Сопромат. сопромат. возможно пригодится. Напряженнодеформированное состояние в окрестности точки тела Напряженное состояние в окрестности
 Скачать 480.04 Kb.
|
|
§ 4.6. Потенциальная энергия деформации Внешние силы, приложенные к телу, совершают работу на вызы- ваемых ими перемещениях. В результате этого происходит накопление по- тенциальной энергии деформации, которая при удалении внешних сил расхо- дуется на восстановление первоначального недеформированного состояния тела. Если тело при нагружении испытывает только упругие деформации, то потенциальная энергия деформации численно равна работе сил, затраченных на деформацию тела. Энергия, накапливаемая в единице объема тела, называ- ется удельной энергией. При одноосном напряженном состоянии удельная потенциальная энер- гия деформации определяется по формуле (3.23) (часть 1) 2 1 0 σε = U В общем случае трехмерной задачи выражение для U 0 можно записать в виде ( ) . U zх zx yz yz xy xy z z y y x x γ τ + γ τ + γ τ + ε σ + ε σ + ε σ = 2 1 0 (4.34) Это выражение называется формулой Клапейрона. Удельную потенциальную энергию можно выразить через напряжения, если в (4.34) подставить значения деформаций из закона Гука (4.25). После несложных преобразований получим ( ) ] [ ( ) (4.35) ⋅ τ + τ + τ ν + + + σ σ + σ σ + σ σ ν − σ + σ + σ = 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 1 zx yz xy x z z y y x z y x E E U МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 21 Для нахождения полной потенциальной энергии, накапливаемой в теле, необходимо произвести интегрирование по всему объему V тела 0 ∫∫∫ = V dV U U (4.36) В дальнейшем при рассмотрении вопросов прочности при трехосном и двухосном напряженных состояниях потребуется представление удельной потенциальной энергии в виде двух слагаемых: энергии изменения объема и энергии изменения формы об U 0 ф 0 U . U U U об ф 0 0 0 + = (4.37) Такое разделение энергии на две части необходимо, поскольку, проч- ность материалов в основном определяется энергией формоизменения. Энер- гия изменения объема на прочность существенно не влияет. Величина находится аналогично выражению (4.34) как половина суммы произведений средних напряжений σ об U 0 0 , действующих на трех взаимно перпендикулярных площадках, и средних деформаций ε 0 , определяемых по формулам (4.27), (4.29) . U об 0 0 0 2 1 3 ε σ ⋅ = (4.38) На основании (4.28) и (4.29) получим ( ) 2 2 1 3 2 0 0 σ ν − = E U об (4.39) Величина может быть найдена путем вычитания выражения (4.39) из (4.35) ф 0 U ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ) . ( . Е E U U U zx yz xy x z z y y x об 40 4 1 6 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 τ + τ + τ ν + + σ − σ + + σ − σ + σ − σ ν + = − = ф Выражения (4.35) и (4.40) более просто записываются через главные напряжения ( [ ] ; 2 2 1 1 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 0 σ σ + σ σ + σ σ ν − σ + σ + σ = ) E U (4.41) ( ) [ ( ) ( ] . E U 2 1 3 2 3 2 2 2 1 0 6 1 σ − σ + σ − σ + σ − σ ν ) + = ф (4.42) Для двухосновного напряженного состояния формулы (4.35), (4.39), (4.40) преобразуются к виду МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 22 ( ) [ ] ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ τ + σ σ − σ + σ ν + = σ + σ ν − = τ ν + + σ νσ − σ + σ = . E U ; E U ; E U xy y x y x y x об xy y x y x 2 2 2 0 2 0 2 2 2 0 3 3 1 6 2 1 1 2 2 2 1 ф (4.43) Пример 4.1. В точке тела известны напряжения на площадках, перпен- дикулярных к координатным осям (рис.4.22,а) σ x = − 40 МПа , σ у = 160 МПа , τ ху = 60 МПа , σ z = τ yz = τ zx = 0. Материал − сталь. Модуль упругости и коэф- фициент Пуассона равны Е = 2,1 ⋅10 5 МПа , ν = 0,3. y z x σ y τ xy τ yx σ x О dx dy dz y x О σ 1 σ 2 σ 1 σ 2 1 2 α 1 α 2 а) τ нб σ′ y t x ν О σ ν σ ν α = 20 о τ t ν τ t ν σ t τ νt σ t τ νt б) в) 45 о τ нб σ′ 2 σ′ τ нб τ нб σ′ 1 г) О Рис.4.22 Установим вид напряженного состояния, который определяется значе- ниями главных напряжений (см. § 4.1). Так как на площадке, перпендикуляр- ной к оси Oz, касательные напряжения равны нулю ( τ yz = τ zx = 0), эта пло- щадка является главной. При этом главное напряжение σ 3 = σ z = 0. Величины других главных напряжений и углы наклона нормалей к главным площадкам определим по формулам (4.8) и (4.9). МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 23 ; 60 2 160 40 2 160 40 2 2 2 2 2 2 2 , 1 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − ± + − = = τ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ − σ ± σ + σ = σ xy y x y x σ 1 = 176,6 МПа , σ 2 = − 56,6 МПа ; , 61 , 3 160 6 , 176 60 1 1 = − = σ − σ τ = α y tg , 2 3 74 1 ′ = α о , 277 , 0 160 6 , 56 60 2 2 − = − − = σ − σ τ = α y tg . 