Математика. Настоящий учебник посвящен системе Mathematica прикладному пакету компьютерной алгебры, при помощи которого можно решать любые задачи, в которых в той или иной форме встречается математика
 Скачать 4.43 Mb.
|
|
Это до запятой или после? c Николай Фоменко 300 В отличие от команды N нельзя и спросить RealDigits[Pi,20], так как это будет истолковано не как пожелание определить 20 десятичных зна- ков числа π, а как пожелание найти все знаки числа π в двадцатиричной системе. Правильное обращение к этой команде таково: нужно указать число, десятичные цифры которого мы хотим найти, основание системы счисления и затем количество цифр, которые мы хотим найти. Так, вычисление RealDigits[Pi,10,25] даст первые 25 десятичных цифр числа π и позицию запятой в этом числе: {{3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4,3},1} Следует, впрочем, иметь в виду, что если мы требуем больше десятичных цифр, чем точность числа x, то недостающие цифры заменяются символом Indeterminate. Например, вычисление RealDigits[N[Pi,15],10,18] вернет {{3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,Indeterminate,Indeterminate},1} 5.1. Найдите, сколько раз каждая из цифр 0, 1, 2, . . . , 9 встречается среди первой тысячи десятичных знаков π. Решение. Например, так Map[Count[First[RealDigits[Pi,10,1000]],#]&,Range[0,9]] 5.2. Какая цифра чаще всего встречается среди первых 10000 десятичных знаков e? 5.3. Найдите наименьшее n такое, что среди первых n знаков π встречается каждая из цифр 0, 1, 2, . . . , 9. 5.4. Найдите первое вхождение в десятичное разложение π двух цифр 3 подряд, трех цифр 3 подряд, четырех цифр 3 подряд. 5.5. Найдите цифру, встречающуюся среди первых 100000 десятичных знаков π ровно шесть раз подряд. 5.6. Существует ли цифра, которая встречается среди первых 1000000 десятичных знаков π ровно семь раз подряд? Следующая задача состоит главным образом в том, чтобы понять, что именно в ней спрашивается. 5.7. Если написать десятичные цифры чисел e и π в обратном порядке, какое из получившихся чисел будет больше? 6. Алгебраические числа. На наивном уровне вещественные числа делятся на рациональные и ир- рациональные, При этом иррациональность √ 2 выдвигается в качестве мо- тивации для введения вещественных чисел. Это полная ерунда, так как этим мотивируется лишь необходимость введения алгебраических чисел. С точки зрения профессионального алгебраиста вычисления с √ 2 ничуть не сложнее, чем с 1/3. Дело в том, что число √ 2 алгебраическое, даже целое 301 алгебраическое, притом степени 2, так что вычисления с ним сводятся к вычислениям с целочисленными матрицами степени 2. Как с принципиальной, так и с вычислительной точки зрения действи- тельно судьбоносное различие проходит не между рациональными и ир- рациональными числами, а между алгебраическими и трансцендентными. Напомним, что (комплексное) число x называется алгебраическим, если оно является корнем алгебраического уравнения f (x) = a n x n + a n −1 x n −1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0, a i ∈ Z, для некоторого многолена f с целыми коэффициентами. Если существу- ет такое уравнение со старшим коэффициентом 1, то число x называется целым алгебраическим — или, как говорят профессионалы, просто це- лым (при этом числа целые в обычном смысле называются целыми рацио- нальными). Целочисленный многочлен f наименьшей возможной степени такой, что f (x) = 0, называется минимальным многочленом x, а его степень — степенью алгебраического числа x. Вычисления с индивидуаль- ным целым алгебраическим числом степени d не сложнее, чем вычисления с d обычными целыми числами. Множество всех алгебраических чисел образует поле Q, а множество целых алгебраических чисел — его подкольцо A. Заметим, впрочем, что в документации к системе Mathematica