Сопромат. сопромат. возможно пригодится. Напряженнодеформированное состояние в окрестности точки тела Напряженное состояние в окрестности
 Скачать 480.04 Kb.
|
|
МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 4 ГЛАВА 4 НАПРЯЖЕННО−ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА § 4.1. Напряженное состояние в окрестности точки тела и его виды Под действием внешних сил, приложенных к телу, в нем возни- кают внутренние силы, которые определяются величинами нормальных и ка- сательных напряжений в каждой точке тела. Совокупность напряжений, действующих на различных площадках, проведенных через точку тела, ха- рактеризует напряженное состояние в окрестности данной точки. Вырежем мысленно в окрестности произвольной точки тела (рис.4.1) элементарный параллелепипед с размерами dx, dy, dz (рис.4.2). Вектор пол- ного напряжения на каждой грани можно разложить на три составляющих по координатным осям. Например, на грани, перпендикулярной к оси Ox, этими составляющими являются нормальное напряжение σ x и касательные напря- жения τ yx и τ zx . Индекс у нормального напряжения указывает нормаль к площадке, на которой оно действует. Первый индекс у касательного напря- жения обозначает ось, параллельно которой оно направлено, а второй − нор- маль к площадке, на которой оно действует. dx dy dz o x y z y z x σ x σ y σ z τ xy τ yx τ xz τ zx τ yz τ zy τ xz σ x σ z τ xz τ yz σ y τ zy τ yx τ xy Р ис.4.1 Рис.4.2 Напряжения являются непрерывными функциями координат точек тела. Вследствие малости элементарного параллелепипеда можно считать, что на- пряжения на его параллельных гранях одинаковы по величине и равномерно распределены по площадкам граней. МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 5 Нормальное напряжение считается положительным, если оно направ- лено в сторону внешней нормали к площадке. В соответствии с этим растяги- вающее напряжение считается положительным, а сжимающее − отрицатель- ным. Для касательных напряжений применяется следующее правило знаков. На площадке, внешняя нормаль к которой направлена в положительном (от- рицательном) направлении соответствующей оси, касательное напряжение считается положительным, если оно также направлено в положительном (от- рицательном) направлении оси. На рис.4.2 показаны положительные напря- жения. Составим уравнения моментов сил, действующих на элементарный па- раллелепипед, относительно оси, проходящей через центры горизонтальных граней. Для этого нужно равнодействующие касательных напряжений τ yx dydz и τ xy dxdz, действующих на вертикальных гранях, умножить на расстояния от центров этих граней до указанной оси: 0 2 2 2 2 = ⋅ τ − ⋅ τ dy dxdz dx dydz xy yx Из этого равенства получим τ ух = τ ху . Точно также можно получить еще два аналогичных равенства. В результате будем иметь следующие три соот- ношения: . ; ; xz zx zy yz ух ху τ = τ τ = τ τ = τ (4.1) Эти равенства выражают закон парности касательных напряжений, со- гласно которому касательные напряжения, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках, равны по величине и направлены либо к ли- нии пересечения этих площадок, либо от этой линии. В силу закона парности на трех взаимно перпендикулярных площадках, проведенных через точку тела, имеем шесть искомых напряжений σ х , σ у , σ z , τ ху , τ уz , τ zx . Совокупность этих напряжений представим в виде матрицы , T z zy zx yz y yx xz xy x ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ σ τ τ τ σ τ τ τ σ = σ (4.2) которая называется тензором напряжений. Можно показать, что указанные шесть напряжений полностью опреде- ляют напряженное состояние в окрестности рассматриваемой точки тела. Это означает, что зная эти шесть величин можно найти напряжения на любой на- клонной