфера повторно пересекает отрезок 𝐴𝐶 1 в точке 𝑀. Найдите ∠𝐵𝐵 1 𝐶 1 и объём параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 , если известно, что 𝐴𝑀 = 5, 𝐶 1 𝑀 = 3 © МФТИ, 2022 МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 11 класс ВАРИАНТ 6 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. [3 балла] Решите систему уравнений {︃ 𝑥 − 3 √︀64𝑦 2 − 𝑥 2 = 124, 8𝑦 − 3 √︀64𝑦 2 − 𝑥 2 = −92. 2. [4 балла] Решите неравенство √︀ log 2𝑥 3 𝑥 9 6 log 2𝑥 1 𝑥 3 3. [5 баллов] Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12414 4. [5 баллов] Даны равнобокая трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 – основания, 𝐴𝐷 > 𝐵𝐶) и окружность 𝜔 с центром 𝐶, касающаяся стороны 𝐴𝐷. Касательные к 𝜔, проведённые из точки 𝐵, пересекают прямую 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 (точка 𝑃 лежит между 𝑄 и 𝐷). На продолжении стороны 𝐶𝐵 за точку 𝐵 выбрана точка 𝑁 так, что ∠𝐶𝑃 𝑁 – прямой. Найдите углы 𝐴𝐷𝐶, 𝑁𝑄𝐶 и площадь четырёхугольника 𝑁𝐶𝐷𝑄, если известно, что ∠𝑁𝐶𝑃 = arctg 8 15 , 𝐴𝑃 = 17 2 , 𝑁𝐶 = 17. 5. [5 баллов] Дана система уравнений {︃√ 3 cos(𝑥 + 𝑦) = 5 sin (︀ 𝜋 3 − 𝑥 )︀ , sin(𝑥 + 2𝑦) + √ 3 cos(𝑥 + 2𝑦) = 8 cos (︀𝑥 + 𝜋 6 )︀ . Найдите все возможные значения выражения ctg 𝑥 + ctg 𝑦, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух. 6. [5 баллов] Найдите все пары чисел (𝑎; 𝑏) такие, что неравенство 12𝑥 − 14 2𝑥 − 3 6 𝑎𝑥 + 𝑏 6 2 + √︂ 51 4 − 7𝑥 − 𝑥 2 выполнено для всех 𝑥 на промежутке [︀− 1 2 ; 3 2 )︀ 7. [6 баллов] Дан параллелепипед 𝐾𝐿𝑀𝑁𝐾 1 𝐿 1 𝑀 1 𝑁 1 , грани 𝐾𝐿𝑀𝑁 и 𝐿𝑀𝑀 1 𝐿 1 которого явля- ются прямоугольниками. Сфера 𝑆 касается прямых 𝐿 1 𝑀 1 и 𝑀 1 𝑁 1 , плоскости 𝐿𝑀𝑀 1 , а также плоскости 𝐾𝐿𝑀 в точке 𝐾. Эта сфера повторно пересекает отрезок 𝐾𝑀 1 в точке 𝐴. Найдите ∠𝑁𝑁 1 𝑀 1 и объём параллелепипеда 𝐾𝐿𝑀𝑁𝐾 1 𝐿 1 𝑀 1 𝑁 1 , если известно, что 𝐴𝐾 = 5, 𝐴𝑀 1 = 2 © МФТИ, 2022 МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 11 класс ВАРИАНТ 7 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. [3 балла] Решите систему уравнений {︃ 7𝑥 + 3 √︀49𝑥 2 − 𝑦 2 = 20, 𝑦 + 3 √︀49𝑥 2 − 𝑦 2 = −44. 2. [4 балла] Решите неравенство √︀ log 5𝑥 𝑥 4 6 log 125𝑥 1 𝑥 2 3. [5 баллов] Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12531 4. [5 баллов] Даны равнобокая трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 – основания, 𝐴𝐷 > 𝐵𝐶) и окружность 𝜔 с центром 𝐶, касающаяся стороны 𝐴𝐷. Касательные к 𝜔, проведённые из точки 𝐵, пересекают прямую 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 (точка 𝑃 лежит между 𝑄 и 𝐷). На продолжении стороны 𝐶𝐵 за точку 𝐵 выбрана точка 𝑁 так, что ∠𝐶𝑃 𝑁 – прямой. Найдите углы 𝐴𝐷𝐶, 𝑁𝑄𝐶 и площадь четырёхугольника 𝑁𝐶𝐷𝑄, если известно, что ∠𝑁𝐶𝑃 = arctg 5 12 , 𝐴𝑃 = 13, 𝑁𝐶 = 26. 