Сущность экспер. подхода. Нефтегазовое дело
 Скачать 162.62 Kb.
|
РЕФЕРАТ Сущность экспериментального подхода к получению математической модели. Направление: 21.03.01«Нефтегазовое дело» Выполнил студент группы НДМ-В-21/1 А.В. Чугунов (подпись) Доцент кафедры, к.т.н. Е.А. Цынаева (подпись)  Содержание Введение 3 Математическое моделирование и вычислительный эксперимент 4 Система типа «черный ящик» и проблема ее идентификации 7 Получение математической модели в виде функциональной зависимости по экспериментальным данным, понятие об интерполяции, экстраполяции, аппроксимации и сглаживании экспериментальных данных 11 Методика определения параметров модели в виде функциональной зависимости на основе метода наименьших квадратов 20 Заключение 23 Список использованных источников 24 Введение Развитие научного познания в современном обществе сопряжено с использованием средств и методик математического моделирования. Сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительно-логических алгоритмов. Такой метод познания, конструирования и проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Под моделью (от лат. modulus - мера, образец, норма) понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием. Многие задачи механики, физики, химии и других отраслей науки и техники при их математическом моделировании сводятся к дифференциальным уравнениям. В связи с этим решение дифференциальных уравнений является одной из важнейших математических задач. В вычислительной математике изучаются численные методы решения дифференциальных уравнений, которые особенно эффективны в сочетании с использованием вычислительной техники. Универсальными методами являются методы численного интегрирования. В математике задача интегрирования изучается для конкретных табличных функций. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования – исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование – это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им. Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Отметим некоторые существенные для исследований особенностях механических систем и процессов. Во-первых, факторы, определяющие такие объекты, характеризуются, как измеримые величины – параметры. Во-вторых, в основе таких моделей лежат уравнения, описывающие фундаментальные законы природы (механики), не нуждающиеся в пересмотре и уточнении. В-третьих, наибольшую трудность при разработке моделей механических систем и процессов представляет описание недостоверно известных характеристик объекта, как функциональных, так и числовых. В-четвертых, современные требования к таким моделям приводят к необходимости учета множества факторов, влияющих на поведение объекта, не только таких, которые связаны известными законами природы. Этапы построения математических моделей: содержательная, концептуальная и математическая постановка задачи моделирования Содержательная постановка Необходимость в новой модели может появиться в связи с проведением научных исследований (особенно – на стыке различных областей знания), выполнением проектных и конструкторских работ на производстве, созданием систем автоматического управления, планирования и контроля. Человека или организацию, заинтересованных в разработке новой математической модели, для краткости будем называть заказчиком. После принятия решения о необходимости построения новой математической модели заказчик ищет исполнителя своего заказа. Основной целью данного этапа является подготовка содержательной постановки задачи моделирования. Перечень сформулированных в содержательной (словесной) форме основных вопросов об объекте моделирования, интересующих заказчика, составляет содержательную постановку задачи моделирования. Концептуальная постановка задачи моделирования Концептуальная постановка задачи моделирования – это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования. Наибольшие трудности при формулировке концептуальной постановки приходится преодолевать в моделях, находящихся на “стыке” различных дисциплин. Математическая постановка задачи моделирования Законченная концептуальная постановка позволяет сформулировать математическую постановку задачи моделирования, включающую совокупность различных математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования. Математическая постановка задачи моделирования – это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования. Совокупность математических соотношений определяет вид оператора модели. Для создания математических моделей сложных систем и процессов, применимых для широкого класса реальных задач требуется привлечение большого объема знаний, накопленных в рассматриваемой