площадке, проходящей через данную точку. Следовательно, напря- женное состояние в окрестности точки характеризуется тензором напряже- ний. Известно понятие числа и понятие вектора, как величины, определяемой тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой тензор. Тензору напряжений в отличие от век- тора нельзя дать простое геометрическое толкование. МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 6 В теории упругости доказывается, что в любой точке нагруженного те- ла всегда существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Такие площадки называются главными площадками, а действующие на них нормальные напряжения, − главными на- пряжениями. Обозначим величины главных напряжений через σ 1 , σ 2 , σ 3 При этом будем считать, что σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 Главные напряжения являются экстремальными величинами. Напряже- ние σ 1 представляет собой наибольшее, а σ 3 − наименьшее среди нормаль- ных напряжений на различных площадках, проходящих через данную точку. 1 2 3 σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 σ 3 σ 3 1 2 3 σ 1 σ 1 а) б) в) 1 2 3 σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 Рис . 4.3 На рис.4.3, а показан элементарный параллелепипед, грани которого яв- ляются главными площадками, а нормали к ним, оси 1, 2, 3 − главными ося- ми напряженного состояния. При расчете элементов конструкций на прочность необходимо знать в каждой точке вид напряженного состояния, который характеризуется значе- ниями главных напряжений. Существуют три основных вида напряженного состояния: трехосное, при котором все три главных напряжения σ 1 , σ 2 , σ 3 отличны от нуля (рис.4.3, а); двухосное, при котором одно из главных напря- жений равно нулю (рис.4.3, б), и одноосное, при котором только одно из глав- ных напряжений отлично от нуля (рис.4.3,в). Наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение действу- ет на площадках, наклоненных под углом 45 o к главным осям 1 и 3, и равно 2 3 1 σ − σ = τ нб . (4.3) § 4.2. Двухосное напряженное состояние Рассмотрим тонкую пластину, нагруженную по внешнему конту- ру силами, параллельными плоскости Oxy и равномерно распределенными по толщине h (рис.4.4). На внешних ненагруженных плоскостях пластины нормальные и касательные напряжения равны нулю ( σ z = τ уz = τ zx = 0). Так как толщина пластины мала, можно считать, что и во внутренних точках пла- стины на площадках, параллельных плоскости Oxy, эти напряжения отсутст- МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 7 вуют и указанные площадки являются главными. Такое напряженное состоя- ние называется двухосным или плоским напряженным состоянием. Плоское напряженное состояние возникает в элементах тонкостенных стержней, пластин и оболочек и, в частности, в стеновых панелях зданий, ра- ботающих в основном на сжатие в двух направлениях, в стенках резервуаров, в стенках двутавровых и швеллерных балок. На рис.4.5 показаны нормальные и касательные напряжения σ х , σ у , σ z , τ ху , τ ух , действующие на гранях элементарного параллелепипеда со сторона- ми dx, dy, h, выделенного в окрестности произвольной точки пластины. При этом τ ху = τ ух x y О σ x σ y τ xy τ yx y z O h/2 h/2 h y x σ y σ x σ x τ xy τ yx τ yx σ y τ xy dx dy Рис.4.4 Рис.4.5 В дальнейшем будем рассматривать только площадки, перпендикуляр- ные к плоскости Oxy. Выделим в окрестности рассматриваемой точки пластины элементар- ную призму ABC (рис.4.6) и определим нормальные и касательные напряже- ния σ ν и τ t ν на площадке AB, нормаль ν к которой наклонена к оси Ox под углом α. Обозначим через dF, dF x , dF y , площади наклонной, вертикаль- ной и горизонтальной граней призмы. σ y τ xy τ yx x y dx dy О A B C α ν t σ x σ ν τ t ν y t x ν О σ ν σ ν α τ t ν τ t ν σ t τ νt σ t τ νt Рис.4.6 Рис.4.7 Составим уравнение проекций сил на нормаль ν к площадке AB. МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 8 . cos dF sin dF sin dF cos dF dF y xy x yx y y x x 0 = α τ − α τ − − α σ − α σ − σ ν Полагая в этом равенстве τ ху = τ ух и учитывая, что α = cos dF dF x , , после сокращения на общий множитель dF , получим α = sin dF dF y . sin sin cos yx y x α τ + α σ + α σ = σ ν 2 2 2 Аналогично из уравнения проекций сил на направление t получим ( ) . cos sin xy y x t α τ + α σ − σ − = τ ν 2 2 2 1 Точно также можно определить нормальное и касательное напряжения σ t и τ ν t на площадке, перпендикулярной к AB. В результате получим фор- мулы для напряжений на двух взаимно перпендикулярных наклонных пло- щадках (рис.4.7) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ α τ + α σ − σ − = τ = τ α τ − α σ + α σ = σ α τ + α σ + α σ = σ ν ν ν . cos sin ; sin cos sin ; sin sin cos xy y x t t xy y x t xy y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (4.4) Сложив выражения для σ ν и σ t , получим y x t σ + σ = σ + σ ν . (4.5) Таким образом, при двухосном напряженном состоянии сумма нор- мальных напряжений, действующих на любых двух взаимно перпендикуляр- ных площадках, является постоянной величиной, не зависящей от выбора системы координат. Такие величины называются инвариантами. Заметим, что при трехосном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений, действующих на любых трех взаимно перпендикулярных площадках, также постоянна и называется первым инвариантом тензора напряжений: const z y x = σ + σ + σ (4.6) Исследуем на экстремум нормальное напряжение σ ν как функцию угла α: . cos cos sin cos sin d d t xy y x 0 2 2 2 2 2 = τ = α τ + α α σ + α α σ − = α σ ν ν Откуда найдем: 2 2 y x xy tg σ − σ τ = α (4.7) Аналогичный результат получим при исследовании на экстремум на- пряжения σ t Отсюда следует, что нормальные напряжения имеют экстре- МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 9 мальные значения на двух взаимно перпендикулярных площадках, на кото- рых касательные напряжения равны нулю. Такие площадки, как было отме- чено в § 4.1, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, − главными напряжениями, при этом σ 1 = σ max , σ 2 = σ min Формула (4.7) дает возможность найти углы наклона нормалей 1 и 2 главных площадок к оси Ox (рис.4.8). О σ′ О 1 σ 1 σ 1 2 σ 2 σ 2 а) б) 2 1 τ нб τ нб σ′ σ′ τ нб σ′ τ нб 45 о 45 о y x О σ 1 σ 2 σ 1 σ 2 1 2 α 1 α 2 Рис.4.8 Рис.4.9 Для определения величин главных напряжений необходимо в первых двух формулах (4.4) выразить с помощью известных формул тригонометрии sin 2 α, cos 2 α, sin2α через tg2α с использованием выражения (4.7). В резуль- тате получим формулы для двух главных напряжений . xy y x y x , 2 2 2 1 2 2 τ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ σ − σ ± σ + σ = σ (4.8) Формулы для углов, определяющих положение главных площадок, удобнее записать с использованием главных напряжений σ 1 и σ 2 . Приведем эти формулы без вывода: ; 1 1 y xy tg σ − σ τ = α . tg y xy σ − σ τ = α 2 2 (4.9) Для определения экстремальных значений касательных напряжений и положения площадок, на которых они действуют, запишем формулы (4.4) для напряжений на наклонной площадке, взяв в качестве исходных главные на- правления 1 и 2 (рис.4.9,а). Учитывая, что на главных площадках касатель- ные напряжения равны нулю, получим ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ α σ − σ − = τ α σ + α σ = σ ν ν . sin ; sin cos t 2 2 2 1 2 2 2 1 (4.10) Из (4.10) следует, что касательные напряжения достигают своих экс- тремальных значений на площадках, расположенных под углами ±45 о к главным площадкам. При этом величина наибольшего