через A обозначается домен всех алгебраических чисел. Гаусс заметил, что число, которое одновременно является целым и рациональным, действительно целое рациональное: A ∩ Q = Z. Число x, которое не является алгебраическим, называется трансцен- дентным. Трансцендентное число не удовлетворяет вообще никаким не- тривиальным алгебраическим уравнениям и, таким образом, может быть принято за независимую полиномиальную переменную. Конечно, факти- чески системы компьютерной алгебры именно так и поступают, это значит, что вычисления с индивидуальным трансцендентным числом имеют ту же сложность, что вычисления с целочисленными многочленами. Долгое время не было известно, существуют ли трансцендентные чис- ла, и многие математики верили, что все вещественные числа являются алгебраическими. Лишь в 1851 году Лиувилль построил первые примеры трансцендентных чисел. Ясно, что до этих примеров не было никакой необ- ходимости в формальном введении вещественного числа, и действительно первые конструкции вещественных чисел начали появляться лишь в 1860-е годы — ровно через три века после того, как были введены комплексные числа и через полвека после того, как они были формально построены! Одновременно с этим была доказана трансцендентность двух самых зна- менитых констант: в 1873 Эрмит доказал трансцендентность e, а в 1882 году фон Линдеманн доказал трансцендентность π, полностью решив, тем самым, классическую проблему “квадратуры круга”. С другой стороны, при помощи совершенно других соображений Кантор доказал, что алгебра- ические числа встречаются крайне редко, почти все вещественные числа 302 являются трансцендентными. В то же время даже сегодня доказатель- ство трансцендентности индивидуального числа часто остается чрезвычай- но сложной задачей. Упомянем некоторые определенные в ядре системы команды, позволяю- щие работать с алгебраическими числами. Algebraics домен алгебраических чисел Root[f,m] m-й корень алгебраического уравнения f (x) = 0 RootReduce[x] минимальный многочлен x ToRadicals[x] преобразование x к радикалам Имя домена Algebraics используется обычным образом, вопрос в формате Element[x,Algebraics] дает ответ True, если число x алгебраическое и False в противном случае. Вычисление Map[Element[#,Algebraics]&, {Sqrt[2],2^Sqrt[2],Sqrt[2]^Sqrt[3]}] показывает, что √ 2 алгебраическое число, в то время как 2 √ 2 и √ 2 sqrt3 — нет. Система знает, что e, π и e π не являются алгебраическими, но вот вопрос о том, будут ли e + π и eπ алгебраическими, ставит ее в тупик. Ясно, что любое число, скомбинированное из рациональных чисел при помощи арифметических операций и извлечения корней, является алгеб- раическим. Однако, далеко не любое алгебраическое число имеет такой вид. Обычно, самым простым описанием алгебраического числа является его описание в терминах минимального многочлена. В ядре Mathematica для этого используются объекты типа Root, дополнительные возможности описаны в пакетах расширений. В простейших случаях команда RootReduce пытается преобразовать вы- ражение к явной комбинации радикалов. Если это невозможно, либо если ответ в терминах радикалов слишком сложен, вычисление RootReduce[x] преобразует x к единственному объекту формата Root — иными словами, ищет минимальный многочлен x. Например, вычисление RootReduce[Sqrt[2]+Sqrt[3]] дает Root[1-10#1^2+#1^4&,4] иными словами, минимальный многочлен √ 2 + √ 3 равен x 4 − 10x 2 + 1. Интересно, что решение уравнения Solve[x^4-10x^2+1==0,x] возвращает ответ в форме − q 5 − 2 √ 6, q 5 − 2 √ 6, − q 5 + 2 √ 6, q 5 + 2 √ 6, и только применение FullSimplify возвращает эти корни к виду ± √ 2 ± √ 3. 6.1. Найдите минимальный многочлен √ 2 + √ 3 + √ 5. 6.2. Найдите минимальный многочлен q 1 + p 1 + √ 2. 303 6.3. Найдите минимальный многочлен r 1 + q 1 + p 1 + √ 2. 