Сопромат. сопромат. возможно пригодится. Напряженнодеформированное состояние в окрестности точки тела Напряженное состояние в окрестности
 Скачать 480.04 Kb.
|
|
§ 4.4. Перемещения и деформации Под действием внешних сил происходит деформирование тела и перемещение его точек в пространстве. При этом возможны перемещения двух видов: перемещение тела как абсолютно твердого без изменения его формы и размеров и перемещения, связанные с деформированием тела. Пе- ремещения первого вида изучаются в теоретической механике. Поэтому в дальнейшем рассматриваются только перемещения, связанные с деформиро- ванием тела. Пусть в результате деформирования тела точка A переместилась в но- вое положение A ′ (рис.4.15). Обозначим составляющие вектора полного пе- ремещения AA ′ по осям Ox, Oy, Oz соответственно через u, v, w. Переме- щения u, v , w считаются положительными, если они происходят в положи- тельном направлении осей координат. Будем полагать, что перемещения малы по сравнению со всеми харак- терными размерами тела. Например, прогибы балок, применяемых в строи- тельных конструкциях, обычно малы по сравнению с длиной балки и разме- рами поперечного сечения. Перемещения различных точек тела различны и являются непрерывны- ми функциями координат x, y, z: ( ) ; z , y , x u u = ( ) , z , y , x v v = ( ) . z , y , x w w = О x y z u v w z x y dx dx 1 dz dz 1 dy dy 1 О A A ′ Рис.4.15 Рис.4.16 МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 13 Для исследования деформаций вырежем мысленно вблизи произволь- ной точки тела элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. В резуль- тате различия перемещений точек параллелепипеда его ребра удлиняются или укорачиваются а первоначальные углы между ребрами искажаются. В соот- ветствии с этим различают два основных вида деформаций − линейные и уг- ловые. Линейные деформации ε x , ε y , ε z представляют собой относительные удлинения ребер dx, dy, dz элементарного параллелепипеда (рис.4.16). ; 1 dx dx dx x − = ε ; 1 dy dy dy y − = ε 1 dz dz dz z − = ε Деформации удлинения считаются положительными, а укорочения − отрицательными. Используя эти соотношения, можно найти длины ребер dx 1 , dy 1 , dz 1 после деформации: ( ) , dx dx x ε + = 1 1 ( ) , dy dy у ε + = 1 1 ( ) . dz dz z ε + = 1 1 (4.14) Угловые деформации или деформации сдвига γ ху , γ уz , γ zx представляют собой искажения прямых углов между ребрами элементарного параллелепи- педа (рис. 4.17). При этом индексы указывают, в какой плоскости происходит угловая деформация. Заметим, что напряженное и деформированное состоя- ния элементарного параллелепипеда для трех случаев, изображенных на рис.4.18,а,б,в (показаны проекции параллелепипеда на плоскость Oxy), оди- наковы, так как эти три случая отличаются друг от друга только величинами жесткого вращения вокруг оси Oz, не вызывающего дополнительных напря- жений. z x y О z x y О z x y О γ xy γ yz γ zx Рис.4.17 Деформации сдвига так же, как касательные напряжения, обладают свойством взаимности, то есть yx xy γ = γ , γ yz , = γ zy , xz zx γ = γ В дальнейшем будем считать, что линейные и угловые деформации по абсолютной величине существенно малы по сравнению с единицей, то есть МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 14 , i 1 << ε , ij 1 << γ ( ) z y x j i , , , = x y О x y О x y О γ xy 2 1 γ yx 2 1 γ yx γ xy а) б) в) Рис.4.18 Деформации, связанные с искривлением граней и ребер элементарного параллелепипеда, являются величинами более высокого порядка малости по сравнению с рассмотренными основными деформациями и их можно не учи- тывать. Кроме линейных и угловых деформаций представляет также интерес объемная деформация, равная относительному изменению объема элементар- ного параллелепипеда (рис.4.16) , 1 dV dV dV e − = (4.15) где dxdydz dV = и − объемы параллелепипеда до и после де- формации. 1 1 1 1 dz dy dx dV = Учитывая формулы (4.14), найдем ( ) ( ) ( ) ( ) . dV dxdydz dV z y x x z z y y x z y x z y x ε ε ε + ε ε + ε ε + ε ε + ε + ε + + ε + = ε + ε + ε + = 1 1 1 1 1 Отбрасывая в этом выражении произведения деформаций, как величи- ны второго и третьего порядков малости, по формуле (4.15) окончательно по- лучим z y x e ε + ε + ε = (4.16) Таким образом, объемная деформация равна сумме трех линейных де- формаций. Рассмотренные выше шесть составляющих деформации полностью оп- ределяют деформированное состояние в окрестности рассматриваемой точки тела. Зная эти шесть величин, можно определить линейную и угловую де- формации по произвольному направлению и в произвольной плоскости, про- ходящей через данную точку. Аналогично тензору напряжений (4.2) введем понятие тензора дефор- маций МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 15 . T z zy zx yz y yx xz xy x ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ε γ γ γ ε γ γ γ ε = ε 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (4.17) Тензоры напряжений и деформаций имеют аналогичную структуру и могут быть получены один из другого с помощью следующих формальных замен: , i i ε ↔ σ , 2 1 ij ij γ ↔ τ ( ) z y x j i , , , = . (4.18) Соответствующие формулы для напряжений и деформаций также име- ют аналогичную структуру. Среди множества осей, проведенных через точку тела, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых отсутствуют угловые де- формации. Эти оси называются главными осями деформированного состоя- ния, а соответствующие им линейные деформации − главными деформация- ми. Главные деформации обозначаются через ε 1 , ε 2 , ε 3 , при этом принима- ется, что ε 1 ≥ ε 2 ≥ ε 3 В изотропном теле, свойства которого не зависят от направлений, глав- ные оси напряженного и деформированного состояний совпадают. § 4.5. Обобщенный закон Гука Для получения полной системы уравнений, описывающих напря- женное и деформированное состояния тела, необходимо иметь равенства, связывающие между собой напряжения и деформации. В эти равенства долж- ны входить величины, характеризующие физические свойства материала. В общем случае трехосного напряженного состояния на всех гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности произвольной точки тела, действуют нормальные и касательные напряжения (на рис.4.19 показаны напряжения только на видимых гранях). y z x σ y σ z τ xy τ yx τ zx τ yz τ zy τ xz σ x О dx dy dz y z x σ x О y z x τ xy τ yx О σ x ε y dy ′ ′ ε x dx ′ γ xy а) б) МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 16 Рис.4.19 Рис.4.20 Будем предполагать, что напряжения и деформации связаны между со- бой линейными зависимостями и любая деформация, вызванная одновремен- ным действием нескольких напряжений, на основании принципа независимо- сти действия сил может быть найдена как сумма деформаций от действия ка- ждого из напряжений в отдельности. В изотропном теле нормальные напряжения вызывают только линей- ные деформации удлинения или укорочения ребер элементарного параллеле- пипеда и не вызывают угловых деформаций. Касательные напряжения вызы- вают только угловые деформации и не вызывают линейных деформаций. На рис.4.20,а,б показано деформированное состояние элементарного параллелепипеда от действия нормального напряжения σ x и касательного напряжения τ ху Элемент, изображенный на рис.4.20,а, испытывает одноосное напря- женное состояние. Под действием напряжения σ x возникают деформации удлинения ребер параллелепипеда, параллельных оси Ox , и деформации укорочения и ребер, параллельных осям Oy и Oz. Эти деформации согласно закону Гука при одноосном напряженном состоянии и зависимости между поперечными и продольными деформациями будут равны (см. § 3.2, часть 1) ′ ε х ′ ε у ′ ε z , E x x σ = ε′ . E x x z y σ ν − = ε′ ν − = ε′ = ε′ Здесь ν − коэффициент Пуассона. Аналогично под действием напряжений σ y и σ z возникают деформа- ции , E y y σ = ε ′′ ; E y y x z σ ν − = ε ′′′ ν − = ε ′′ = ε ′′ , E z z σ = ε ′′′ . E z z y x σ ν − = ε ′′′ ν − = ε ′′′ = ε ′′′ Полную относительную деформацию ребер параллелепипеда, парал- лельных оси Ox, находим как сумму деформаций от действия каждого из на- пряжений ( ) [ ] . E E E E z y x z y x x σ + σ ν − σ = σ ν − σ ν − σ = ε 1 Аналогично можно найти относительные деформации ребер, парал- лельных осям Oy и Oz. Таким образом, линейные деформации связаны с нормальными напря- жениями тремя формулами закона Гука МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 17 ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ σ + σ ν − σ = ε σ + σ ν − σ = ε σ + σ ν − σ = ε . E ; E ; E y x z z x z y y z y x x 1 1 1 (4.19) В главных осях формулы (4.19) примут вид ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ σ + σ ν − σ = ε σ + σ ν − σ = ε σ + σ ν − σ = ε . E ; E ; E 2 1 3 3 1 