Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики Кафедра общей математики Предельные точки последовательности и множества Матем. анализ листок 7 26 сентября 2011 года Определение: Число ξ (или символ ∞) называется частичным пределом последователь- ности {x n }, если найдется такая ее подпоследовательность {x n k }, что lim n→∞ x n k = ξ. Определение: Назовем наибольший частичный предел последовательности {x n } - верхним пределом последовательности {x n }. Обозначение: lim n→∞ x n Определение: Назовем наименьший частичный предел последовательности {x n } - ниж- ним пределом последовательности {x n }. Обозначение: lim n→∞ x n Теорема: (Принцип Больцано-Коши): Если последовательность ограничена, то у нее существует хотя бы один конечный ча- стичный предел. Теорема: Равенство lim n→∞ x n = lim n→∞ x n . является необходимым и достаточным условием су- ществования предела (конечного или бесконечного) последовательности {x n }. 7.1. (101, 102, 103, 104, 105, 106) Для последовательности {x n } ∞ n=1 найдите sup n x n , inf n x n , lim n→∞ x n , lim n→∞ x n , если: (а) x n = 1 − 1 n ; (б) • x n = (−1) n−1 2 + 3 n ; (в) x n = (−1) n n + 1 + (−1) n 2 ; (г) x n = 1 + n n + 1 cos πn 2 ; (д) x n = 1 + 2(−1) n+1 + 3(−1) n(n−1) 2 ; (е) x n = n − 1 n + 1 cos 2πn 3 ; (ж) x n = (−1) n Замечание: Под sup n x n , inf n x n понимается наибольший наименьший член последова- тельности {x n } ∞ n=1 7.2. (112, 114) Найдите lim n→∞ x n , lim n→∞ x n , если: (а) • x n = 1 + 1 n n (−1) n + sin πn 4 ; (б) x n = n √ 1 + 2 n(−1) n ; (в) x n = 1 + sin πn 4 1 − cos πn 6 ; (г) x n = n ln 1 + (−1) n n 7.3. (Характеризация частичного предела) Число a ∈ R есть частичный предел последовательности x n тогда и только тогда, когда ∀ε > 0 ∀N ∈ N ∃n ∈ N : n N, |x n − a| < ε. 7.4. Постройте последовательность, частичные пределы которой - (а) все целые числа; (б) • все числа из отрезка [0, 1]; (в) все действительные числа; Замечание: Интересным является факт, что, и отрезок [0, 1], и действительная прямая R имеют мощность континуум, а последовательности их приближающие с любой степенью точности - счётны. 7.5. (121, 122) (а) Постройте пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частич- ных пределов данные числа: {a 1 , a 2 , . . . , a n } (б) • Постройте пример числовой последовательности, для которой все члены данной последовательности: {a 1 , a 2 , . . . , a n , . . .} являются ее частичными пределами. Какие еще ча- стичные пределы обязательно имеет построенная последовательность? 7.6. (124) Докажите, что последовательности x n и y n = x n n √ n имеют одни и те же ча- стичные пределы. 7.7. (127, 128) Что можно утверждать о сходимости последовательностей {x n + y n }, {x n · y n }, если: (а) • {x n } - сходится, {y n } - расходится; (б) {x n }, {y n } - расходятся. 7.8. (а) Последовательность {a n } такова, что ее подпоследовательности {a 2n } и {a 2n+1 } сходятся. Сходится ли последовательность {a n }? (б) Последовательность {a n } такова, что ее подпоследовательности {a 2n }, {a 2n+1 } и {a 3n } сходятся. Сходится ли последовательность {a n }? (в) Приведите пример не имеющей предела последовательности {a n }, для которой схо- дится каждая из последовательностей {a mk } ∞ k=1 , m 2 - фиксированное число. 7.9. Постройте пример последовательности, для которой множество всех частичных пре- делов есть 1 n n ∈ N ∪ {0}. 7.10. Докажите, что каждое из следующих множеств, и только оно, не может быть множеством всех частичных пределов некоторой числовой последовательности: (a) • 1 n n ∈ N ; (б) (0, 1); (в) Q; (г) R; 7.11. (а) Докажите, что любая последовательность действительных чисел содержит монотон- ную подпоследовательность. (б) Укажите какую-нибудь строго монотонную подпоследовательность последователь- ности { √ n − √ n }, где α обозначает целую часть числа α. 7.12. Опишите множество A всех частичных пределов монотонной последовательности. 7.13. Докажите, что: (а) • lim n→∞ x n = lim n⇒∞ sup m n x m = inf n sup m n x m ; (б) lim n→∞ x n = lim n⇒∞ inf m n x m = sup n inf m n x m Замечание: Указанные соотношения иногда берутся за определения нижнего и верхнего пределов последовательности. В этом случае доказывается, что выражения, определённые таким образом являются соответственно наименьшим и наибольшим из частичных пределов данной последовательности. 7.14. Найдите множество всех частичных пределов последовательности x n = sin n. 7.15. Множество A ⊂ R называется замкнутым, если для любой последовательности {x n } сходящейся к числу x ∈ R, предел x принадлежит множеству A. Докажите, что любое непустое замкнутое множество A ⊂ R есть множество всех частичных пределов некоторой последовательности {a n } ⊂ R. 7.16. Последовательность неотрицательных чисел {a n } для фиксированных парамет- ров p 0, q 0, p + q < 1 удовлетворяет соотношениям: a n+2 pa n+1 + qa n , n 1. Докажите, что данная последовательность сходится, и найдите её предел. 7.17. Пусть a 1 = 1, a n = 1 n n−1 k=1 a k a n−k при n 2. Докажите, что 2 3 lim n→∞ n |a n | < 1 √ 2 7.18. Определите множество предельных точек множества 3 √ n − 3 √ m, m ∈ N . 7.19. Пусть числовая последовательность {a n } удовлетворяет условию a m+n a m + a n (m, n ∈ N). Докажите, что тогда последовательность a n n должна либо сходится, либо расходится к минус бесконечности. Причём предел этой последовательности будет равен её нижней грани. 7.20. Докажите, что сумма k−ых степеней: S k (n) = 1 k + 2 k + . . . + n k = a 0 + a 1 n + . . . + a k+1 n k+1 − есть многочлен от n степени (k + 1). Установите равенство: lim n→∞ S k (n) n k+1 = 1 k + 1 |