Тем. Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß Êîíñïåêò ëåêöèé Äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåé Москва 2009 ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Лекция 1 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора (направленного от- резка). Нуль-вектор, единичный вектор (орт). Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие, свободные векторы. Линейные операции над векторами, свойства этих операций. Ортогональная проекция векторов на направление. Те- оремы о проекциях 1.1. Векторные и скалярные величины В прикладных науках оперируют величинами различного характера. В качестве примера обратимся к величинам, встречающимся в физике и механике. Такие величины, как массу и объем, характеризуют количественным значением, которое по отношению к некоторому эталону (единице измерения) задают действительным числом. Поэтому их называют скалярными. Напротив, скорость, ускорение, сила характеризуются не только количественным значением, но и направлением. Их называют векторными величинами. Определение 1.1. Геометрическим вектором (также направленным отрезком) называют любой отрезок, на котором выбрано одно из двух возможных направлений (рис. 1.1). Любой отрезок однозначно определяется своими концами, A B Рис. 1.1 поэтому одно из двух возможных направлений для данного от- резка можно задать, указав порядок концов, т.е. от какого конца отрезка следует начать движение в заданном направлении, для того чтобы, двигаясь по отрезку, попасть в его другой конец. Это позволяет определить геометрический вектор просто как упорядоченную пару точек: первую точку в паре называют на- чалом геометрического вектора, а вторую — его кон- цом. Начало геометрического вектора называют также точ- кой его приложения. Обозначение: если точка A является началом геометрического вектора, а точка B — его концом, то геометрический вектор обозначают AB или −→ AB. Важной характеристикой геометрического вектора −→ AB является его модуль, или длина. Модуль вектора | −→ AB| равен длине |AB| отрезка, соединяющего его начало A и конец B. Геоме- трический вектор называют ненулевым, если его длина положительна. Длина, равная нулю, соответствует ситуации, когда начало и конец геометрического вектора совпадают. В этом слу- чае геометрический вектор называют нулевым или нуль-вектором и обозначают 0. Если длина геометрического вектора равна единице, его называют ортом или единичным век- тором. Для нуль-вектора понятие направления теряет смысл, так как начало и конец у него совпа- дают. Однако такому геометрическому вектору удобно приписать произвольное направление, которое устанавливают в зависимости от конкретной ситуации. 1 ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 2 1.2. Типы векторов и их взаимное расположение Определение 1.2. Два геометрических вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой 1 или на параллельных прямых. Про пару коллинеарных геометрических векторов иногда говорят, что один из них колли- неарен другому. Все пары коллинеарных геометрических векторов можно разделить на две группы: – однонаправленные (или сонаправленные) коллинеарные геометрические век- торы, имеющие совпадающие направления; – противоположно направленные коллинеарные геометрические векторы, имеющие противоположные направления. По определению считаем, что нуль-вектор коллинеарен любому другому. Определение 1.2 распространяется очевидным образом на любое число геометрических векторов. Определение 1.3. Три геометрических вектора называют компланарными, если эти векторы лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости. A B C D а A B C D б Рис. 1.2 Это определение теряет смысл, если его сформулировать для двух геометрических векторов, потому что любые два геометрических вектора лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости. Однако можно говорить о четырех компланарных геометрических векторах или об их большем числе. Определение 1.4. Два геометрических вектора называют равными, если: – они коллинеарны и однонаправлены; – их длины совпадают. В соответствии с определением 1.4 равные геометрические векторы могут иметь различные точки приложения, но задают одно и то же направление и имеют одинаковые длины. В этом случае, т.е. когда заданы направление и длина, но не фиксируется точка приложения, говорят, что задан свободный вектор. Термин подчеркивает, что точка приложения геометрического вектора может меняться произвольно. В дальнейшем для удобства свободные векторы мы будем называть просто векторами. Векторы обозначают одной строчной буквой с дополнительной чертой или стрелкой вверху: a или − → a . Распространенным является также обозначение вектора полужирным шрифтом a, которое в дальнейшем мы и будем использовать. Разный характер действия векторов в прикладных задачах приводит к необходимости рас- сматривать другие типы векторов. Например, вектор угловой скорости и вектор силы, дей- ствующей на абсолютно твердое тело, можно перемещать только вдоль прямых, на которых они находятся. Такие векторы называют скользящими векторами. Наконец, геометриче- ские векторы, точка приложения которых не может изменяться, называют еще связанными векторами. К ним относятся, например, скорости в потоке жидкости или газа. 1 Говоря, что геометрический вектор лежит на прямой, мы подразумеваем очевидную ситуацию, когда начало и конец вектора лежат на этой прямой. