Бу. Научноисследовательская работа по дисциплине Механика деформируемого твёрдого тела

• Название: Научноисследовательская работа по дисциплине Механика деформируемого твёрдого тела
• Дата: 17.05.2023
• Размер: 0.57 Mb.
• Имя файла: Issledovanienesushhejsposobnostisharnirno_sterzhnevojsistemy.docx
• Тип: Научно-исследовательская работа; #1139632
• страница: 2 из 3

2.5. Экстремальные свойства предельных состояний деформирования

Две теоремы, приведенные в этом разделе, позволяют получить нижнюю и верхнюю оценки для предельного значения параметра нагружения (Ю.Н. Работнов [3], Н. Н. Малинин [10], И. Г. Терегулов [11]). Эти теоремы были впер­вые сформулированы и доказаны А.А. Гвоздевым в малодоступной публикации в 1934 г.; они мно­гократно переот­крывались, независимо, разными авторами.

Распределение напряжений – называют статически допустимым, если оно удовлетво­ряет всюду в теле уравнениям равновесия, граничным усло­виям в усилиях на и всюду в теле не выходит за пределы поверхности на­гружения, т.е. .

Пусть , , – неизвестное нам истинное решение задачи о предель­ном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил , – некоторое допустимое напря­женное состояние, соответствующие поверхностным силам p_i^–. Для краткости изложения при­мем, что объемные силы и разрывы скоростей перемещений отсутствуют (это не влияет на общ­ность выводов, Л.М. Качанов [8]). Запишем уравнение баланса мощностей (18) для рассматри­ваемых случаев, принимая за поле виртуальных скоро­стей истинное поле скоростей:

(19)

(20)

Вычитая (20) из (19), получим:

(21)

Из постулата Друккера следует, что левая часть уравнения (21) неотрица­тельна, поэтому неот­рицательна и правая часть:



(22)

Здесь учтено, что на скорости перемещений заданы, т.е. = , а на заданы силы, т.е. = .

Итак, мощность действительных поверхностных сил на заданных скоро­стях больше мощно­сти, развиваемой поверхностными силами, соответст­вующими любой другой статически воз­можной системе напряжений.

Это утверждение составляет содержание так называемой статической теоремы о предельном состоянии.

Неравенство (22) служит для нижней оценки несущей способности тела. Если внешняя нагрузка сводится к одной обобщенной силе Q, которой соответствует обобщенная скорость пе­ремещения , то



в этом случае в неравенстве (22) скорость сокращается и получается оценка несущей спо­собности

(23)

Если нагрузки заданы в виде , а статически допустимые напряжения удовлетворяют условиям на , то  можно принять за обобщенную силу, а скорость обобщен­ного перемещения будет равна . Тогда неравенство (22) принимает вид

. (24)

Здесь ₀ – опасное значение параметра .

Рассмотрим суть так называемой кинематической теоремы о предельном состоянии. Пусть – произвольное кинематически допустимое поле скоро­стей перемещений, т.е. такое поле, ко­торое удовлетворяет граничным усло­виям = на части поверхности . По значениям , используя (15), можно определить соответствующие скорости деформации , далее, ис­поль­зуя (13) , – напряжения . В общем случае напряжения не удов­летворяют уравнениям равновесия. Запишем уравнение равновесия в форме Лагранжа, принимая за поле виртуаль­ных скоростей:



Прибавим и вычтем в правой части этого равенства интеграл от . Полу­чим



Согласно постулату Друккера второй член в правой части этого равенства неотрицателен, по­этому

(25)

Если внешняя нагрузка представляется одной обобщенной силой Q , то

(26)

Правая часть этого неравенства известна, если задано кинематически воз­можное поле скоростей .

Неравенство (25) служит для верхней оценки несущей способности. Из (26) следует, что действительная предельная нагрузка не больше кинема­тически возможной нагрузки. (Кине­матически возможной называют на­грузку, при действии которой конструкция превращается в механизм при со­блюдении наложенных на нее кинематических связей).

2.6. Кинематический и статический методы определе­ния несущей способности конструкций. Сведение задачи к задаче линейного программирования

Применяя оценки (23) и (26), можно получить интервал, в котором заключено истинное значение предельной нагрузки Q. Если верхняя и ниж­няя оценки совпадают, то получено точное решение задачи о несущей спо­собности (доказательство соответствующей теоремы о единствен­ности реше­ния можно найти, например, в книге [3] Ю.Н. Работнова).

Нахождение кинематически возможных полей скоростей, которые не обя­зательно должны быть непрерывными, не встречает больших трудностей; варьируя эти поля, находят нижнюю грань , определяемую неравенст­вом (26). Эта величина может совпасть с точ­ным решением, а мо­жет быть наилучшим приближением в определенном классе возможных кинематических схем пластического деформирования.

