Бу. Научноисследовательская работа по дисциплине Механика деформируемого твёрдого тела

• Название: Научноисследовательская работа по дисциплине Механика деформируемого твёрдого тела
• Дата: 17.05.2023
• Размер: 0.57 Mb.
• Имя файла: Issledovanienesushhejsposobnostisharnirno_sterzhnevojsistemy.docx
• Тип: Научно-исследовательская работа; #1139632
• страница: 1 из 3

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВО «КАЗАНСКИЙ (ПРИВОЛЖСКИЙ)

ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)

Исследование несущей способности шарнирно-стержневой системы

Научно-исследовательская работа

по дисциплине «Механика деформируемого твёрдого тела»

Учебно-методическое пособие для аспирантов направления подготовки 01.06.01. Математика и механика. Направленность (профиль) подготовки 01.02.04. Механика деформируемого твёрдого тела;

для магистрантов, обучающихся по направлению подготовки 08.04.01. Строительство

Набережные Челны

2020

Исследование несущей способности шарнирно-стержневой системы. Научно-исследовательская работа по дисциплине «Механика деформируемого твёрдого тела». Учебно-методическое пособие для аспирантов направления подготовки 01.06.01. Математика и механика. Направленность (профиль) подготовки 01.02.04. Механика деформируемого твёрдого тела; для магистрантов, обучающихся по направлению подготовки 08.04.01. Строительство / Э. С. Сибгатуллин, К. Э. Сибгатуллин, М. Э. Сибгатуллин –Набережные Челны: НЧИ КФУ, 2020, 36 с.

Учебно-методическое пособие по выполнению научно-исследовательской работы разработано в соответствии с требованиями ФГОС высшего образования к уровню подготовки выпускника по направлению подготовки 01.06.01 «Математика и механика», 08.04.01 «Строительство». Излагаются теоретический материал, пример расчёта и задание для самостоятельной работы.

Рецензенты: д-р физ.-матем. наук, профессор Н. С. Габбасов, ФГАОУ ВО «Казанский федеральный государственный университет»

канд. техн. наук, доцент К. Ф. Исламов, ФГАОУ ВО «Казанский федеральный государственный университет»

Печатается в соответствии с решением научно-методического совета Набережночелнинского института КФУ.

© Набережночелнинский институт КФУ, 2020 год

1. Задание для самостоятельной НИР студента (аспиранта)

Бесконечно жесткий брус шарнирно подвешен на трех вертикальных стержнях (рис. 1). Определить предельную несущую способность системы. Исходные данные задачи взять из таблицы 1, согласно индивидуальному шифру студента. Индивидуальный шифр студента (аспиранта) совпадает с последними четырьмя цифрами номера его зачетной книжки либо может быть назначен преподавателем. Под этими цифрами нужно написать буквы А, Б, В, Г. Буква и соответствующая цифра определяют координаты личных исходных данных в табл. 1. Например, для шифра 9156 исходные данные в табл. 1 выделены. В табл. 1 расстояния и длины стержней даны в метрах, площади поперечных сечений стержней – в , пределы текучести материалов стержней – в ГПа (i=1, 2, 3). Задачу необходимо решить с использованием кинематического и статического методов теории предельного равновесия (см. пример решения). Рассмотреть шесть вариантов задачи, варьируя между собой заданные площади поперечных сечений стержней. Результаты расчетов оформить в виде следующей таблицы 2 (например, для шифра 9156):



Рис. 1.

Таблица 1

Вар.	a	b	c
0	1	3	4	2	1.5	1	3	4	5	0,2	0,25	0,3
1	2	4	3	3	2.5	2	1	3	4	0,3	0,2	0,25
2	3	4	5	2.5	2	3	8	2	3	0,4	0,2	0,3
3	6	5	4	1.5	2	4	3	1	2	0,5	0,3	0,4
4	4	3.5	4.5	3.5	4	4	3	1	8	0,2	0,4	0,3
5	3	4.5	3.5	4	3	3	7	2	4	0,3	0,2	0,4
6	5	4.5	5.5	4.5	5	2	1	3	5	0,5	0,2	0,3
7	6	5.5	4.5	5	2	1	2	4	6	0,3	0,5	0,2
8	4	2	4	3	4	2	1	3	7	0,6	0,4	0,3
9	3	4	2	3	3	3	7	2	8	0,4	0,6	0,4
	A			Б			В			Г

Таблица 2

№						V
1	7	2	4
2	7	4	2
3	2	4	7
4	2	7	4
5	4	7	2
6	4	2	7

В табл. 2 , – верхняя и нижняя оценки предельной нагрузки, соответственно, V= – суммарный объем несущих стержней.

