Математика. математика. Найти область определения функции, изобразить ее
 Скачать 43.82 Kb.
|
|
Задание 1. Найти область определения функции  , изобразить ее.Подкоренное выражение должно быть неотрицательным и не может обращаться в ноль, получим строгое неравенство:    Уравнение  определяет эллипс, вершины эллипса находятся в точках  которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» эллипса. Берем произвольную точку плоскости, например начало координат  , принадлежащую эллипсу и подставим ее координаты в неравенство : получено верное неравенство, таким образом, точка удовлетворяет неравенству как и любая точка, лежащая внутри эллипса. Берем произвольную точку плоскости, например  , не принадлежащую эллипсу и подставим ее координаты в неравенство : получено неверное неравенство, таким образом, точка не удовлетворяет неравенству как и любая точка, лежащая вне эллипса. Таким образом, искомая область определения внутренняя область эллипса  Задание 2. Найти частные производные 1-го порядка:    Задание 3. Найти полный дифференциал функции  Полный дифференциал первого рода функции двух переменных имеет вид:     Задание 4. Дана функция  . Найти ее приближенное значение в т.  , исходя из ее точного значения в т.  .Используем формулу    Вычислим значение функции в точке  : Дифференциал функции в точке  найдем по формуле: Вычисли частные производные 1-го порядка в точке  :    Полный дифференциал в точке   Таким образом по формуле приближенное значение функции в точке   Задание 5. Показать что функция  удовлетворяет уравнению  .Найдем частные производные 1-го порядка:   Найдем частные производные 2-го порядка:   Подставим  и  в левую часть уравнения  Получена правая часть данного уравнения, поэтому данная функция удовлетворяет данному уравнению Задание 6. Исследовать на экстремум функцию  .Найдем частные производные 1-го порядка:   Получена система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.  Из второго уравнения выразим  и подставим в первое уравнение:       стационарная точкаПроверка:   Применим достаточное условие экстремума функции двух переменных Найдем частные производные 2-го порядка в точке     Обозначим  Частные производные 2-го порядка равны константам, значит соответствующим константам они равны и в точке  :   Тогда:  Следовательно в точке есть экстремум, т.к.  , то это минимум:  |