Построение статически допустимых полей встречает бóльшие трудности, связанные главным образом с тем, что определенные в пластических облас­тях поля напряжений должны допускать продолжения в жесткие зоны, при­том такое, что условие пластичности нигде не превышается. Варьируя поле допустимых напряжений , можно найти верхнюю грань , опреде­ляемую неравенством (23). Это значение может совпадать с точным ре­шением, а может являться наилучшим приближением снизу в определенном классе статически допустимых напряжений.

Параметр внешней нагрузки , удовлетворяющий неравенству (24), называют статиче­ски допустимым; значение этого параметра, удовлетво­ряющий неравенству (25), называют кинематически возможным.

Статический и кинематический методы решения задач о несущей способ­ности конструкций основаны на двух теоремах, суть которых изложена в пре­дыдущем разделе. Для сужения "вилки"

(27)

часто используют методы математического, в частности, линейного, программирова­ния.

Общая задача линейного программирования заключается в следующем (Кузнецов Ю.Н., Ку­зубов В.И., Волощенко А.Б. [12]) . Дана линейная целевая функция

(28)

и система линейных ограничений

(29)

, (30)

где n > m; – заданные постоянные величины. Необходимо найти такие неотрицательные значения , кото­рые удовлетворяют системе ограничений (29) и доставляют целевой функ­ции (28) минимальное значение. Об­щая задача линейного программирова­ния имеет несколько форм записи. Наиболее широко ис­пользуемым методом решения общей задачи линейного программирования является так назы­вае­мый симплекс – метод.

Планом, или допустимым решением, задачи линейного программирова­ния называют вектор , удовлетворяющий условиям (29), (30).

Оптимальным планом, или оптимальным решением, задачи линейного программирования на­зывают план, доставляющий наименьшее значение це­левой функции (28).

В статическом методе решения задачи о несущей способности тела ис­пользуют уравнения равновесия (10), (11) и уравнение предельной по­верхности (14). Если в (14) яв­ляется нелинейной функцией, то предельную поверхность аппроксимируют вписанным или опи­санным мно­гогранником. Используя одно из уравнений равновесия, находят выражение для (целевая функция), остальные соотношения образуют систему огра­ничений задачи линейного программирования.

В кинематическом методе используют уравнение баланса мощностей (18), кинематиче­ские граничные условия (12), уравнение предельной по­верхности (14), соотношения ассо­циированного закона деформирования (13) и соотношения (15). Используя (18) определяют выражение для (целевая функция) и некоторое инте­гральное ограничение, остальные ограничения задачи линейного программи­ро­вания следуют из других, используемых в этом методе, соотношений.

Дискретизацию объекта расчета осуществляют, в большинстве случаев, с использованием метода конечных разностей, или метода конечных элемен­тов.

Обзор литературы по теории предельного равновесия приведён, в частности, в работах Сибгатуллина Э. С. [13], [14] и Сибгатуллина К. Э. [15].

3. Пример решения задачи



Рис. 4.

Бесконечно жесткий брус подвешен на трех вертикальных стержнях (рис. 4). Известны длины стержней , площади поперечных сечений стержней , пределы текучести материалов стержней (i= ). Определить предельную нагрузку для рассматриваемой стержневой системы при , = 1:1/2:1/12, .

3.1. Решение задачи кинематическим методом

Согласно этому методу, истинному механизму разрушения соответствует минимальное значение кинематически возможной нагрузки . Для рассматриваемой системы возможны всего три различных механизма разрушения. Поэтому истинный механизм разрушения с min можно установить путем перебора этих кинематически возможных механизмов разрушения.

Согласно принципу возможных перемещений имеем:

= . (31)

Здесь , – скорости кинематически возможных перемещений точек А, В, С, D, соответственно (рис. 2), , – усилия растяжения-сжатия стержней 1, 2, 3, соответственно, в состоянии разрушения системы: , = , .

Условия совместности скоростей перемещений:

= = = . (32)

Так как в кинематическом методе важно только направление вектора скоростей деформации, можно принять следующее дополнительное условие:

=1. (33)

С учетом исходных соотношений между , и условия (33), уравнение (31) можно записать в следующем виде:

| ). (34)

1. Пусть ; тогда, согласно (32) и (33), имеем . Согласно (34) получаем:

. (35)

2. Пусть ; тогда .

Так как скорость диссипации механической энергии не может быть отрицательной величиной, т.е. 0 всегда, в (34) необходимо подставлять по модулю. С учетом этого имеем:

. (36)

3. Пусть теперь ; тогда, . Имеем:

. (37)

Из кинематически возможных нагрузок (35, 36, 37) выбираем наименьшее значение:

. (38)

Значение (38) оценивает действительную разрушающую нагрузку сверху:

. (39)