Регрессия. Задачи Марк. Операции над векторами
![]()
|
Векторы и матрицы в экономике Тема : Операции над векторами. 1) Коллинеарны ли векторы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Перпендикулярны ли векторы ![]() 3) Компланарны ли векторы ![]() Тема : Использование операции над векторами 1) Найдите сумму векторов ![]() 2) Найдите длину векторов ![]() 3) Найдите угол между векторами ![]() Первые сведения о матрице, операции над матрицей. Тема : Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью определителя. 1) Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений ![]() 2) Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы ![]() 3) Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений ![]() Тема : Решение систем линейных алгебраических уравнений без помощи определителя. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() Прямые в пространстве и плоскости Тема : Типы уравнений прямой 1) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки ![]() ![]() 2) Найти направляющий вектор прямой ![]() 3) Найти косинус угла между прямыми ![]() ![]() Тема : Решение задач на тему уравнений прямой Составить канонические уравнения прямой ![]() ![]() ![]() ![]() Найти угол между прямой ![]() ![]() ![]() ![]() Составить уравнение плоскости ![]() ![]() ![]() ![]() Тема : Последовательность. Пределы последовательности. Число ![]() ![]() ![]() ![]() В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа ![]() ![]() Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности. ![]() Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности. ![]() Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек. Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек. Тот факт, что последовательность ![]() ![]() ![]() или ![]() Тема : Решение задач на тему пределы последовательности. ![]() ![]() ![]() Общее понятие о функции Тема : Определение предела функции. Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) в точке a, если для любого 0 найдётся такое число 0, что из неравенства ![]() ![]() Определение 2. Число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке а, если для любого ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для обозначения правого (левого) предела функции f(x) в точке а используют следующую символику: ![]() ![]() Критерий существования предела. Для того, чтобы в точке ![]() ![]() Достаточно распространенными в курсе математики являются последовательности, то есть функции ![]() ![]() Тема : Решение задач на тему пределы функции 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() Производная и дифференциал Тема : Определение производной функции. Определение производной Пусть задана функция f(x) на интервале (a,b). Зафиксируем точку x внутри (a,b) и придадим x приращение ∆x, MP секущая, приращение функции ∆y = f(x+∆x)-f(x). Рассмотрим отношение ![]() ![]() Определение. Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю: ![]() Существует несколько способов обозначения производной, самые важные это ![]() Пример нахождения ![]() ![]() ![]() Тема : Физическая значение производной функций Пусть прямолинейное движение материальной точки задано законом S = S(t). Путь, который проследует точка за время ∆t равен ∆S = S(t+∆t)-S(t). Средняя скорость есть ![]() ![]() Пример. Пусть дан закон движения материальной точки ![]() ![]() Функции многих переменных Тема : Способы передачи функции многих переменных Функция, определенная на некотором множестве ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Переменная величина ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Символически функция двух переменных обозначается так: ![]() ![]() ![]() Переменные ![]() ![]() ![]() Например, ![]() Тема : Решение задач на тему функции многих переменных 1) Предприятие имеет участок производства и склад. Склад обеспечивает ритмичность работы – если продукцию не удаётся сбыть сразу, то её можно хранить на складе. Наличие склада приводит к издержкам хранения. В простейшем случае эти издержки за единицу времени пропорциональны числу изделий ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2) Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Например, ![]() ![]() ![]() ![]() Частные производные Тема : Частные производные второго высшего порядка Частными производными второго порядка от функции ![]() Для функции ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Частные производные второго порядка, взятые по различным переменным называются смешанными. Т ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Дифференцируя частные производные второго порядка как по х, так и по у, получим частные производные третьего порядка. Тема : Частные производные высшего порядка 1)Дана функция ![]() Н ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2)Найти частные производные второго порядка функции ![]() Последовательно находим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задачи оптимизации в экономике Тема : Экстремум функции и его определение. Точка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Точка ![]() ![]() ![]() ![]() Точки, в которых функция достигает максимума или минимума, называются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках называют экстремальными. ![]() Функция, заданная кривой на рисунке выше, в точках ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Тема : Экстремум функции и его нахождение. 