дисциплине (а в некоторых случаях и в смежных областях). Математические модели основываются на математическом описании объекта. В математическое описание, прежде всего, входят, и это естественно, взаимосвязи параметров объекта, что характеризует его особенности функционирования. Такие связи могут представляться в виде: вектор-функций  ,неявных функций  ,обыкновенных дифференциальных уравнений  ,дифференциальных уравнений с частными производными  ,интегро-дифференциальных уравнений  оптимизационных задач  ,вычислительного алгоритма, вероятностного (стохастического) описания. Под математическим описанием понимается полная совокупность данных, функций и методов вычисления, позволяющая получать результат. Простейшая классификация математических моделей в зависимости от природы объекта, решаемых задач и применяемых методов, происходит следующим образом: линейные или нелинейные (описываемые функциями, которые содержат основные параметры только в степени 0 и 1, или любыми видами функций), стационарные или нестационарные (независящие или зависящие от времени), непрерывные или дискретные, детерминированные или стохастические (точные, однозначные или вероятностные), четкие или нечеткие (примеры нечетких множеств: около 10; глубоко или мелко; хорошо или плохо). Система типа «черный ящик» и проблема ее идентификации Одной из основных проблем, возникающих при управлении динамическими системами, является проблема построения для них адекватных математических моделей. Эта проблема может решаться на основе применения уравнений точных наук - физики, механики, электротехники, которые описывают динамические процессы, протекающие в рассматриваемом объекте управления. Однако математические модели динамики можно строить, не используя законы классических наук, а непосредственно по экспериментальным данным, с помощью методов идентификации. Процесс идентификации можно определить, как задачу построения математической модели объекта по его реакциям на заданные воздействия. В результате применения процедуры идентификации получается модель типа «вход-выход», соответствующая экспериментальным данным для заданных условий эксперимента. Эта модель будет адекватной, вообще говоря, только для тех входных сигналов, при которых проводился эксперимент, и возможность ее использования для других входных сигналов требует дальнейшего исследования. В этом состоит отличие идентификационных моделей от математических моделей точных наук, в которых модели строятся, исходя из соответствующих законов и имеют «абсолютную адекватность», то есть при правильном учете всех действующих факторов они могут быть использования в случае любых входных сигналов. В постановке задач идентификации существует известная вариабельность. Разнообразны и методы решения поставленных задач. Выбор метода идентификации существенно опирается на априорную информацию об объекте. В ряде случаев может иметься априорная информация об уравнениях модели, заданных с точностью до неизвестных параметров. Кроме того, могут быть сведения о том, какие координаты модели доступны, а какие недоступны прямому измерению. Для таких объектов - объектов с известной структурой модели - задача идентификации сводится к оценке параметров и восстановлению не измеряемых координат объекта. Это случай параметрической идентификации. Следует отметить, что наличие априорной информации о структуре модели в большинстве случаев позволяет ускорить процесс идентификации и сократить объем вычислений. В других случаях информация о структуре математической модели объекта может совсем отсутствовать, и объект рассматривается как «черный ящик». «Черным ящиком» называют объект, устройство которого неизвестно или игнорируется и который рассматривается лишь как некоторое устройство, преобразующее входные сигналы - Х в выходные -Y стимулы в реакции (рис. 1).  Рис. 1. Объект идентификации Для подобных случаев идентификация включает в себя выбор структуры модели и осуществляется с помощью непараметрических методов. Под непараметрическими методами идентификации принято понимать те методы, в которых отыскиваются не отдельные параметры модели, а некоторые функции, характеризующие эту модель. Совместно с информацией о структуре модели при решении задач идентификации используется информация в виде измерений входных и выходных сигналов объекта. Если измерение этих сигналов и вычисление характеристик математической модели производится одновременно, в реальном масштабе времени, то такая идентификация называется оперативной. В отличие от этого ретроспективная идентификация основывается на обработке ранее полученных данных. При ретроспективной идентификации процессы