Математика ответы гдз путин обама пока. Начерт экзамен
 Скачать 6.74 Mb.
|
НАЧЕРТ экзамен1. Предмет «Начертательная геометрия». История развития. Начерта́тельная геоме́трия — наука, изучающая пространственные фигуры при помощи их проецирования (проложения) перпендикулярами на некоторые три плоскости, которые рассматриваются затем совмещёнными одна с другой. В своём классическом произведении «Geometrie descriptive» («Описательная геометрия»), опубликованном в 1798г., Гаспар Монж разработал общую геометрическую теорию, дающую возможность на плоском листе, содержащем ортогональные проекции трёхмерного тела, решать различные стереометрические задачи[1]. Им была создана абстрактная геометрическая модель реального пространства, согласно которой каждой точке трёхмерного пространства ставится в соответствие две её ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости. Со временем, проекционный чертёж, построенный по правилам начертательной геометрии, становится рабочим инструментом инженеров, архитекторов и техников всех стран.[1] Монж использовал в своей теории термины «горизонталь», «горизонтальная линия проекции» и «горизонтальная плоскость проекций», а также «вертикаль», «вертикальная линия проекции» и «вертикальная плоскость проекций». Наличие установившихся терминов в профессиональной среде, по мнению Монжа, является достаточным основанием к отказу от введения в оборот более общей абстрактной терминологии: «Кроме того, поскольку большинство специалистов, применяющих метод проекций. привыкло иметь дело с положением горизонтальной плоскости и направлением линии отвеса, они обычно предполагают, что из двух плоскостей проекций одна — горизонтальная, а другая — вертикальная.[2]» В 1770 году в возрасте 24-х лет Монж занимает должность профессора одновременно по двум кафедрам — математики и физики, и, кроме того, ведёт занятия по резанию камней. Начав с задачи точной резки камней по заданным эскизам применительно к архитектуре и фортификации, Монж пришёл к созданию методов, обобщённых им впоследствии в новой науке – начертательной геометрии, творцом которой он по праву считается. Учитывая возможность применения методов начертательной геометрии в военных целях при строительстве укреплений, руководство Мезьерской школы не допускало открытой публикации вплоть до 1799 года, книга вышла под названием Начертательная геометрия (Géométrie descriptive) (стенографическая запись этих лекций была сделана в 1795 году). Изложенный в ней подход к чтению лекций по этой науке и выполнению упражнений сохранился до наших дней. Еще один значительный труд Монжа – Приложение анализа к геометрии (L’application de l’analyse à la géometrie, 1795) – представляет собой учебник аналитической геометрии, в котором особый акцент делается на дифференциальных соотношениях. 2. Способы проецирования. Проекция точки. Проецирование (лат. Projicio – бросаю вперёд) – процесс получения изображения предмета (пространственного объекта) на какой-либо поверхности с помощью световых или зрительных лучей (лучей, условно соединяющих глаз наблюдателя с какой-либо точкой пространственного объекта), которые называются проецирующими. Известны два метода проецирования: центральное и параллельное. Центральное проецирование заключается в проведении через каждую точку (А, В, С,…) изображаемого объекта и определённым образом выбранный центр проецирования (S) прямой линии (SA, SB, >… — проецирующего луча).  S – центр проецирования (глаз наблюдателя); π1 – плоскость проекций; A, B, C – объекты проецирования – точки; SA, SB – проецирующие прямые (проецирующие лучи). Центральной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через центр проецирования и объект проецирования (точку), с плоскостью проекций. Свойство 1. Каждой точке пространства соответствует единственная проекция, но каждой точке плоскости проекций соответствует множество точек пространства, лежащих на проецирующей прямой. Свойство 2. Проекция прямой есть прямая. методу параллельного проецирования (Рисунок 1.3).Проецирование, при котором проецирующие лучи, проходящие через каждую точку объекта, параллельно выбранному направлению проецирования P, называется параллельным.  Введём обозначения: Введём обозначения: Р – направление проецирования; π1 – горизонтальная плоскость проекций; A, B – объекты проецирования – точки; А1 и В1 – проекции точек А и В на плоскость проекций π1. Параллельной проекцией точки называется точка пересечения проецирующей прямой, параллельной заданному направлению проецирования Р, с плоскостью проекций π1. Ортогональное проецирование. Метод Монжа Если направление проецирования Р перпендикулярно плоскости проекций p1, то проецирование называется прямоугольным (Рисунок 1.4), или ортогональным (греч. ortos – прямой, gonia – угол), если Р не перпендикулярно π1, то проецирование называется косоугольным.  3. Геометрическая модель пространства. Эпюра Монжа. и 4. Эпюра точки в системе трех плоскостей проекций. Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координатных осей — системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей.  