6.4. Найдите минимальный многочлен q 2 + p 3 + √ 5. 6.5. Найдите минимальный многочлен 3 q 2 + √ 3. 6.6. Найдите минимальный многочлен 3 q 2 + 3 q 3. Команда ToRadicals пытается — в тех случаях, когда это возможно — преобразовать выражение алгебраического числа как комбинации корней алгебраических уравнений к явному выражению в радикалах даже если она считает, что его описание как корня алгебраического уравнения про- ще. Как мы уже упоминали, в большинстве случаев сама по себе система предпочитает описание в терминах минимальных многочленов. Дело в том, что в общем случае непосредственное преобразование вложенных радика- лов и даже проверка того, что два выражения, содержащие вложенные радикалы, равны, представляет собой совсем непростую задачу. С другой стороны, совпадение минимальных многочленов проверяется очень легко. 7. Основные константы. 98 В системе имплементированы основные математические константы. Вот наибоее известные из них. E e основание натурального логарифма Pi π длина окружности диаметра 1 Degree 1 0 π/180, градус GoldenRatio ϕ = 1 + √ 5 2 золотое сечение EulerGamma γ константа Эйлера Catalan C константа Каталана 7.1. В 1674 году Лейбниц открыл следующую формулу: 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + . . . = π 4 . Проверьте ее. Ответ. Для этого можно просто беззастенчиво набрать Sum[(-1)^i*1/(2*i+1), {i,0,Infinity}] 98 Mathematician: π is the ratio of the circumference of a circle to its diameter. Engineer: π is about 22/7. Physicist: π is 3.14159 plus or minus 0.000005 Computer Programmer: π is 3.141592653589 in double precision. Nutritionist: π is a healthy and delicious dessert! 304 но обычно при суммировании по арифметической последовательности удоб- нее не пересчитывать вид слагаемых, а надлежащим образом задавать вид итератора: Sum[(-1)^(i/2-1/2)/i, {i,1,Infinity,2}] 7.2. В 1748 году Эйлер открыл следующую формулу: 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + . . . = π 2 6 и много других подобных формул, в частности, 1 − 1 2 2 + 1 3 2 − 1 4 2 + . . . = π 2 12 , 1 + 1 3 2 + 1 5 2 + 1 7 2 + . . . = π 2 8 . Проверьте эти формулы и найдите еще несколько таких же. Указание. Что можно менять в этих формулах? Заметим, что чередова- ние знака в последней формуле даст нам формулу для одной важнейшей константы — константы Каталана: 1 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + . . . = −C. 7.3. Стали ли бы Вы использовать какую-либо из формул, полученных в двух предыдущих задачах, для фактического вычисления π. Если да, то какую и почему? В качестве ответа предложим следующее уточнение предыдущей задачи. 7.4. Проверьте, сколько верных знаков π получается при суммировании первых 10000 · n, 1 ≤ n ≤ 10 членов ряда Лейбница и сколько времени это занимает. Ответ. Вот π с точностью до 50 знаков после запятой, полученное с по- мощью N[Pi,51]: 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37511 С другой стороны, выполнение команды Table[N[Sum[4*(-1)^(i-1)/(2i-1), {i,1,10000*n}],51],{n,1,10}] возвращает следующую таблицу: 3.14149 26535 90043 23845 95183 83374 81537 87870 13642 74418 3.14154 26535 89824 48846 25457 27030 24751 30928 52688 19023 3.14155 93202 56469 16438 85564 49123 16786 47638 81274 79068 3.14156 76535 89797 14471 26403 31521 69620 16104 78839 39197 3.14157 26535 89795 23846 26423 83279 50410 41971 66629 37512 3.14157 59869 23127 72920 33837 22142 67194 89566 13878 53421 3.14157 83678 75508 25303 99026 72563 72981 01894 97534 74709 3.14158 01535 89793 72674 38932 87912 07128 90207 11000 30165 3.14158 15424 78682 47028 70603 39959 54829 01599 71987 72723 3.14158 26535 89793 48846 26433 52029 50289 37284 19393 96495 305 Обратите внимание, что суммирование первых 10000 членов ряда все еще дает ошибку в четвертом знаке после запятой, и даже суммирование