касательного напряже- ния равна МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 10 2 2 1 σ − σ = τ нб (4.11) Нормальные напряжения на этих площадках согласно (4.10) равны 2 2 1 σ + σ = σ′ (4.12) Рассмотрим два частных случая. Чистый сдвиг. Чистым сдвигом называется такое напряженное состоя- ние, при котором на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения (рис.4.10,а). Положив в формуле (4.8) σ х = σ у = 0, а τ ху = τ, найдем величины глав- ных напряжений при чистом сдвиге: σ 1,2 = ± τ. Зная σ 1,2 , найдем из (4.9) углы наклона главных площадок : , tg 1 1 = α , tg 1 2 − = α α 1 = 45 ° , α 2 = − 45° . О б) 45 о 45 о а) x y τ τ y x 1 2 σ = τ 1 σ = − τ 2 О σ t ν 1 2 σ ν τ t ν α О Рис.4.10 Рис.4.11 Таким образом, чистый сдвиг эквивалентен действию двух равных по величине и противоположных по знаку главных напряжений σ 1 = τ , σ 2 = – τ. (рис.4.10,б). Площадки чистого сдвига наклонены по отношению к главным площадкам под углами α = ± 45 о Одноосное напряженное состояние. Такое напряженное состояние возникает, если только одно из главных напряжений отлично от нуля. Этот случай соответствует, например, задаче центрального растяжения и сжатия, рассмотренной в главе 3 (часть 1). Формулы для напряжений на наклонных площадках (см. формулы (3.8), часть 1) можно получить из формул (4.10) для двухосного напряженного состояния, если положить в них σ 1 = σ, σ 2 = 0 : , cos α σ = σ ν 2 . sin t α σ − = τ ν 2 2 В этих формулах α − угол между нормалью ν к наклонной площадке и направлением действия напряжения σ (рис.4.11). МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 11 § 4.3. Определение напряжений с помощью круга Мора Между формулами (4.4) для напряжений на наклонных площад- ках при двухосном напряженном состоянии и формулами (2.7) (часть 1) для определения моментов инерции при повороте осей существует очевидная аналогия. Переход от одних формул к другим может быть осуществлен с по- мощью следующих замен: xy xy y y x x J , J , J τ − ↔ σ ↔ σ ↔ . (4.13) Поэтому графический способ определения моментов инерции с помощью круга Мора может быть также использован для исследования напряжений при двухосном напряженном состоянии. Круг Мора для напряжений (рис.4.13) строится аналогично кругу Мора для моментов инерции (рис.2.19, часть 1) с той разницей, что при выбранном на рис.4.12 направлении осей координат Ox и Oy положительные значения касательных напряжений откладываются вниз от горизонтальной оси. Заме- тим также, что в отличие от осевых моментов инерции нормальные напряже- ния могут быть как положительными, так и отрицательными величинами. По- этому центр круга Мора для напряжений может быть расположен как справа, так и слева от вертикальной оси. y x О σ 1 σ 2 σ 1 σ 2 1 2 α 1 α 2 а) x y τ xy σ x σ y τ yx σ x σ y y t x ν О σ ν σ ν α τ t ν τ t ν σ t τ νt σ t τ νt б) в) О Рис.4.12 На рис.4.13 с помощью круга Мора определены главные напряжения σ 1 и σ 2 , действующие на площадках с нормалями, составляющими с осью Ox углы α 1 и α 2 (рис.4.12,б), а также нормальные и касательные напряжения, действующие на произвольных площадках с нормалями ν и t (рис.4.12,в). • A B C D E σ 1 σ y σ x σ ν τ tν τ σ τ нб α K τ xy t σ t σ 2 α 2 α 1 2 ν 1 О K σ τ σ =τ 1 σ = − τ 2 2 1 45 о 45 о О МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 12 Рис.4.13 Рис.4.14 В качестве примера определения напряжений с помощью круга Мора рассмотрим задачу о чистом сдвиге, изображенную на рис.4.10,а. Поскольку в этом случае σ х = σ у = 0, то точка K лежит на оси τ ху , а центр круга C сов- падает с началом координат O (рис.4.14). Очевидно, что главные напряже- ния при чистом сдвиге равны ± τ , а главные площадки расположены под уг- лами ± 45 о к исходным площадкам. |