Для того чтобы получить плоскую (двумерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную и профильную плоскости совмещают с фронтальной (плоскостью чертежа). Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций, которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюрой Монжа.  Проецирование точки в четырех пространственных углах.     Или     5. Проецирование точки в первом пространственном углу. Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая её точка проецируется ортогонально на плоскости проекций П1, П2 и П3, которые затем совмещаются на одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюрой Монжа. Рассмотрим порядок построения эпюры точки, расположенной в первом пространственном углу. Изображена в пространтсве точка А, координаты которой: Xa=OAy, Ya=OAx, Za=OAz Для того, чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А:А1-горизонтальную проекцию точки; А2-фронтальную проекцию точки; А3-профильную проекцию точки. На рис. Плоскости проекций П1 и П3 совмещены с плоскостью чертежа, а вместе с ними совмещены с плоскостью чертежа и проекции точки А(А1,А2 и А3) и таким образом получена плоскостная модель пространственной точки А-её эпюра.  Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется её тремя координатами: ОАх=А1Ау=А3Аz=Xа-абсциссой точки А; ОАу=А1Ах=А3Аz=Уа-ординатой точки А; ОАz=А3Ах=А3Ау=Zа-апликатой точки А 6. Проецирование точки во втором пространственном углу. Две проекции точки однозначно определяют её положение в пространстве. Следовательно, по двум проекциям точки можно определить все её координаты, построить третью проекцию и аксонометрическое изображение точки в пространстве. Пример 1. По заданной эпюре точки А определить её координаты, положение в пространстве и построить профильную проекцию и фронтальную аксонометрию. Порядок решения задачи: 1. Определить координаты точки: Ха=ОАх=4; Уа=А1Ах=ОАу=-2; Zа=А2Ах=ОАz=3 2. Определить положение точки в пространстве. По знакам координат нетрудно определить положение точки в пространстве: 2 угол: +х,-  Рассмотрены только положительные значения по оси х, поэтому видны 4-гранные углы (при отрицательных значениях х таких углов будет 8). Знаки координат в угловых пространствах:  7. Проецирование точки в третьем пространственном углу. Для того, чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А: А1-горизонтальную проекцию точки; А2-фронтальную проекцию точки; А3-профильную проекцию точки. Так третий пространственный угол имеет координаты: (x; -y; -z) Положение проекций точки А на эпюре определяется её тремя координатами: ОАх=А1-Ау=А3-Аz=Xа-абсциссой точки А; О-Ау=А1Ах=А3-Аz=Уа-ординатой точки А; О-Аz=А3Ах=А3-Ау=Zа-апликатой точки А. Рассмотрены только положительные значения по оси х, поэтому видны 4-гранные углы (при отрицательных значениях х таких углов будет 8). Знаки координат в угловых пространствах: 8. Проецирование точки в четвертом пространственном углу. Для того, чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А: А1-горизонтальную проекцию точки; А2-фронтальную проекцию точки; А3-профильную проекцию точки. Так четвёртый пространственный угол имеет координаты: (x; y; -z) Положение проекций точки А на эпюре определяется её тремя координатами: ОАх=А1Ау=А3-Аz=Xа-абсциссой точки А; ОАу=А1Ах=А3-Аz=Уа-ординатой точки А; О-Аz=А3Ах=А3Ау=Zа-апликатой точки А. Положение любой точки в пространстве может быть определено, если будет задана координатная система. Удобной для этой цели является декартова система координат. На рис. 2.1 представлен ее макет, в котором обозначены: π1 – горизонтальная плоскость проекций; π2 – фронтальная плоскость проекций; π3 – профильная плоскость проекций. Линии пересечения плоскостей оси координат: x, y, z. Точка О – начало координат. 9. Способы задания прямой на эпюре. Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.  Рисунок 2.1 – Проекции прямой Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения. Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка. 10. Прямая. Частные положения прямой. Прямые параллельные или перпендикулярные координатным плоскостям проекций называются прямыми частного положения. Они делятся на: ПРЯМЫЕ УРОВНЯ- прямые параллельные координатным плоскостям проекций и на ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ - это прямые перпендикулярные координатным плоскостям проекций. ПРЯМЫЕ УРОВНЯ ГОРИЗОНТАЛЬ (h // H)   ФРОНТАЛЬ (f // V)   ПРОФИЛЬНАЯ ПРЯМАЯ (P // W)   11. Горизонтальная прямая. Признаки и свойства. Горизонтальная прямая (горизонталь) - прямая параллельная горизонтальной плоскости проекции: h ║ H. Горизонтальная прямая имеет все точки удаленными на одинаковое расстояние от плоскости H: - фронтальная проекция любой горизонтали параллельна оси x: h" ║ x; - профильная проекция горизонтальной прямой - оси y: h"` ║ y; - горизонтальная проекция горизонтальной прямой может занимать любое положение. Признаки и свойства на эпюре : 1) Фронтальная проекция горизонтали h" располагается параллельно оси Oх (или в безосном чертеже перпендикулярно линиям связи); 2) На горизонтальную плоскость проекций без искажения проецируются: - отрезок, принадлежащий горизонтали h: |A`B`|=|AB|; - углы наклона его к фронтальной (β) и профильной (γ) плоскостям проекций. 