8 2 15 2 ′ − = α о Поскольку отличными от нуля являются два главных напряжения, на- пряженное состояние в данной точке тела является двухосным. Положение главных площадок показано на рис.4.22,б. Для контроля правильности вычислений сделаем проверку. ( ) 120 160 40 6 , 56 6 , 176 2 1 = + − = − + = σ + σ = σ + σ y x МПа ; . о о о 90 8 2 15 2 3 74 2 1 = ′ + ′ = α + α Таким образом, сумма нормальных напряжений на двух взаимно пер- пендикулярных площадках является постоянной величиной и главные оси напряженного состояния взаимно перпендикулярны. Определим по формуле (4.11) величины наибольших касательных на- пряжений, которые действуют на площадках с углами наклона ± 45 о к глав- ным площадкам (рис.4.22,в). ( ) 116 2 6 , 56 6 , 176 2 2 1 = − − = σ − σ = τ нб МПа . Нормальные напряжения на этих площадках согласно формуле (4.12) равны: ( ) 60 2 6 , 56 6 , 176 2 2 1 = − + = σ + σ = σ′ МПа . Определим по формулам (4.4) напряжения на взаимно перпендикуляр- ных площадках с нормалями ν и t . Угол наклона нормали ν к оси Ox α = = 20 о (рис.4.22,г). МПа ; 96 21 40 60 20 160 20 40 2 2 , sin sin cos = + + − = σ ν о о о МПа ; 04 98 40 60 20 160 20 40 2 2 , sin cos sin ) ( t = − + − = σ о о о τ t ν 2 110 40 60 40 2 60 40 , cos sin = + − − − = о о МПа . На рис.4.23 построен круг Мора, с помощью которого можно графиче- ски определить найденные выше напряжения и углы наклона нормалей к площадкам, на которых они действуют. Величины напряжений измеряются с МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 24 помощью принятого масштаба, а углы наклона нормалей − по транспортиру. Результаты аналитического и графического расчетов совпадают. • C σ 1 σ = y 160 σ =− x 40 σ ν τ t ν τ σ τ нб K ( ) полюс τ = xy 60 σ = t 98 σ 2 α =− ′ 2 15 30 o α = 1 74 30 о ′ σ′=60 σ′ τ νt σ t α = 20 ο σ = 1 177 σ = ν 22 σ =− 2 57 τ = tν 11 0 τ = нб 11 6 0 50 100 150 200 МПа м а с ш т а б O Рис.4.23 Исследуем деформированное состояние тела в окрестности рассматри- ваемой точки. Определим с помощью закона Гука линейные, угловые и объ- емную деформации. ( ) ( ) , , , , E y x x 4 5 10 19 4 160 3 0 40 10 1 2 1 1 − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ = νσ − σ = ε ( ) ( ) ( ) , , , , E x y y 4 5 10 19 8 40 3 0 160 10 1 2 1 1 − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = νσ − σ = ε ( ) ( ) , , , , E y x z 4 5 10 71 1 160 40 10 1 2 3 0 − ⋅ − = + − ⋅ − = σ + σ ν − = ε , 10 29 , 2 e 4 z y x − ⋅ = ε + ε + ε = , , , G xy xy 4 5 10 43 7 60 10 808 0 1 1 − ⋅ = ⋅ ⋅ = τ = γ 0 = = zx yz γ γ Здесь ( ) ( ) 5 5 10 808 0 3 0 1 2 10 1 2 1 2 ⋅ = + ⋅ = ν + = , , , E G − модуль сдвига. Характер деформаций элементарного параллелепипеда показан на рис.4.24,а,б. Ребра параллелепипеда, параллельные осям Ox и Oz испыты- вают деформацию укорочения, ребра , параллельные оси Oy − деформацию удлинения. В плоскостях, параллельных плоскости Oxy, происходит искаже- МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 25 ние прямого угла на величину γ ху Объем бесконечно малого параллелепипе- да увеличивается. y z x О ε x dx ε y dy dz а) ε z dz y x О б) z γ xy Рис.4.24 В заключение определим полную удельную потенциальную энергию деформации, энергию изменения объема и энергию изменения формы в окре- стности рассматриваемой точки. ( ) [ ( ) − − + ⋅ ⋅ = σ νσ − σ + σ = 2 2 5 2 1 2 2 2 1 0 6 56 6 176 10 1 2 2 1 2 2 1 , , , E U − 2⋅0,3(176,6(− 56,6)] = 0,0962 МПа; ( ) ( ) ( ) 00457 0 3 6 56 6 176 10 1 2 2 3 0 2 1 3 2 2 1 3 2 5 2 0 0 , , , , , E U об = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + ⋅ ⋅ ⋅ − = σ ν − = МПа; ( ) ( ) [ − − + ⋅ ⋅ + = σ σ − σ + σ ν + = 2 2 5 2 1 2 2 2 1 0 6 56 6 176 10 1 2 3 3 0 1 3 1 , , , , E U ф ( ) ] 0918 0 6 56 6 176 , , , = − − МПа . |