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 3 Пример 1.1. В зависимости от учета тех или иных конкретных условий одну и ту же векторную величину иногда удобно рассматривать как свободный, скользящий или связанный вектор. Например, вектор ускорения земного притяжения является связанным вектором, по- скольку его модуль и направление зависят от расположения точки приложения относительно центра Земли. Поэтому при расчете траектории полета, например с Земли на Луну, его счи- тают связанным вектором. Однако в задаче о движении снаряда при стрельбе на небольшую по сравнению с радиусом Земли дальность изменения вектора ускорения земного притяжения вдоль траектории снаряда незначительны и его принимают постоянным по модулю и напра- вленным вертикально вниз, т.е. считают свободным вектором. Учет кривизны поверхности Земли приведет к необходимости считать этот вектор уже скользящим, т.е. постоянным при перемещениях лишь вдоль радиуса к центру Земли. Замечание 1.1. Многие понятия, связанные с геометрическими векторами, переносятся и на свободные векторы. Так, говорят о начале (точке приложения) вектора, конце вектора, модуле (длине) вектора. Рассматривают векторы ненулевые (включая еди- ничные, или орты) и нулевые (нуль-векторы), векторы коллинеарные и векторы компланарные. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными (сонаправлен- ными) и противоположно направленными. 1.3. Линейные операции и их свойства Обсуждение векторных операций начнем с двух из них — сложения векторов и умножения вектора на число. Эти операции часто объединяют общим термином линейные операции. Определение 1.5. Суммой a + b двух векторов a и b называют вектор c, построенный по следующему правилу треугольника. Совместим начало вектора b с концом вектора a. Тогда суммой этих векторов будет вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец — с концом b (рис. 1.3). Замечание 1.2. Наряду с правилом треугольника существует правило параллелограм- ма. Выбрав для векторов a и b общее начало, строим на этих векторах параллелограмм. Тогда диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала векторов, определяет их сумму (рис. 1.4). Отметим, что если векторы a и b коллинеарны, то их сумму по правилу параллело- грамма определить нельзя, а правило треугольника применимо и в этом случае. a b c Рис. 1.3 a b c Рис. 1.4 Замечание 1.3. В определении 1.5 существует произвол в выборе точки приложения век- торов, но результаты, получаемые с различными точками приложения, равны между собой. # 1 ◦ . Сложение векторов коммутативно: a + b = b + a. J Если складываемые векторы неколлинеарны, то свойство непосредственно вытекает из пра- вила параллелограмма, так как в этом правиле порядок векторов не играет роли. Если же векторы коллинеарны, то их сложение сводится к сложению или вычитанию их длин в зависи- мости от того, являются ли складываемые векторы однонаправленными или противоположно направленными. I ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 4 2 ◦ . Сложение векторов ассоциативно: (a + b) + c = a + (b + c). J Доказать это свойство проще всего при помощи правила треугольника. Выберем в качестве начала вектора a точку A (рис. 1.5), и пусть a = −→ AB. Совместим начало вектора b с точкой B, и пусть b = − − → BC. Наконец, начало вектора c совместим с концом C вектора b, и пусть тогда c = − −→ CD. a b c a + b b + c (a + b ) + c a + (b + c) A B C D Рис. 1.5 Непосредственно из построения получаем − − → AD = −→ AB + −−→ BD = −→ AB + ( − − → BC + − −→ CD) = a + (b + c), − − → AD = −→ AC + −−→ CD = ( −→ AB + − − → BC) + −−→ CD = (a + b) + c, т.е. геометрический вектор − − → AD изображает и левую часть доказываемого равенства, и пра- вую. I 3 ◦ . Существует такой вектор 0, что для любого вектора a выполняется равенство a+0 = a. J Действительно, непосредственной проверкой можно убедиться, что указанному условию удо- влетворяет нулевой вектор. Проверку удобно проводить при помощи правила треугольника. I 4 ◦ . Для любого вектора a существует такой вектор b, что a + b = 0. J Действительно, таким является вектор (−a), противоположный к вектору a, т.е. вектор, коллинеарный a, той же длины, что и a, но противоположно направленный. Если в качестве точки приложения этого вектора выбрать конец вектора a, то конец противоположного вектора совпадет с началом вектора a. Согласно правилу треугольника, суммой векторов a и (−a) будет вектор с совпадающими началом и концом, т.