первых 100000 членов все еще дает неправильный пятый знак! Ясно, что исполь- зовать такую формулу для вычислений невозможно. Что, однако, гораздо интереснее, после ошибки в четвертом знаке сумма дает 6 верных знаков, а последняя — целых 10 верных знаков! Некоторые из остальных сумм дают 7, 8 или 9 верных знаков после одного, двух или трех неверных. Концеп- туальное объяснение этого удивительного явления предложено в 99 7.5. Проверьте формулу Валлиса 2 1 · 2 3 · 4 3 · 4 5 · 6 5 · 6 7 · . . . = π 2 Решение. Нужно просто понять, как ввести это произведение. Классиче- ская запись такова: Product[(2*i)*(2*i)/((2*i-1)*(2*i+1)),i,1,Infinity] 7.6. В 1593 году Франсуа Виет открыл следующую замечательную фор- мулу 2 π = √ 2 2 · p 2 + √ 2 2 · q 2 + p 2 + √ 2 2 · . . . Удастся ли Вам проверить ее тем же способом, что предыдущие? 7.7. Чтобы понять, откуда берется формула Виета, вычислите cos(π/2 n ). 8. Элементарные функции. Как известно, в Mathematica все основные элементарные функции имеют обычные английские имена. Exp[x] экспонента x Log[x] логарифм x Log[b,x] логарифм x по основанию b Экспонента и логарифм, также как тригонометрические и гиперболиче- ские функции, обратные тригонометрические и гиперболические функции и специальные функции, трактуются как числовые функции и мы реко- мендуем по этому поводу еще раз перечитать соответствующие параграфы Главы 6. 8.1. (Р.В. Хэмминг) 100 Путем численного эксперимента — либо построения графиков — убедитесь, что для всех практических целей log 2 (x) = ln(x) + log 10 (x). 99 J.M.Borwein, P.B.Borwein, K.Dolcher, Pi, Euler numbers, and asymptotic expansions. — Amer. Math. Monthly, 1989, vol.96, p.681–687. 100 см. 1.2.2.22 в книге Кнут Д. Э. Искусство программирования. Том 1: Основные алгоритмы пер. с англ., ред. Козаченко ЛФ, Тертышного ВТ, Красикова ИВ-3-е изд. – 2000. 306 А теперь объясните это явление. Также и основные тригонометрические функции имеют обычные в ан- глийской математической литературе имена. Cos[x] косинус x Sin[x] синус x Tan[x] тангенс x Cot[x] котангенс x Sec[x] секанс x Csc[x] косеканс x Мы не будем упражняться в выполнении тригонометрических преобра- зований, эта тема упоминается в Главе 6. Ограничимся лишь несколькими забавными примерами точных вычислений со значениями тригонометри- ческих функций. В качестве разминки начнем с совсем простеньких зада- чек. 8.2. Из школьного курса тригонометрии известно, что 2 cos(π/4) = √ 2. Вычислите 2 cos(π/8), 2 cos(π/16), 2 cos(π/32) и 2 cos(π/64). Решение. Да чего уж там, Map[FunctionExpand,Table[2*Cos[Pi/2^n], {n,3,6}]] Применение FunctionExpand необходимо, так как система сама по себе, ра- зумеется не будет преобразовывать точное значение cos(π/2 n ) в радикалы. Ответ выглядит примерно так: q 2 + √ 2, r 2 + q 2 + √ 2, s 2 + r 2 + q 2 + √ 2, v u u t 2 + s 2 + r 2 + q 2 + √ 2. 8.3. Упростите 1 2 sin(10 o ) − 2 sin(70 o ). Решение. Это выражение равно 1. Вычисление TrigReduce[1/(2*Sin[10*Degree])-2*Sin[70*Degree]] дает результат (1/2)*(-4*Cos[20*Degree] + Csc[10*Degree]) не более простой, чем чем исходное выражение. Но вот вычисление Simplify[1/(2*Sin[10*Degree])-2*Sin[70*Degree]] приводит к полному успеху. Следующие три задачи взяты из книги 101 101 Ч.Тригг, Задачи без изюминки. — М., Мир, 2000, с.1–276. 307 8.4. Вычислите сумму косинусов cos(5 o ) + cos(77 o ) + cos(149 o ) + cos(221 o ) + cos(293 o ). 8.5. Вычислите разность tg(117 o ) + tg(118 o ) + tg(125 o ) − tg(117 o ) tg(118 o ) tg(125 o ). 