2. Основные положения теории предельного равновесия. Ме­тоды решения задач о несущей способности элементов конст­рукций

2.1. Поверхность нагружения

Для математической постановки задачи механики сплошной среды необ­ходимы соотношения, определяющие связь между силовыми и кинематиче­скими параметрами в элементе среды. Разрушение материала (пластическое, или хрупкое) является, как правило, необратимым процессом. Когда дефор­мирование среды является необратимым процессом, поведение материала, предписываемое законом деформирования, должно зависеть от направления процесса. Такая своеобразная неаналитичность приводит к появлению в фа­зовом пространстве внутренних параметров некоторых предельных поверх­ностей, очертание и изменение которых оказывает решающие влияние на форму самого закона деформирования (В. Д. Клюшников [1]).

В результате изменения внешних сил, действующих на тело, и перемеще­ний его границы, происходит изменение напряженно-деформированного со­стояния каждого его элемента. Процесс изменения напряжений в эле­менте называют процессом нагружения, а изменение его деформации – процессом деформирования.

Любой из этих процессов можно представить в виде кривых – траекторий в некоторых фазовых пространствах, координатами которых являются пара­метры либо напряженного, либо деформированного, состояний. В простран­стве напряжений каждому напряженному состоянию отвечает опреде­ленная точка или вектор – вектор напряжений, начало которого совпа­дает с началом координат (ненапряженное состояние), а конец совпадает с данной точкой. Изменению напряженного состояния (догрузке) отвечает вектор , который называют вектором догрузки, процессу изменения на­пряжений – траектория, вычерчиваемая концом вектора (траектория, или путь нагружения).

Аналогичным образом определяют пространство деформаций. Иногда одно и то же девятимерное декартово пространство используют как для представления напряжений, так и для представления деформаций, отклады­вая вдоль данного орта пространства одноиндексные компоненты тензоров (например, и ).

Мы ограничимся рассмотрением только таких материалов, для которых результат деформирования не зависит от скорости процесса нагружения в данное напряженное состояние (упруго-пластические материалы).

Обобщение свойств деформирования упругопластического тела, которые оно проявляет при одноосном растяжении–сжатии, на случай сложного на­пряженного состояния приводит к концепции о существовании поверхности нагружения (В. Д. Клюшников [1]), которая состоит в следующем (рис. 2).



Рис. 2

Для каждой текущей точки произвольной траектории нагружения в пространстве напряжений существует поверхность пределов упругости (поверхность нагружения), все внутренние точки которой достижимы из данной упругим деформированием. Поэтому если, начиная с какой-то точки, траектория нагружения идет внутри поверхности, построенной для этой точки, например , то новых необратимых деформаций не возникает. Считается, что в таком процессе сама поверхность нагружения не изменя­ется; для любой точки такой траектории поверхностью нагружения служит поверхность (начальная поверхность показана на рис. 2 штриховой линией).

Если же траектория выходит наружу поверхности нагружения, построен­ной для предыдущей точки, например, траектория , то возникают новые необратимые деформации. При этом меняется сама поверхность нагружения (ибо она должна содержать текущую точку траектории). Считается, что это изменение поверхности нагружения происходит непрерывно: если отрезок B₁B₂ мал, то новая поверхность f₂, отвечающая точке B₂, мало отличается от f₁ и в пределе, когда B₂→ B₁, эти поверхности совпадают.

Процесс, при котором возникают необратимые деформации, называют активным нагружением, а процесс, сопровождающейся только упругим де­формированием – пассивным нагружением, или – разгрузкой. Процесс, при котором траектория нагружения, начиная с некоторой точки, идет вдоль по­верхности нагружения, построенной для этой точки, например B₁B₁^', явля­ется пограничным между активным и пассивным, и его называют нейтраль­ным нагружением. Свойства деформирования при нейтральном нагружении опре­деляют как предельные.