измерения и вычисления могут быть разделены значительным временным интервалом. Рассматриваемые в данном пособии методы непараметрической идентификации относятся в основном к методам ретроспективной идентификации, оперативная идентификация более характерна для задач параметрической идентификации. Пусть имеется некоторый объект, представляющий собой для исследователя «черный ящик» (см. рис. 1), и задачей исследования является идентификация этого объекта, то есть построение его математической модели по экспериментально измеренным реакциям объекта у на заданные входные сигналы х. Относительно эксперимента будем предполагать, что он является многократным в том смысле, что его условия (в принципе) многократно воспроизводимы и можно наблюдать реакции «черного ящика» на различные входные сигналы для тех же самых условий эксперимента. Входной х и выходной у сигналы «черного ящика» функционально связаны с помощью некоторого оператора F - точной модели «черного ящика». Этот оператор, задающий связь – y = F[x], неизвестен, и задача идентификации состоит в его нахождении на основе измерения сигналов х и у. В реальных экспериментах можно подать только ограниченное количество входных сигналов, а в ряде случаев - только один. При этом, однако, нужно обеспечить, чтобы построенная модель «черного ящика» была бы адекватной и для других входных сигналов. Это - проблема полноты тестирования. Задача идентификации может рассматриваться как оптимизационная задача в следующем смысле. Пусть даны: 1) множество входных сигналов - X, на котором ищется решение задачи идентификации, и соответствующее ему множество выходных сигналов - У; 2) множество моделей, в котором ищется решение задачи идентификации - Ф, причем сам оператор F в общем случае может и не принадлежать Ф; 3) критерий точности (критерий оптимальности) -неотрицательно определенный на Y функционал Q. Пусть у - выходной сигнал некоторой модели «черного ящика» Fe Ф, то есть у = F[x]. Теперь задачу идентификации можно рассматривать как задачу аппроксимации оператора F оператором F на основе минимизации критерия точности Q( у, у ), то есть из условия Q(j,y) = Q(№,rM)->min. Множество моделей Ф, на котором ищется решение задачи идентификации, произвольным выбирать нельзя, так как в таком произвольно выбранном множестве может не существовать система F, удовлетворяющая условию выше. Выбор множества моделей Ф осуществляется с учетом возможности аппроксимации оператора F операторами из этого множества. Такая возможность обеспечивается при использовании операторов Вольтерра - линейных и нелинейных (полиномиальных). При решении задач идентификации обычно приходится считаться с неточностями измерений сигналов и задании уравнения модели. Традиционный способ борьбы с погрешностями состоит в использовании дополнительных измерений и метода наименьших квадратов. Однако даже в этом случае задача идентификации может оказаться некорректной в том смысле, что малые ошибки в измерениях сигналов и в задании модели могут породить значительные ошибки в результатах идентификации. Для того чтобы избежать этого и обеспечить непрерывную зависимость параметров модели от погрешностей в измерениях и в задании модели, можно использовать различные варианты методов решения некорректных задач - методов регуляризации. Получение математической модели в виде функциональной зависимости по экспериментальным данным, понятие об интерполяции, экстраполяции, аппроксимации и сглаживании экспериментальных данных На практике часто возникает необходимость перехода от табличного способа задания функции к аналитическому. Задание функции формулой имеет следующие преимущества: во-первых, формулы занимают мало места, во-вторых, как правило, с помощью формул легче выполнить вычисления. А самое главное, с помощью таблицы невозможно найти значения функции в тех точках, которые отсутствуют в таблице. Общая задача интерполяции функции заключается в том, чтобы найти определенную на отрезке  функцию  такую, что  где  =1, 2, …, n и  < <...< Естественно требовать найти простейшую функцию с вычислительной точки зрения. Если простейшей назовём функцию, значения которой вычисляются арифметическими действиями сложения, вычитания и умножения, то такой является целая рациональная функция, то есть многочлены.