8.6. Вычислите произведение косинусов cos π 15 cos 2π 15 cos 3π 15 cos 4π 15 cos 5π 15 cos 6π 15 cos 7π 15 § 4. Комплексные числа It is the complex case that is easier to deal with. Cambridge Mathematical Quotes I met a man once who told me that far from believing in the square root of minus one, he didn't believe in minus one. This is at any rate a consistent attitude 102 Edward Titchmarsh Ни один факт вещественного анализа невозможно понять, оставаясь в области вещественных чисел. В настоящей главе мы обсудим основы вы- числений с комплексными числами. Комплексные числа, которые были введены итальянскими алгебраистами в XVI веке как игрушка для мате- матических турниров, без всякой видимой практической цели, в XIX–XX веках превратились в основной инструмент математического естествозна- ния. Комплексные числа играют такую же роль в квантовой механике, как вещественные числа в классической. Вся их история подтверждает мысль Харди о том, что чистая математика ощутимо полезнее прикладной. 1. Комплексные числа. 103 Напомним, что алгебраической формой комплексного числа называется его запись в виде a + bi, где a, b ∈ R — вещественные числа, а i — мнимая единица, i 2 = −1. При этом a обычно называется вещественной частью z, и обозначается re(z), а b — мнимой частью z и обозначается im(z). Числа, у которых im(z) = 0, называются вещественными, а те, у которых im(z) 6= 0 — мнимыми. Числа, у которых re(z) = 0 называются чисто 102 В русском переводе книге Г.С.М.Коксетера Введение в геометрию эта фраза пе- редана следующим образом: “Я недавно встретил человека, который сказал мне, что он не верит даже в существование −1, так как из этого следует существование квадратного корня из нее”. Мы предоставляем читателю самостоятельно оценить модальности и еще раз задуматься над трудностями перевода. 103 Life is complex. It has real and imaginary components. c Tom Potter 308 мнимыми. При сложении комплексных чисел отдельно складываются их вещественные и мнимые части, re(z + w) = re(z) + re(w), im(z + w) = im(z) + im(w), а умножение производится по следующей формуле: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Комплексное число z = a − bi называется сопряженным к z = a + bi. При этом z + z = 2a и zz = a 2 + b 2 оба вещественные. Любое ненулевое комплексное число z обратимо, при этом z −1 = z/(zz). Использование функций, связанных с комплексными числами, ясно из названия. I i мнимая единица i z=x+I*y z = x + iy комплексное число z, где x, y ∈ R Re[z] re(z) вещественная часть z Im[z] im(z) мнимая часть z Conjugate[z] z = x − iy сопряженное к z ComplexExpand[z] выделение re(z) и im(z) Единственный момент, на который стоит обратить внимание, состоит в том, что автоматически операции над комплексными числами, содержащи- ми символы, не исполняются. Чтобы фактически провести вычисление, нужно применять команду ComplexExpand, которая по умолчанию исходит из того, что все неспецифицированные переменные вещественные. Зада- дим два комплексных числа z = a + bi и w = c + di в алгебраической форме z=a+b*I, w=c+d*I. Вычисление z*w не дает ничего интересного, так как скобки автоматически не раскрываются. Но вот вычисление Complex- Expand[z*w] дает (a*c-b*d)+I*(b*c+a*d), так что система действительно считает a, b, c, d вещественными. Примене- ние ComplexExpand необходимо и в том случае, когда коэффициенты явля- ются точными вещественными числами, наподобие e, π или cos(π/7). В ядре Mathematica описан домен Complexes комплексных чисел, эле- менты которого имеют тип Complex. Complex тип комплексного числа Complexes C домен комплексных чисел Так, например, вычисление Head[1+I] даст Complex, а тест Element[1+I,Complexes] даст результат True. 309 Комплексное число a + bi, a, b ∈ R, можно отождествить с антицирку- лянтом a b −b a . Легко проверить, что при этом сложению и умножению комплексных чисел соответствуют обычное сложение и умножение матриц. Для сложения это совсем очевидно, а для умножения получается вот что: a b −b a c d −d c = ac − bd ad + bc −ad − bc ac − bd . 1.1. Постройте поле C комплексных чисел при помощи этой конструкции. |