1) Найдите экстремумы функции ![]() 2)Найдите экстремумы функции ![]() 3)С помощью производной первого порядка найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции ![]() Определенный и неопределенный интеграл Тема : Простое правило интегрирования. Таблица основных интегралов
Тема : Интегрирование по частям. 1) ![]() ![]() {для нахождения интеграла применим формулу (6)} ![]() 2) ![]() {второе слагаемое вычислим с помощью замены, применив формулу (2)} ![]() в итоге получаем ![]() Тема : Дифференциальные уравнения 1го порядка Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производную: ![]() Обычно мы будем иметь дело с уравнениями, которые можно разрешить относительно производной ![]() ![]() Если в (2) положить ![]() ![]() Здесь переменные x и y равноправны. Иногда бывает выгодно рассматривать х как функцию y. В этом случае часто применяют форму записи (3). Пример. ![]() Тема : Дифференциальные уравнения 2го порядка Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка называется соотношение вида: ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Считается, что производная ![]() ![]() Определение 2. Порядком дифференциального уравнения, n, называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение. Пример. ![]() ![]() ![]() Определение 3. Всякая функция ![]() Если ![]() ![]() Пример. ![]() ![]() У рассматриваемого уравнения есть еще такое решение: ![]() где С – произвольная постоянная. Это значит, что это уравнение имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра (С). Можно показать, что уравнение n–ого порядка имеет семейство решений, зависящих от произвольных независимых друг от друга постоянных. Пример. Уравнение ![]() ![]() Тема : Расчет вероятности Задача 1. В ящике 5 апельсинов и 4 яблока. Наудачу выбираются 3 фрукта. Какова вероятность, что все три фрукта – апельсины? Решение. Элементарными исходами здесь являются наборы, включающие 3 фрукта. Поскольку порядок фруктов безразличен, будем считать их выбор неупорядоченным (и бесповторным). Общее число элементарных исходов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача 2. Преподаватель предлагает каждому из трех студентов задумать любое число от 1 до 10. Считая, что выбор каждым из студентов любого числа из заданных равновозможен, найти вероятность того, что у кого-то из них задуманные числа совпадут. Решение. Вначале подсчитаем общее количество исходов. Первый из студентов выбирает одно из 10 чисел и имеет n1=10 возможностей, второй тоже имеет n2=10 возможностей, наконец, третий также имеет n3=10 возможностей. В силу правила умножения общее число способов равно: n= n1n2n3=103 = 1000, т.е. все пространство содержит 1000 элементарных исходов. Для вычисления вероятности события A удобно перейти к противоположному событию, т.е. подсчитать количество тех случаев, когда все три студента задумывают разные числа. Первый из них по-прежнему имеет m1=10 способов выбора числа. Второй студент имеет теперь лишь m2=9 возможностей, поскольку ему приходится заботиться о том, чтобы его число не совпало с задуманным числом первого студента. Третий студент еще более ограничен в выборе — у него всего m3=8 возможностей. Поэтому общее число комбинаций задуманных чисел, в которых нет совпадений, равно m=1098=720. Случаев, в которых есть совпадения, остается 280. Следовательно, искомая вероятность равна Р=280/1000= 0,28. Случайные величины Тема : Характеристики случайных величин Математическое ожидание дискретной случайной величины Пусть дан ряд распределения дискретной случайной величины с конечным числом значений.
Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется величина MX, равная: ![]() Пусть дискретная случайная величина имеет бесконечное число возможных значений. Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется величина MX, равная: ![]() при условии, что абсолютно сходится ряд (2). ![]() Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины. Тема : Дисперсия и ее свойства Найдите дисперсию 1)
2)
Тема : Нахождение дисперсий Найдите дисперсию 1)
2)
|