Таким образом, одна из наиболее важных проблем состоит в том, чтобы уметь записать многочлен  степени не выше n-1, обладающий тем свойствам, что  =1, 2, …, n. Очевидно, что если такой многочлен существует, то он единственный. Действительно, предположим, что существуют два таких многочлена  и   Тогда уравнение  степени не выше n-1 имеет n корней   ( =1, 2, …, n), что невозможно. Возьмём    (3.1)Многочлены  =1, 2, …, n называются коэффициентами Лагранжа. Эти многочлены обладают следующими свойствами: они имеют степень n-1,    при  Многочлен (3.1) обладает следующим свойствам: имеет степень не выше n-1, удовлетворяет условиям  =1, 2, …, n. Формула (3.1) называется интерполяционной формулой Лагранжа, - узлами интерполяции, а ( ,  ) – узловыми точками.В том случае, когда функция  на промежутке интерполяции монотонна, в формуле (3.1) заменяя x на y, а y на x, получим формулу, с помощью которой можно выполнить обратную интерполяцию, то есть с помощью значений функции вычислить соответствующие значения аргумента.На практике широко применяются линейная и квадратичная интерполяции. При n=2 интерполяционная формула Лагранжа примет вид:  (3.2)В результате получается уравнение прямой, проходящей через точки  и  При n=3 из формулы (3.1) получим формулу  которая является уравнением параболы, проходящей через точки   и  Если требуется найти значение функции в точке, не являющей узловой, то с помощью линейной интерполяцией можно «уплотнить» таблицу не построив интерполяционный многочлен. Пусть   и  где  Для любого  по формуле (3.2) получим    а для любого    Тогда    Такой метод интерполяции называется методом Эйткена. Тригонометрическая интерполяция. Рассмотрим интерполирование периодических функций. Пусть функция задана на отрезке   таблицей значений   в равноотстоящих узлах  =0,1, 2, … , n-1 или  =0, 1, …, n-1. Тригонометрическим многочленом степени m называется многочлен  Задача тригонометрической интерполяции состоит в построении тригонометрического интерполяционного многочлена, удовлетворяющего условиям  ( )= , i=0,1, 2, …, n-1. Можно показать, что решением этой задачи является многочлен (x)=  +  , где коэффициенты  и  вычисляются по следующим формулам:  =  , =  , =  , k=1, 2, …, m.Экстраполяция – приближённое определение значений функции в точках, лежащих вне отрезка . Методы экстраполяции в основном совпадают с методами интерполяции. Например, значения функции можно вычислить с помощью того же интерполяционного многочлена.Под экстраполяцией понимается нахождение по опытному ряду значений функций других ее значений. Экстраполяцию применяют тогда, когда пределы измерения факторов, полученные в опытах надо расширить, но пользоваться ею следует осторожно. Если закономерности изменения функции могут быть представлены рациональной формулой, то лучше всего для экстраполяции эти закономерности выразить математически. Когда имеется эмпирическая формула или график опытных закономерностей, интерполяция в большинстве случаев в пределах одного классового интервала (по аргументу) в каждую сторону (по формуле или продуманным продолжением плавной кривой) дает практически приемлемую точность, но более широкая экстраполяция будет ненадежной. В задачах теории колебаний, электродинамики и других разделах прикладной математики широко применяется аппроксимация функций при описании физических параметров сред. В задачах вычислительной математики аппроксимация функций является основой для разработки многих методов и алгоритмов. Аппроксимация, или приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. Иными словами, аппроксимация некоторой функции y=f(x) заключается в замене другой функцией g(x, a0,a1,…, an) так, чтобы отклонение g от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве Х) определенному условию. При этом функция g(x, a0,a1,…, an) обычно выбирается с учетом специфических особенностей рассматриваемой функции f(x). Если множество Х дискретно, то приближение называется точечным, если же Х есть отрезок a≤x≤b, то приближение называется интегральным. Частным случаем аппроксимации является интерполяция. Обычно задача аппроксимации распадается на две части: 1. Сначала устанавливают вид зависимости y=f(x) и, соответственно вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. 2. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим. Иной подход к решению задачи аппроксимации: - Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции. - После выбора вида формулы определяют ее параметры. Для наилучшего выбора параметров задают меру близости аппроксимации экспериментальных данных. Во многих случаях, в особенности если функция f(x) задана графиком или таблицей (на дискретном множестве точек), для оценки степени приближения рассматривают разности f(x)φ(xi) для точек x0, x1, …, xn. Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn Сглаживание данных Экспериментальные исследования, проводимые как в натуре, так и на моделях, должны быть предварительно тщательно продуманы не только в отношении порядка их проведения, но и в отношении выбора способов обработки результатов наблюдения. Наблюдения обобщают не только по окончании опытов, но и в ходе проведения. Внимательный и добросовестный исследователь всегда стремится еще в процессе опытов установить необходимые закономерности, возможные отклонения и их причины, новые факторы, связи, взаимодействия. Для обобщения используют все материалы наблюдений: таблицы записей, осциллограммы, записи на магнитных носителях, фотоснимки и т.д. Не следует забывать и мелких заметок, так как иногда подмеченное во время опыта явление, кажущееся случайным, может объяснить причины и развитие явлений. Сопоставляя все материалы исследователь ищет раскрытие связей взаимодействия, функциональных зависимостей факторов. Установив их, он выделяет главные связи, зависимости, взаимодействия и устанавливает общие закономерности явлений. При обработке опытных данных надо стремиться как можно более разносторонне представить различные связи и отношения, сопоставить значения отклонений, скорости изменения величин и соответствующих ускорений, максимумов и минимумов, сравнивать различные величины, расположенные в порядке увеличения или уменьшения их значений и применять другие приемы. Функциональные связи легче найти, если данные опытов представить таблицами или графиками. Полученные в таблицах ряды цифр или кривые графиков вследствие различных причин могут изменяться не плавно. Например, кривые, проведенные по точкам опытов, будут ломаными. Прежде всего, следует установить, не являются ли скачки цифр и изломы линий следствием естественных закономерностей и, если потребуется, повторить все опыты, может быть, сузив их границы и приняв все меры к тому, чтобы исключить влияние ошибок наблюдения. Затем надо решить, являются ли скачкообразные изменения необходимыми для объяснения явления. Например, при исследовании затрат энергии в трансмиссии в функции передаваемой мощности скачкообразные изменения не объясняют явления и зависят от случайных причин. В подобных случаях кривые должны протекать плавно, их надо сглаживать. Если же взять исследование вибрации деталей, то здесь предметом исследования являются сами скачкообразные изменения величины, связанные с сущностью явлений, и спрямлять, сглаживать их нельзя. Основанием сглаживания кривых является плавность изменения функции при плавном изменении аргумента. Выровненные кривые должны наиболее близко отображать общую закономерность развития явления. Это означает, что они не обязательно должны быть средними и что усреднение - это лишь один из приемов сглаживания и выравнивания. Следует отметить, что после проведения выравнивания нельзя уничтожить первоначальные таблицы и графики, так как они являются документом необходимой ступени исследования. Если отдельные резкие отклонения находят объяснение в изменении условий измерений, их опускают, а вместо них при помощи интерполяции находят точки, близко расположенные к естественной плавной кривой. Если резкие отклонения не могут быть объяснены изменениями условий измерений, то опыт лучше повторить и даже группу опытов. Далее надо выяснить, насколько разбросаны точки опытов в обе стороны от воображаемой плавной кривой, соединяющей их. Разброс опытных точек неизбежен и надо решить, необходимо ли сглаживать кривую. Дело в том, что сглаживание любым методом может в той или иной степени изменить параметры опытной кривой, смягчить, уменьшить ее перегибы, и поэтому если все опытные точки могут быть соединены плавной кривой (то есть иначе, если разброс точек лежит в пределах ошибки чертежа), то выравнивания не требуется. Если же разброс точек опытов таков, что соединить их плавной кривой невозможно, нужно сгладить ее, сохранив общий характер развития данной несглаженной функции. Есть два широко применяемых способа выравнивания таблиц с постоянным шагом: способ разностного сглаживания, способ наименьших квадратов. Способ разностного сглаживания По способу наименьших квадратов сглаженное значение неплавной функции  будет равно: где  - сглаженное значение, которым его заменяют; - два предшествующих значения функции относительно   - два последующих значения функции относительно  .Достоинство этого способа – его точность, особенно для параболической зависимости .