5. [5 баллов] Дана система уравнений {︃ sin(𝑥 − 𝑦) = −9 cos (︀𝑥 − 𝜋 3 )︀ , cos(𝑥 − 2𝑦) − √ 3 sin(𝑥 − 2𝑦) = 20 sin (︀𝑥 + 𝜋 6 )︀ . Найдите все возможные значения выражения tg 𝑥 + tg 𝑦, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух. 6. [5 баллов] Найдите все пары чисел (𝑎; 𝑏) такие, что неравенство √︂ 175 4 − 5𝑥 − 𝑥 2 6 𝑎𝑥 + 𝑏 6 − 𝑥 2 3 + 2𝑥 3 + 27 4 выполнено для всех 𝑥 на промежутке [︀ 1 2 ; 9 2 ]︀ 7. [6 баллов] Дан параллелепипед 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 , грани 𝐴𝐵𝐵 1 𝐴 1 и 𝐵𝐵 1 𝐶 1 𝐶 которого являются прямоугольниками. Сфера 𝑆 касается прямых 𝐶 1 𝐷 1 и 𝐶𝐶 1 , плоскости 𝐵𝐵 1 𝐶 1 , а также плоско- сти 𝐴𝐵𝐵 1 в точке 𝐴. Эта сфера повторно пересекает отрезок 𝐴𝐶 1 в точке 𝑀. Найдите ∠𝐴𝐵𝐶 и объём параллелепипеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 𝐷 1 , если известно, что 𝐴𝑀 = 3, 𝐶 1 𝑀 = 2 © МФТИ, 2022 МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ОЛИМПИАДА "ФИЗТЕХ" ПО МАТЕМАТИКЕ 11 класс ВАРИАНТ 8 ШИФР Заполняется ответственным секретарём 1. [3 балла] Решите систему уравнений {︃ 13𝑥 + 3 √︀169𝑥 2 − 𝑦 2 = 92, 𝑦 + 3 √︀169𝑥 2 − 𝑦 2 = −124. 2. [4 балла] Решите неравенство √︀ log 3𝑥 2 𝑥 9 6 log 9𝑥 3 1 𝑥 3 3. [5 баллов] Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12828 4. [5 баллов] Даны равнобокая трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐷 и 𝐵𝐶 – основания, 𝐴𝐷 > 𝐵𝐶) и окружность 𝜔 с центром 𝐶, касающаяся стороны 𝐴𝐷. Касательные к 𝜔, проведённые из точки 𝐵, пересекают прямую 𝐴𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄 (точка 𝑃 лежит между 𝑄 и 𝐷). На продолжении стороны 𝐶𝐵 за точку 𝐵 выбрана точка 𝑁 так, что ∠𝐶𝑃 𝑁 – прямой. Найдите углы 𝐴𝐷𝐶, 𝑁𝑄𝐶 и площадь четырёхугольника 𝑁𝐶𝐷𝑄, если известно, что ∠𝑁𝐶𝑃 = arctg 15 8 , 𝐴𝑃 = 17, 𝑁𝐶 = 34. 5. [5 баллов] Дана система уравнений {︃√ 3 cos(𝑥 − 𝑦) = 7 cos (︀ 2𝜋 3 + 𝑦 )︀ , cos(2𝑥 − 𝑦) + √ 3 sin(2𝑥 − 𝑦) = 12 sin (︀𝑦 + 𝜋 6 )︀ . Найдите все возможные значения выражения tg 𝑥 − tg 𝑦, если известно, что оно определено и что этих значений не меньше двух. 6. [5 баллов] Найдите все пары чисел (𝑎; 𝑏) такие, что неравенство 12𝑥 + 26 2𝑥 + 3 6 𝑎𝑥 + 𝑏 6 1 + √︂ − 33 4 − 13𝑥 − 𝑥 2 выполнено для всех 𝑥 на промежутке [︀− 19 2 ; − 3 2 )︀ 7. [6 баллов] Дан параллелепипед 𝐾𝐿𝑀𝑁𝐾 1 𝐿 1 𝑀 1 𝑁 1 , грани 𝐾𝐿𝐿 1 𝐾 1 и 𝐾 1 𝐿 1 𝑀 1 𝑁 1 которого явля- ются прямоугольниками. Сфера 𝑆 касается прямых 𝑀𝑀 1 и 𝑀 1 𝑁 1 , плоскости 𝐾 1 𝐿 1 𝑀 1 , а также плоскости 𝐾𝐿𝐿 1 в точке 𝐾. Эта сфера повторно пересекает отрезок 𝐾𝑀 1 в точке 𝐴. Найдите ∠𝐾𝐾 1 𝑁 1 и объём параллелепипеда 𝐾𝐿𝑀𝑁𝐾 1 𝐿 1 𝑀 1 𝑁 1 , если известно, что 𝐴𝐾 = 3, 𝐴𝑀 1 = 1 © МФТИ, 2022 |