гидравлика и аэродинамика (pdf.io). Муромский институт

Название	Муромский институт
Дата	11.12.2022
Размер	4.92 Mb.
Формат файла
Имя файла	гидравлика и аэродинамика (pdf.io).docx
Тип	Документы #839314
страница	2 из 4

1 2 3 4

2. Примеры плоских течений
Рассмотрим плоское прямолинейное и равномерное установившееся течение несжимаемой жидкости с одинаковой во всём потоке скоростью v_x, параллельной оси ox. В этом случае

v_x= __x= const, v_y= 0_.Отсюда

_=v_xx+k_.

Линии равных потенциалов =const представляют собой прямые, параллельные оси ординат.

Можно положить _o= 0 и k= 0, тогда

 = v_xx_.Функцию тока найдём из условия

_v_x= __y =v_xy+c, c=0_.

Сетка такого плоского течения изображается семейством ортогональных

_{прямых, п}араллельных осям координат, а комплексный потенциал равен ^w⁼^⁺ⁱ^⁼^v_x(^x⁺ⁱ^y)⁼^v_x^z_.

Для прямолинейного течения несжимаемой невязкой жидкости со скоростью

_v, наклонённой к оси абсцисс под углом , будем иметь v_x=vcos , v_y=vsin_.

Откуда

d=vcosdx+vsindy
и

_ =vxcos +vysin_,

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Д^ата

Лист

12

 =vycos −vxsin_.

^Комплексный потенциал такого течения будет иметь вид ^w⁼^⁺ⁱ^⁼^v^x^c^o^s^⁻ⁱ^sⁱⁿ^)⁺^v^y^sⁱⁿ^⁺ⁱ^c^o^s^)⁼⁼^v(^x⁺ⁱ^y)^c^o^s^⁻ⁱ^sⁱⁿ^)⁼^v^z^e⁻ⁱ^^.

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Д^ата

Лист

13

Источник и сток

В качестве следующего примера рассмотрим течения, которые носят название источника и стока.

Пусть невязкая несжимаемая жидкость непрерывно возникает в некоторой точке Р и вытекает в неограниченное пространство с постоянным расходом Qи с одинаковой интенсивностью во всех направлениях ( рис. 59 ). Линии тока этого воображаемого источника будут представлять собой прямые, расходящиеся из точки Р. Это характеризует пространственный источник.

y y

x y

а б Рис. 3
Если жидкость течёт из неограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, течение называется пространственным стоком. Рассмотрим плоский источник и проведём из него как из центра несколько концентрическихокружностейразличногорадиуса. Уравнение неразрывности - уравнение постоянства расхода через любую концентрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту, равную единице, в случае

_несжимаемой жидкости будем иметь Q=v2 r_.

Отсюда скорость

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Д^ата

Лист

14

v= ^Q= ^Q

2 x²+y²и, следовательно,

^^x⁼^v^x⁼^v^c^o^s^⁼^v^r⁼ ( ²+y²)_,^^y⁼^v^y⁼^v^sⁱⁿ^⁼^vy⁼2 x²+y²)_.

Откуда

d = __xdx+ __ydy= ^Q^x^d^x⁺^y^d^y. Интегрируя
_ = ₄_ln x²+y²)+C= ₄_lnr+C_,

где С- константа интегрирования, которая может быть принята равной нулю, если полагать, что на круге r= 1 функция  = 0.

Для определения функции тока воспользуемся выражением
^^x⁼⁻2(x²+y²)^,^^y⁼⁻2⁽x²+y²⁾^,откуда полный дифференциал

_  Qxdy−ydxxy 2 _x²₊_y²_.

После интегрирования имеем

 = ^Qarctg^y+C,

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Д^ата

Лист

15

^y=tg

и С = 0 при y= 0.

Следовательно

^⁼4 ^_.

Потенциал скорости источника (r) может быть интерпретирован в виде семейства концентрических кругов различного радиуса, а функция тока () в виде пучка прямых, исходящих из источника.

^МИВУ.080316.001 КР Изм Лист № докум. Подп. ^Д^ата

Лист

16

1 2 3 4