е. нулевой вектор. I 5 ◦ . Для любых векторов a и b существует такой вектор x, что a + x = b. При этом вектор x определен однозначно. J Указанному условию удовлетворяет вектор (−a) + b, так как с учетом свойств 2 ◦ –4 ◦ a + x = a + (−a) + b = a + (−a) + b = 0 + b = b. Если вектор x удовлетворяет равенству a+x = b, то, прибавив слева к обеим частям послед- него равенства вектор (−a), получим с учетом свойств 1 ◦ , 2 ◦ , что x = (−a)+b. Действительно, (−a) + a + x = (−a) + a + x = 0 + x = x = (−a) + b. Значит, вектор x определен однозначно. I Свойство 5 ◦ позволяет ввести операцию вычитания векторов. Определение 1.6. Разностью b − a двух векторов a и b называют такой вектор x, что a + x = b. С алгебраической точки зрения переход от a + x = b к x = b − a (в соответствии с определе- нием 1.6) означает, что при переносе вектора в другую часть равенства перед ним надо менять знак. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 5 a b b – a Рис. 1.6 Практически для вычисления разности векторов можно воспользоваться правилом треуголь- ника. Совместим начала векторов a и b, тогда вектор с началом в конце вектора a и концом, совпадающим с концом b, равен разности b − a этих векторов (рис. 1.6). Операцию вычитания векторов также относят к линейным, так как она определяется опе- рацией сложения и является обратной сложению. Определение 1.7. Произведением вектора a на число λ называют вектор λa, кол- линеарный вектору a, с длиной |λ| |a|, однонаправленный с a при λ > 0 и противоположно направленный при λ < 0. Замечание 1.4. Если λ = 0, то, согласно этому определению, вектор 0a должен иметь длину 0 |a| = 0, т.е. должен быть нулевым вектором. Поэтому, хотя остальные характеристики и не определены (коллинеарность, направленность), произведение вектора на число 0 задано однозначно: 0a есть нулевой вектор. Пример 1.2. Произведение вектора a на число −1 есть вектор, противоположный к a, т.е. (−1)a = (−a). # Операция умножения вектора на число обладает свойством ассоциативности, а совместно с операцией сложения она удовлетворяет двум свойствам дистрибутивности. 6 ◦ . Умножение вектора на число ассоциативно: (λµ)a = λ(µa). J Действительно, обе части равенства представляют собой векторы, коллинеарные исходному вектору a. Поэтому равенство будет верным, если совпадут длины векторов и их направления. Равенство длин векторов очевидно. Если числа λ и µ имеют один и тот же знак, то векторы в обеих частях будут однонаправлены с вектором a. Если же λ и µ имеют противоположные знаки, то оба вектора в равенстве являются противоположно направленными по отношению к a. Итак, в любом случае в равенстве стоят векторы одного направления и одинаковой длины, т.е. равные векторы. I 7 ◦ . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно векторов: λ(a + b) = λa + λb. J При λ = 0 свойство очевидно, так как в этом случае слева будет нулевой вектор (произведение вектора на число 0), а справа — сумма двух нулевых векторов. Если λ 6= 0, свойство вытекает из правила параллелограмма и свойств подобных параллелограммов. На рис. 1.7 представлены случаи: а) λ > 0; б) λ < 0. I 8 ◦ . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно чисел: (λ + µ)a = λa + µa. J В указанном равенстве — три коллинеарных вектора. Поэтому доказательство сводится к подсчету длин векторов, которым присвоены знаки, учитывающие направление. Если λ и µ имеют положительные знаки, то все три вектора в равенстве имеют одно направление, со- впадающее с направлением вектора a. При сложении этих векторов справа складываются их длины, а доказываемое равенство равносильно следующему: (λ + µ) |a| = λ |a| + µ |a|. Случай, когда λ и µ отрицательны, аналогичен. Пусть λ и µ имеют противоположные знаки. Для определенности будем считать, что λ > 0, µ < 0. Противоположный случай сводится к этому заменой обозначений и учетом коммута- тивности сложения чисел и векторов. Если λ > 0, µ < 0, то при сложении векторов λa и µa вычитаются их длины, так как складываются векторы противоположного направления. ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 6 a b + a b ¸ a ¸ b ¸ ¸ a+ b а a+ b a b ¸ b ¸ a ¸ ¸ a+ b б Рис. 1.7 Получаемый при этом вектор будет однонаправленным с a при |λ| > |µ| и противоположно направленным при |λ| < |µ|. Его длина, согласно определению произведения вектора на число, равна |λ + µ||a|. Учитывая направление этого вектора, заключаем, что он равен (λ + µ)a, т.е. доказываемое равенство верно и при противоположных знаках коэффициентов λ и µ. Наконец, отметим тривиальный случай, когда один из коэффициентов λ и µ равен нулю. Например, если µ = 0, то равенство (λ + µ) |a| = λ |a| + µ |a| сводится к равенству (λ + 0)a = = λa + 0a, вытекающему из свойства 3 ◦ и определения 1.7. I 1.4. Ортогональная проекция Пусть на плоскости заданы прямая L и точка A. Опустим из точки A на прямую L перпен- дикуляр (рис. 1.8, а). Тогда его основание (точку O) называют ортогональной проекцией точки A на прямую L. Если прямая L и точка A заданы в пространстве, то в этом случае ортогональной проекцией точки A на прямую L называют точку O пересечения прямой L с перпендикулярной ей плоскостью, проходящей через точку A (рис. 1.8, б). Если точка A