12. Фронтальная прямая. Признаки и свойства. Фронтальная прямая (фронталь) - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекции: υ ║ V. Фронтальная прямая υ имеет все точки удаленными на одинаковое расстояние от фронтальной плоскости проекции V: - горизонтальная проекция фронтали параллельна оси x: υ` ║ x; - профильная оси z: υ`" ║ z; - фронтальная проекция υ" может занимать любое положение. Признаки и свойства на эпюре : 1) Горизонтальная проекция f` располагается параллельно оси Oх (или в безосном чертеже перпендикулярно линиям связи); 2) На фронтальную плоскость проекций V без искажения проецируются: - отрезок AB, принадлежащий фронтали f: |A"B"|=|AB|; - углы наклона отрезка AB: - α - к горизонтальной плоскости проекций; - γ - к профильной плоскости проекций. 13. Принадлежность точки прямой линии. Если точка принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат одноименным проекциям этой прямой. Обратное заключение справедливо для всех прямых кроме профильных уровня.  Проекции точки D лежат на одноименных проекциях прямой АВ, следовательно, точка D принадлежит прямой АВ. Фронтальная проекция точки С принадлежит фронтальной проекции прямой АВ, а горизонтальная проекция С1 не лежит на горизонтальной проекции прямой АВ, следовательно, точка С не принадлежит прямой АВ. 14. Взаимное положение двух прямых. Взаимное расположение прямых линий может быть представлено следующим образом: быть параллельными, пересекаться, скрещиваться. 1. Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.  Проекции параллельных прямых на любую плоскость проекций (не перпендикулярную данным прямым) — параллельны. 2. Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.  Прямые пересекаются, если их одноименные проекции также пересекаются, а проекции точки пересечения лежат на одной линии связи. 3. Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.  Прямые скрещиваются, если они не пересекаются и не параллельны между собой, а точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи. 15. Следы прямой линии. Характеристика прямой. Следом прямой называется точка ее пересечения с плоскостью проекций (Н, F, P). В системе двух плоскостей проекций (π1 π2) прямая в общем случае имеет два следа: горизонтальный Н и фронтальный F — точки пересечения прямой с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций. Горизонтальный след: H = АВ ∩ π1, (z = 0). Фронтальный след: F = АВ ∩ π2, (у = 0).  16. Способы определения натуральной величины отрезка прямой. 1.Замена плоскостей проекций.  2.Параллельный перенос.  3.Вращение (поворот вокруг оси).  17. Определение углов наклона прямой к плоскостям проекций. Угол наклона прямой к плоскости равен углу между этой прямой и ее проекцией на плоскость 18. Способы задания плоскости на эпюре. тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой, взятой вне прямой; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными прямыми; плоской фигурой. следами 19. Плоскость. Главные линии плоскости. Положение плоскости в пространстве определяется: -тремя точками, не лежащими на одной прямой; -прямой и точкой, взятой вне прямой; -двумя пересекающимися прямыми; -двумя параллельными прямыми; -плоской фигурой. В соответствии с этим на эпюре плоскость может быть задана: -проекциями трёх точек, не лежащих на одной прямой (а); -проекциями точки и прямой (б); -проекциями двух пересекающихся прямых (в); -проекциями двух параллельных прямых (г); -плоской фигурой (д); -следами плоскости; -линией наибольшего ската плоскости.  Плоскость общего положения – это плоскость, которая не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций. Следом плоскости называется прямая, полученная в результате пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций. Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций. Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии. К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относят горизонтали, фронтали, профильные прямыми линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций. Горизонтали принято обозначать на чертежах буквой h. Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций π2. Фронтали принято обозначать на чертежах буквой f. Линиями наибольшего наклона (линия наибольшего ската) плоскости к плоскостям π1, π2, π3 называют прямые, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные к ее горизонталям, фронталям, или к профильным прямым. Соответственно определяется наклон плоскости к плоскостям π1, π2, π3. 20. Горизонталь плоскости. Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций. Горизонтали принято обозначать на чертежах буквой h. Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций π2. Фронтали принято обозначать на чертежах буквой f. Линиями наибольшего наклона (линия наибольшего ската) плоскости к плоскостям π1, π2, π3 называют прямые, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные к ее горизонталям, фронталям, или к профильным прямым. Соответственно определяется наклон плоскости к плоскостям π1, π2, π3. 