Деформацию элемента материала _ij часто представляют как сумму упру­гой (обратимой) и пластической (необратимой) частей:

. (1)

Форма и размеры поверхности нагружения определяются только пластиче­ской частью деформации и историей ее изменения. Следовательно, аналити­чески уравнение текущей предельной поверхности можно представить в виде

, (2)

где через _n^p условно представлены параметры, зависящие от истории изме­нения , постоянные при фиксированных (В. Д. Клюшников [1]).

Следует отметить, что представление общей деформации в виде двух ад­дитивных составляющих является всего-навсего широко распространенной гипотезой. При случайной или методологической ошибках в выделении пла­стической составляющей из общей деформации могут возникнуть сущест­венные искажения экспериментального результата (А. Н. Супрун [2]).

2.2. Принцип максимума Мизеса и постулат Друккера. Ассоциированный закон де­формирования

Принцип максимума Р. Мизеса формулируется следующим образом (Ю. Н. Работнов [3]). Пусть задано распределение скоростей , которому со­ответствует поле напряжений _ij. Мощность диссипации определяется следующим образом:

. (3)

Здесь – тензор скоростей пластической деформации.

Утверждается, что для истинного напряженного состояния мощность диссипации не меньше, чем для любого допустимого состояния , т.е. та­кого, что во всех точках тела . Итак,

. (4)

Это условие записывают следующим образом:

. (5)

Д. Друккером было высказано следующее утверждение: новая необрати­мая деформация в упруго–пластических телах не может возникнуть само­произвольно; для ее создания нужно затратить энергию. В дальнейшем это положение было развито в его многочисленных работах (см., например, Д. Друккер [4]), и был назван постулатом устойчивости материала. Согласно мнению самого Д. Друккера [4], постулат устойчивости материала является не законом природы, а средством, позволяющим дать общую классификацию материалов, которая выходит за пределы понятий, охватывающих специаль­ные категории: упругость, пластичность, вязкость и т.д. Для материалов с не­зависящими от времени свойствами критерий устойчивости в малом для произвольного ненулевого нагружения имеет следующий вид:

(6)

Критерий устойчивости в малом для произвольного цикла нагрузки и раз­грузки имеет вид:

(7)

В теории пластичности доказывают (например, В. Д. Клюшников [1]),что если условие (7) выполняется, то поверхность нагружения является вы­пуклой, а вектор направлен по внешней нормали к этой поверхности в точке соответствующего напряженного состояния. Условие (7) выполня­ется, если состояние материала соответствует участкам ОА, АВ, ВС диа­граммы деформирования _ij – _ij (рис. 3), и не выполняется для состоя­ний материала, характеризующихся нисходящим участком CD этой диа­граммы.



Рис. 3

Предполагая справедливым концепцию поверхности нагружения и нера­венство (7) можно заключить, что в регулярной точке поверхности на­гружения

(8)

Здесь – скалярный коэффициент. Для конической точки по­верхности нагружения считают справедливым подход, основанный на сле­дующем предположении: поверхность нагружения в каждый момент времени представляется как огибающая конечного или бесконечного числа регуляр­ных поверхностей f_, каждая из которых обладает всеми свойствами поверх­ности нагружения. Единичное приращение пластической деформации, про­исходящее при изменении любой из регулярных поверхностей, дается соот­ношениями (8), где вместо  и f нужно представить _ и f_, а полное приращение пластической деформации определяется как сумма единичных приращений (следует отметить, что это предположение апеллирует к прин­ципу независимости действия пластических механизмов). Для конической точки поверхности нагружения при таком подходе справедливы следующие соотношения:

(9)

Здесь отличны от нуля только те _, для которых выполняются условия, указанные в (9).

Как справедливо отмечено в книге [1] В. Д. Клюшникова, независимость действия пластических механизмов – явление, не свойственное нелинейной механике. Однако соотношения (9) нашли довольно широкое применение в теории пластичности. Это объясняется их относительной простотой. Фор­мулы (8), (9) являются соотношениями теории пластического течения и они позволяют решать геометрически и физически нелинейные задачи тео­рии пластичности, двигаясь малыми шагами вдоль диаграммы _ij – _ij.

Соотношения в (8), (9), связывающие c _ij, ассоциированы (связаны) с функцией нагружения f , и поэтому их называют ассоциирован­ными законами пластичности.

Следует отметить, что в принципе возможны соотношения пластичности, не удовлетворяющие условию градиентальности, но случай этот нужно отне­сти к разряду необычных и считать оправданным только тогда, когда явным образом обнаруживается структурная неустойчивость материала (В. Д. Клюшников [1]).