лежит на прямой L, то она совпадает со своей ортогональной проекцией на L. L A O 90° а 90° O A L б Рис. 1.8 Для вектора −→ AB (на плоскости или в пространстве) можно построить ортогональные про- екции на прямую L его начала и конца (рис. 1.9). Вектор − −−− → O A O B , соединяющий эти проекции A O A L B O B Рис. 1.9 O A и O B и лежащий на прямой L, называют ортогональной проекцией вектора −→ AB на прямую L. Прямую, на которой задано одно из двух возможных на- правлений, называют осью. Выбранное направление на оси изображают с помощью стрелки на соответствующем конце оси. Ортогональную проекцию − −−− → O A O B вектора −→ AB на ось l можно полностью описать длиной вектора − −−− → O A O B , приписав ей знак, ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 7 указывающий направление вектора. Если направление − −−− → O A O B совпадает с заданным направле- нием оси, то берут знак плюс, а если направление вектора противоположно направлению оси, то берут знак минус. Длину вектора − −−− → O A O B со знаком, определяющим направление этого вектора, называют ортогональной проекцией вектора −→ AB на ось l и обозначают пр l a. Обратим внимание на то, что ортогональной проекцией вектора на ось является число, в то время как ортогональная проекция вектора на прямую — это вектор. Чтобы вектору соответствовало число как его проекция, на прямой нужно выбрать одно из двух возможных направлений. Каждый ненулевой вектор l однозначно определяет ось: его можно рассматривать распо- ложенным на некоторой прямой и задающим на ней направление. Ортогональную проекцию вектора на такую ось называют ортогональной проекцией этого вектора на направле- ние вектора l. Угол между направлениями двух ненулевых векторов называют углом между этими век- торами. Угол может изменяться в пределах от 0 до π. Крайние значения 0 и π отвечают коллинеарным векторам, соответственно однонаправленным и противоположно направлен- ным. Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то угол между такими векторами не определен. Удобно, однако, считать, что в этом случае угол имеет произвольное значение. Так, нулевой вектор коллинеарен любому другому, что формально соответствует углу 0 (или π). Конкретное значение, приписываемое углу между нулевым вектором и каким-либо другим, выбирают исходя из ситуации. Теорема 1.1. Ортогональная проекция вектора a на направление ненулевого вектора l равна длине |a|, умноженной на косинус угла ϕ между векторами a и l, т.е. пр l a = |a| cos( c a, l), где ( c a, l) — угол между векторами a и l. J Пусть вектор l лежит на прямой L, а его началом является точка A. Совместим начало вектора a с точкой A, и пусть его концом будет точка B (рис. 1.10). Построим ортогональную проекцию C точки B на прямую L. Тогда вектор −→ AC является ортогональной проекцией вектора a = −→ AB на прямую L. L A C B l a а L A C B l a à б Рис. 1.10 Если угол ϕ между векторами a и l острый (как это показано на рис. 1.10, а), то конец век- тора l и точка C лежат по одну сторону от точки A. В этом случае проекция a на направление вектора l равна длине |AC| = |AB| cos ϕ катета AC треугольника ABC. Если угол ϕ тупой (см. рис. 1.10, б), то конец вектора l и точка C лежат по разные стороны от точки A. Это значит, что векторы −→ AC и l имеют противоположные направления, а проекция вектора a равна − |AC|. В треугольнике ABC угол ψ, прилежащий к катету AC, равен π − ϕ, поэтому |AC| = |AB| cos(π − ϕ) = − |AB| cos ϕ. Если же ϕ = π 2 или a = 0, то точка C совпадает с точкой A и вектор −→ AC является нулевым вектором. Однако cos π 2 = 0, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справед- ливо. I ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 8 Теорема 1.2. Ортогональная проекция суммы векторов на направление ненулевого векто- ра равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число: пр l (a + b) = пр l a + пр l b, пр l (λa) = λ пр l a. J Доказательство следует из рис. 1.11. В случае, изображенном на рис. 1.11, а, имеем пр l a = = |AB|, пр l b = −|BC|, пр l (a + b) = |AC| = |AB| − |BC|. В случае, изображенном на рис. 1.11, б, пр l a = |AB| и, если λ > 0, пр l (λa) = |AE| = λ|AB|. Остальные варианты (точка C не принадлежит отрезку AB в случае а, λ 6 0 в случае б) рассматриваются аналогично. I A C B a b L l а L A B l a ¸a E б Рис. 1.11 ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÔÍ-12 ÔÍ-12 Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ Ìà ÒÓ ÔÍ -1 2 ÔÍ -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ì Ã Ò Ó Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 Ô Í -1 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Лекция 1. Линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Векторные и скалярные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Типы векторов и их взаимное расположение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. Линейные операции и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4. Ортогональная проекция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9 |