21. Фронталь плоскости. Фронталь плоскости - прямая (f), принадлежащая этой плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций.   Фронталь является прямой, параллельной фронтальной плоскости, и ее горизонтальная проекция ф параллельна оси х. Фронталь Ф, ее фронтальная проекция ф? и фронтальный след Pv взаимно параллельны. У каждой плоскости есть бесчисленное множество фронталей. Все фронтали данной плоскости параллельны, за исключением плоскости, параллельной фронтальной плоскости. Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости. Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.  22. Принадлежность прямой и точки плоскости. Через любую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости. Точка принадлежит прямой, если её проекции лежат на одноимённых проекциях этой прямой (рис. 21а). Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, лежащей в этой плоскости (рис.21б). Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, лежащие в этой плоскости (рис.21в).  2. Параллельность прямой и плоскости Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости. На рисунке 22 изображена прямая t, параллельная прямой b, принадлежащей плоскости Σ: t // b Î Σ (aÇb).  Рисунок 22 Через любую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной плоскости. 3. Пересечение прямой и плоскости Это задача на определение общей точки прямой и плоскости. Её называют также точкой встречи. Рассмотрим пересечение прямой с плоскостью частного положения. Плоскость Σ задана треугольником АВС и является горизонтально проецирующей плоскостью. Точка встречи прямой k с плоскостью Σ определяется по горизонтальной проекции. Фронтальная проекция точки К достраивается с помощью линии связи. Символическая запись будет выглядеть следующим образом: k ÇΣ (ABC) = K. Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи фронтально-конкурирующих точек 1 и 2.  Рисунок 23 Пересечение прямой с плоскостью общего положения изображено на рисунке 24. В этом случае нужно заключить прямую в проецирующую плоскость. t Î Σ ^ П2 – прямая t принадлежит плоскости Σ, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций. Линия пересечения этой плоскости с данной - линия (1, 2). Затем находится точка пересечения этой линии с прямой t , которая и будет являться точкой встречи прямой и плоскости. Видимость прямой относительно плоскости определяется при помощи конкурирующих точек. Возьмем горизонтально конкурирующие точки 3 и 4. Так как точка 3, принадлежащая прямой, оказалась ниже чем точка 4, следовательно, прямая на горизонтальной плоскости справа от точки пересечения невидима. Затем берем фронтально конкурирующие точки 1 и 5. Точка 1, принадлежащая плоскости, лежит ближе, следовательно, прямая находится за плоскостью, и она на фронтальной проекции невидима от точки 1 до точки К.  Рисунок 24 4. Особые прямые в плоскости К особым прямым, принадлежащим плоскости, относятся горизонталь, фронталь и профильная прямая. Построение этих прямых используется при решении многих задач по начертательной геометрии. Их изображение дано на рисунке 25. Причём на горизонтальной плоскости горизонталь имеет натуральную величину, на фронтальной плоскости - фронталь и на профильной плоскости – профильная прямая.  Рисунок 25 23. Частные положения плоскостей. Плоскость частного положения – плоскость, перпендикулярная или параллельная плоскости проекций. Плоскость, перпендикулярная плоскости проекций, называется проецирующей и на эту плоскость проекций она будет проецироваться в виде прямой линии. Свойство проецирующей плоскости: все точки, линии, плоские фигуры, принадлежащие проецирующей плоскости, имеют проекции на наклонном следе плоскости (Рисунок 3.3).  Рисунок 3.3 – Фронтально-проецирующая плоскость, которой принадлежат: точки А, В, С; линии АС, АВ, ВС; плоскость треугольника АВС Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, а). Горизонтально-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, б). Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций. Плоскости, параллельные плоскостям проекций, называются плоскостями уровня или дважды проецирующими плоскостями. Фронтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, в). Горизонтальная плоскость уровня – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (Рисунок 3.4, г). Профильная плоскость уровня – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (Рисунок 3.4, д).  Рисунок 3.4 – Эпюры плоскостей частного положения 24. Плоскости, параллельные плоскостям проекций. 1. Горизонтальная плоскость π1. Плоскость γ, параллельная плоскости π1, называется горизонтальной Любая фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину (Δ А1В1С1 = ΔАВС). Фронтальный след этой плоскости параллелен оси Х 2. Фронтальная плоскость π2. Плоскость параллельная плоскости π2, называется фронтальной.  Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций Любая фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на фронтальную плоскость проекций без искажения, т. е. в натуральную величину. Горизонтальный след фронтальной плоскости параллелен оси Х. •Плоскость, параллельная профильной плоскости проекций П3, называется профильной плоскостью 25. Горизонтально проецирующая плоскость. Признаки и свойства. 1. Горизонтально-проецирующая плоскость aπ1.  Рис. 2.13. Горизонтально-проецирующая плоскость Плоскость α, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекции π1, называется горизонтально-проецирующей (рис. 2.13). Горизонтально-проецирующая плоскость задается горизонтальным следом плоскости δ1 , который является геометрическим местом горизонтальных проекций всех точек, принадлежащих данной плоскости. Основным свойством горизонтально-проецирующей плоскости является то, что любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на π1 в прямую линию (горизонтальный след плоскости h0a).  Рис. 36. Комплексный чертеж горизонтально-проецирующей плоскости δ(δ1): Углы наклона горизонтально-проецирующей плоскости к П2 и П3 проецируются на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину  26. Фронтально проецирующая плоскость. Признаки и свойства. Фронтально-проецирующая плоскость γ(γ2)⊥ П2 – плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П2, задается фронтальным следом плоскости γ2 (рис. 37, 38).  Рис. 37. Фронтально-проецирующая плоскость γ(γ2):  Рис. 38. Комплексный чертеж фронтально-проецирующей плоскости γ(γ2):  Проекции всех линий и точек, лежащих во фронтально-проецирующей плоскости, совпадают с фронтальным следом этой плоскости. Углы наклона фронтально-проецирующей плоскости к П1 и П3 проецируются на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. Основным свойством фронтально-проецирующей плоскости является то, что любая фигура. Расположенная в этой плоскости, проецируется на π2 в прямую линию (фронтальный след плоскости f0b). Угол α, который составляет фронтальный след плоскости f0b с координатной осью Х, равен углу наклона плоскости β к плоскости проекций π1. Горизонтальный след такой плоскости перпендикулярен оси Х. 27. Взаимно параллельные плоскости. Для параллельных плоскостей справедливо следующее утверждение: если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, эти плоскости параллельны друг другу. 28. Взаимно перпендикулярные плоскости. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам. Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если они образуют прямые двугранные углы. Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно к линии пересечения плоскостей, перпендикулярна к другой плоскости. 29. Многогранники. Правильные многогранники. Формула Эйлера. Многогранником называется геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Линии пересечения граней (стороны многоугольников) - ребра многогранника, а точки пересечения ребер - его вершины. По числу граней многогранники бывают четырехгранные, пятигранные и т. д. Различают многогранники выпуклые и вогнутые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от любой своей грани. Правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, у которого все грани одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Наиболее распространенными в инженерной практике многогранниками являются пирамиды и призмы. Для всех выпуклых многогранников справедлива теорема Эйлера: «Во всяком выпуклом многограннике число его вершин (В), плюс число граней (Г), минус число ребер (Р) равно двум В+Г-Ρ=2». Формула Эйлера используется для проверки многогранника на то, что он является правильным. Правильные многогранники: Тетраэдр Гексаэдр Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр 30. Поверхности. Принадлежность точки поверхности. Поверхность многогранника представляет собой совокупность граней, являющихся плоскостями. О принадлежности точки и прямой плоскости мы знаем: точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, принадлежащей этой плоскости, а прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости (см. тему «Прямая и точка в плоскости»). Привязав эти правила к поверхности многогранника, можно сделать вывод: точка принадлежит поверхности многогранника, если она находится на прямой, расположенной на его грани, а прямая принадлежит грани, если две точки этой прямой находятся на этой грани. На конкретном примере покажем поэтапное построение пирамиды и определение проекций точки и прямой на её поверхности. Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется вращением произвольной кривой l, называемой образующей, вокруг оси i Рассмотрим основные типы поверхностей вращения. 1). Сфера. 2). Глобоид. 3). Тор. 4). Эллипсоид вращения. 5). Гиперболоид вращения. 6). Параболоид вращения. Принадлежность точки кривой поверхности Точка принадлежит некоторой поверхности, если она находится на линии, расположенной на этой поверхности. Предпочтение отдается простейшим линиям: прямым и окружностям. Принадлежность линии кривой поверхности Линия принадлежит поверхности, если все ее точки принадлежат этой поверхности. |