2.3. Постановка задачи о предельном рав­новесии тел

Общая постановка задачи об оценке несущей способности элемента конструкции состоит в следующем (Ю. Н. Работнов [3], М. И. Ерхов [5]). На части по­верх­ности заданы мгновенные скорости перемещений , на части по­верхно­сти S_p заданы усилия , где  – неопределенный множитель (могут присут­ствовать нагрузки, которые не зависят от параметра ). Требуется оценить несущую способность конструкции, т.е. то значение параметра на­грузки _о, при котором конструкция превращается в механизм, имеющий, как минимум, одну степень свободы.

Для решения поставленной задачи привлекаются следующие соотноше­ния:

Уравнения равновесия

(10)

Граничные условия для напряжений

. (11)

Кинематические граничные условия

(12)

Соотношения ассоциированного закона деформирования

(13)

Уравнение поверхности нагружения, соответствующие предельному состоянию (уравнение поверхности текучести или поверхности проч­ности)

(14)

Поля скоростей перемещений и скоростей деформаций могут иметь до­пус­тимые разрывы и связаны между собой соотношениями

(15)

Решение полной системы уравнений (10) – (15) в общем случае явля­ется чрезвычайно сложной задачей. Аналитические решения о несущей спо­собности конструкций получены только для ограниченного круга задач.

2.4. Уравнение баланса мощностей

Вариационные принципы механики являются исключительно мощным средством исследо­вания конструкций. Хотя соответствующие системы раз­решающих уравнений механики сплош­ной среды вытекают как условия ста­ционарности определенных функционалов, тем не менее, ва­риационные формулировки имеют ряд преимуществ (К. Вашидзу [6]). В частности, ва­риаци­онные принципы иногда приводят к формулам для верхней и нижней оценок точного решения задачи. Основой для вариационной формулировки задач во многих случаях служит принцип воз­можных перемещений (принцип виртуальной работы) (Н. Н. Бухгольц [7]), который можно сформулировать так: пусть механическая система, на которую наложены заданные геометри­че­ские связи, находится в равновесии под действием приложенных сил. То­гда сумма всех вирту­альных работ 'W всех внешних и внутренних сил, действующих на эту систему, на любых бес­конечно малых виртуальных пе­ремещениях, удовлетворяющих заданным геометрическим свя­зям, равна нулю:

(16)

Здесь 'W не является вариацией некоторой функции состояния W, а всего лишь означает пол­ную виртуальную работу. Тем не менее, из (16) следуют для многих важных, для практики, случаев, соотношения, которые имеют явно вариационный характер.

Принцип виртуальной работы остается справедливым независимо от со­отношений напряже­ния – деформации и существования потенциальных функций. Для тел, имеющих жесткие (неде­формируемые) области и разрыв­ные поля напряжений и деформаций (перемещений) уравнение (16) имеет следующий вид (М. И. Ерхов [5]):

. (17)

Здесь V – объем тела; S_l – l-ая поверхность разрыва виртуальных перемеще­ний; _ijn_j – компо­ненты напряжений на S_l; l – номер поверхности разрыва виртуальных перемещений; n_j – компо­ненты нормали к соответствующей поверхности; [u_i] – величина разрыва виртуального пере­мещения; p_i – компоненты вектора поверхностной нагрузки; X_i – компоненты вектора объ­емной нагрузки; .

Уравнения статической теории пластичности не содержат времени; од­нако, разделив их на dt, можно формально перейти от приращений d_ij к скоростям деформации . Под переменной t здесь можно понимать время, или монотонно возрас­тающий параметр на­грузки, или, наконец, какую–нибудь другую монотонно возрастающую величину. После разделе­ния (17) на dt с учетом сказан­ного, получим

(18)

Это уравнение является уравнением баланса мощностей всех сил, действую­щих на рассматри­ваемое тело. В научной литературе оно приводится под различными названиями. Например, в книге Л.М. Качанова [8] – "основное энергетическое уравнение"; в книге М.И. Ерхова [5] – "принцип виртуальной мощности"; в книге Д.Д. Ивлева [9] – " уравнение скорости виртуальных ра­бот"; в книге Ю.Н. Работнова [3] – "уравнение равновесия в форме Ла­гранжа".