Математика. Настоящий учебник посвящен системе Mathematica прикладному пакету компьютерной алгебры, при помощи которого можно решать любые задачи, в которых в той или иной форме встречается математика
 Скачать 4.43 Mb.
|
|
x 0 1 x 1 2 x 2 3 . . . x n −1 n Проанализируем приведенное доказательство. Оно состоит из следую- щих этапов. • Сведение определителя к полиномиальному виду. • Выделение неприводимых множителей. • Сравнение степеней. • Сравнение коэффициентов. В практических ситуациях часто этим шагам должен предшествовать еще один шаг, а именно, • введение новых переменных или параметров. Определитель с большим количеством параметров вычислить обычно про- ще или гораздо проще. Всегда вводите независимые переменные . Решение 3. Вандермонд методом LU -факторизации. 1 1 x y = 1 0 x 1 1 1 0 y − x 1 1 1 x y z x 2 y 2 z 2 = 1 0 0 x 1 0 x 2 x + y 1 1 1 1 0 y − x z − x 0 0 (z − x)(z − y) 1 1 1 1 w x y z w 2 x 2 y 2 z 2 w 3 x 3 y 3 z 3 = 1 0 0 0 w 1 0 0 w 2 w + x 1 0 w 3 w 2 + wx + x 2 w + x + y 1 1 1 1 1 0 x − w y − w z − w 0 0 (y − w)(y − x) (z − w)(z − x) 0 0 0 (z − w)(z − x)(z − y) 481 В действительности, как правило важна не явная формула для опреде- лителя Вандермонда, а только следующий факт. 3.2. Если x 1 , . . . , x n — попарно различные элементы области целостности R, то V (x 1 , . . . , x n ) 6= 0. 4. Определитель Коши. Следующий определитель, известный как (двойной) альтернант Ко- ши, — а среди широких народных масс просто как определитель Коши — играет большую роль в различных проблемах теории аппроксимации, в частности, в теореме Мюнтца: det 1 x 1 + y 1 1 x 1 + y 2 . . . 1 x 1 + y n 1 x 2 + y 1 1 x 2 + y 2 . . . 1 x 2 + y n . . . . . . . . . . . . 1 x n + y 1 1 x n + y 2 . . . 1 x n + y n . 4.1. Вычислите несколько альтернантов Коши и угадайте общую формулу. Ответ. Ограничимся ответом для n = 2, 3: det 1 x + u 1 x + v 1 y + u 1 y + v = (u − v)(x − y) (u + x)(v + x)(u + y)(v + y) . det 1 x + u 1 x + v 1 x + w 1 y + u 1 y + v 1 y + w 1 z + u 1 z + v 1 z + w = (u − v)(u − w)(v − w)(x − y)(x − z)(y − z) (u + x)(v + x)(w + x)(u + y)(v + y)(w + y)(u + z)(v + z)(w + z) . Теперь ясно, что этот определитель легко выразить в замкнутой форме. 4.2. Докажите, что det 1 ≤i,j≤n 1 x i + y j = Y i (x j − x i )(y j − y i ) Y i,j (x i + y j ) . 482 Решение 1. Вычтите последнюю строку из всех остальных строк, выне- сите общие множители из строк и столбцов, после чего вычтите последний столбец из всех остальных столбцов. Решение 2. Приведите элементы матрицы Коши к общему знаменателю, который очевидно равен Y i,j (x i + y j ). Ясно, что определитель Коши обра- щается в 0 при x i = x j , так как в этом случае у него две равные строчки, и при y i = y j , так как в этом случае у него два равных столбца. Так как все эти многочлены взаимно просты, то определитель Коши делится на Y i (x j − x i )(y j − y i ). Осталось заметить, что степени левой и правой части равны −n и сравнить какие-нибудь коэффициенты. В статье 220 проведено вычисление определителя, который является сов- местным обобщением двойного альтернанта Коши и определителя Вандер- монда. В статье 221 вычисляется следующий определитель. det 1 (x 1 − y 1 ) 2 1 (x 1 − y 2 ) 2 . . . 1 (x 1 − y n ) 2 1 (x 2 − y 1 ) 2 1 (x 2 − y 2 ) 2 . . . 1 (x 2 − y n ) 2 . . . . . . . . . . . . 1 (x n − y 1 ) 2 1 (x n − y 2 ) 2 . . . 1 (x n − y n ) 2 4.3. Убедитесь, что это определитель равен Y i (x j − x i )(y j − y i ) Y i,j (x i − y j ) per 1 ≤i,j≤n 1 x i − y j . Важнейшим частным случаем матрицы Коши является матрица Гиль- берта, для которой общий элемент равен 1/(i + j − 1). Матрицы Гильберта совершенно замечательны тем, что их определители являются египетскими дробями, а обратные к ним целочисленные. 220 E.L.Basor, P.J.Forrester, Formulas for the evaluation of Toeplitz determinants with rational generating functions. — Math. Nachrichten, 1994, vol.170, p.5–18. 221 C.W.Borchardt, Bestimmung der symmetrischen Verbindungen ihrer erzeugenden Funktion. – Crelle J., 1855, Bd.53, S.193–198. 483 ЛИТЕРАТУРА Read, read, read, read, my unlearned reader! read, — or, by the knowledge of the great saint Paraleipomenon — I tell you beforehand, you had better throw down this book at once; for without much read- ing, by which your Reverence knows I mean much knowledge, you will not be able to penetrate the moral of the next marbled page (motley emblem of my work!) Laurence Sterne, Tristram Shandy [1] Вавилов Н.А., Халин В.Г., Mathematica 5.* для нематематика. Вып. 1-2., ОЦЭиМ, СПб, 2005, pp. 1–317. [2] Вавилов Н.А., Иванов О.А., Лушникова Г.А., Халин В.Г., Уроки математики при помощи Mathematica., ОЦЭиМ, СПб, 2008, pp. 1–146. [3] Волков В.А., Халин В.Г., Черняев П.К., и д.р., Учебные и контрольные задания по математике. Математический анализ. Учебное пособие. 3 изд. испр. и доп., ЭФ СПбГУ, СПб, 2010, pp. 1–112. [4] Вавилов Н.А., Халин В.Г., Дополнительные задачи по курсу ýМатематика и ком- пьютерþ. Учебное издание. , ОЦЭиМ, СПб, 2006, pp. 1–172. [5] Вавилов Н.А., Халин В.Г., Задачи по курсу ýМатематика и компьютерþ, Выпуск 1. Арифметика и теория чисел. Учебное издание., ОЦЭиМ, СПб, 2006, pp. 1–180. [6] Вавилов Н.А., Халин В.Г., Задачи по курсу ýМатематика и компьютерþ, Выпуск 2. Комбинаторика и дискретная математика. Учебное издание., ОЦЭиМ, СПб, 2007, pp. 1–207. [7] Вавилов Н.А., Халин В.Г., Задачи по курсу ýМатематика и компьютерþ, Выпуск 3. Алгебра многочленов. Учебное издание., ОЦЭиМ, СПб, 2008, pp. 1–204. [8] Вавилов Н.А., Семенов А.А., Халин В.Г., Задачи по алгебре. Линейная алгебра., ОЦЭиМ, СПб, 2003, pp. 1–52. [9] Вавилов Н.А., Не совсем наивная линейная алгебра. II. Алгебра матриц., ОЦЭиМ, СПб, 2006, pp. 1–232. |