3 2 2 3 2 1 1 1 1 1 (4.20) Элемент, изображенный на рис.4.20,б, испытывает напряженное со- стояние, называемое чистым сдвигом (см. § 4.2). Рассмотрим проекцию эле- мента на координатную плоскость Oxy (рис.4.21). Главные оси напряженно- го и деформированного состояний наклонены по отношению к площадкам чистого сдвига под углом 45 о . Главные напряжения по абсолютной величине равны касательным напряжениям и имеют противоположные знаки , xy τ = σ 1 2 xy τ − = σ (4.21) О 45 о О x y τ xy τ yx y x 1 2 σ 1 σ 2 45 o 1 2 A D B C σ 1 σ 2 τ yx τ xy Рис.4.21 Для нахождения величин главных деформаций ε 1 и ε 2 , которые в рассматриваемом случае представляют собой соответственно относительное удлинение диагонали AC и относительное укорочение диагонали BD, вос- пользуемся аналогией между формулами напряженного и деформированного состояний. Заменяя в соответствии с (4.18) в формулах (4.21) σ 1 , σ 2 , τ xy на ε 1 , ε 2 , γ xy / 2 , получим , xy γ = ε 2 1 1 . xy γ − = ε 2 1 2 (4.22) МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 18 Чистый сдвиг представляет собой частный случай двухосного напря- женного состояния. Поэтому положим в первой из формул (4.20) σ 3 = 0 и подставим вместо σ 1 и σ 2 их выражения из (4.21), а вместо ε 1 − выражение из первой формулы (4.22). Тем самым мы свяжем деформации сдвига с каса- тельными напряжениями: ( ) xy xy xy E ντ + τ = γ 1 2 1 Вводя в этом выражении обозначение ( ) , E G ν + = 1 2 (4.23) получим одну из формул закона Гука при сдвиге . G xy xy τ = γ (4.24) Аналогично можно получить еще две формулы, связывающие дефор- мации сдвига γ уz и γ zх с касательными напряжениями τ yz и τ zx , G yz yz τ = γ G zx zx τ = γ Величина G называется модулем сдвига. Формула (4.23) устанавливает связь между тремя постоянными упруго- сти для изотропного материала: модулем упругости E, модулем сдвига G и коэффициентом Пуассона ν. Из (4.23) следует, что независимыми являются только любые две из этих постоянных. Таким образом, в общем случае трехосного напряженного состояния имеем шесть формул, устанавливающих связь между напряжениями и де- формациями в окрестности точки тела, которые называются обобщенным за- коном Гука. ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ τ = γ σ + σ ν − σ = ε τ = γ σ + σ ν − σ = ε τ = γ σ + σ ν − σ = ε . G , E ; G , E ; G , E zx zx y x z z yz yz x z y y xy xy z y x x 1 1 1 (4.25) Сложим почленно первые три формулы (4.25) ( ) . E z y x z y x σ + σ + σ ν − = ε + ε + ε 2 1 (4.26) Используем обозначения для объемной деформации e, средней дефор- мации ε 0 , суммы нормальных напряжений s и среднего напряжения σ 0 МГСУ-МИСИ кафедра «Сопротивление материалов 19 , e z y x ε + ε + ε = , e 3 0 = ε , s z y x σ + σ + σ = 3 0 s = σ (4.27) и введем понятие модуля объемной деформации ( ) . E K ν − = 2 1 3 (4.28) Тогда равенство (4.26) можно записать в виде ; 3 0 K K s e σ = = 3 9 0 0 K K s σ = = ε (4.29) Эти соотношения называют законом упругого изменения объема. Как показывают лабораторные исследования, этот закон справедлив и при высо- ких значениях среднего напряжения σ 0 , значительно превышающих предел упругости материала. С помощью (4.28) и (4.29) покажем, что для изотропно- го материала коэффициент Пуассона не может превышать значение ν = 0,5. Пусть ко всем граням элементарного параллелепипеда приложены сжимаю- щие напряжения σ х , σ у, σ z . Если при этом предположить, что ν > 0,5, то из формул (4.28) и (4.29) следует, что K < 0 и e > 0 , то есть при всестороннем сжатии объем параллелепипеда увеличивается, что противоречит физическо- му смыслу. Как видно из (4.28) и (4.29), при ν → 0,5 , K → ∞ , e → 0 . То есть из- менения объема не происходит. Материал, обладающий этим свойством, на- зывается несжимаемым. В случаях двухосного напряженного состояния в формулах (4.25) необ- ходимо положить σ z = τ yz = τ zx = 0. В результате получим ε σ νσ ε σ νσ γ τ ν τ х х у у у х ху ху ху Е Е G Е = − = − = = + ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 2 1 ( ) ; ( ); ( ) (4.30) Деформация ε z может быть найдена из третьего равенства (4.25) ε ν σ σ z х у Е = − + ( ). (4.31) Деформации сдвига γ yz = γ zx = 0. Таким образом, при двухосном напряженном состоянии имеем три формулы (4.30) обобщенного закона Гука. В главных осях угловые деформации отсутствуют и формулы (4.30) имеют вид |