Недостаток – две первые и две последние точки не подлежат сглаживанию. Поэтому способ наименьших квадратов применим лишь при 8-9 и большем количестве опытных точек. Если необходимо, сглаживание повторяют. Способ разностного сглаживания охватывает все ряды, но требует, чтобы разность в значениях функции между двумя последующими значениями не превышала 2-5% величины функции, поэтому его можно применить только к измерениям достаточно высокой степени точности и плавности. Порядок разностного сглаживания заключается в следующем: 1. Из таблицы берут значение аргумента  и функции  . Значение аргумента записывают в первом столбце таблицы 3, а значение функции – в третьем столбце.2. Вычисляют средние межклассовые значения  аргумента и заносят их во второй столбец.3. Определяют разности значений функций  по третьему столбцу и заносят в четвертый столбец против средних межклассовых значений аргумента.4. Наносят значения разностей на график в функции средних значений аргумента  .5. На графике на глаз проводят линию, среднюю по отношению к точкам разностей .6. Берут по графику сглаженные разности  , заносят их в пятый столбец против несглаженных разностей.7. Находят сглаженные значения функций  и записывают их в шестой столбец.Если первичного сглаживания недостаточно, то проводят вторичное, так же, как первое. Сглаживание графиков (проведения плавной кривой по опытным данным, имеющим разброс) также подчинено некоторым простым правилам. Чтобы провести плавную кривую, надо использовать остро отточенный твердый карандаш и прозрачные гибкие шаблоны (лекала, угольники, линейки). Не обязательно, чтобы кривая проходила через опытные точки, но необходимо сохранить общий характер закономерности. Расположение кривой должно соответствовать физическому смыслу явления. Основное правило графического сглаживания: плавная кривая должна быть возможно ближе ко всем опытным точкам. Отсюда вытекает требование того, чтобы сумма отрезков нормалей, опущенных из опытных точек на кривую, должна равняться нулю. Вначале осторожно, без нажима проводят первую кривую. Если она не удовлетворяет проверочным требованиям, ее не стирают, а наносят вторую линию. Если понадобится, то вычерчивают третью линию, затем тонкой линией обводят лучший вариант, а остальные стирают. При точном и полном выполнении проверочных требований графический способ сглаживания кривых является наиболее общим и универсальным. После проведения сглаживания табличных данных (или графического) строят сглаженную кривую и по ее виду определяют вид эмпирической кривой. Методика определения параметров модели в виде функциональной зависимости на основе метода наименьших квадратов Выбрать модель – значит выбрать вид функции отклика y F(x1,x2,…,xk), записать ее уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для оценки численных значений констант (коэффициентов) этого уравнения. Для факторов существуют области определения. Это значит, что у каждого фактора есть минимальное и максимальное возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, внутри которого лежат точки, соответствующие состояниям «черного ящика». Пунктирными линиями на рис. обозначены границы областей определения каждого из факторов, а сплошными – границы их совместной области определения.  Рис 2. – Область определения факторов Как верно выбрать модель? Модели бывают разные. Моделей бывает много. Чтобы выбрать одну из них, надо понять, что мы хотим от модели, какие требования мы к ней предъявляем. Теперь мы, пожалуй, сможем сформулировать эти требования. Исходя из выбранной стратегии, ясно, что главное требование к модели – это способность предсказывать направление дальнейших опытов, причем предсказывать с требуемой точностью. Так как до получения модели мы не знаем, какое направление нам понадобится, то естественно требовать, чтобы точность предсказания во всех возможных направлениях была одинакова. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с- помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше чем на некоторую заранее заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому или какому-либо аналогичному требованию, называется адекватной. Проверка выполнимости этого требования называется проверкой адекватности модели. Разработаны специальные статистические методы, с помощью которых проверяется адекватность. Если несколько различных моделей отвечают нужным требованиям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой простой. На рис 2. изображена логарифмическая функция. На некотором отрезке xmin, xmax она с удовлетворительной точностью описывается двумя уравнениями: y logb x , y bx . В втором уравнении b – коэффициент, который мы можем оценить, например, по результатам эксперимента. Какое из уравнений, (1) или (2), по вашему мнению, проще? Простота – вещь относительная. Если вы заранее не сформулируете точно, что называется простым, а что сложным, то невозможно произвести выбор. Вот почему на наш вопрос не было никакого другого ответа, кроме «не знаю». При прочих равных условиях мы всегда будем предпочитать степенные ряды. Точнее, отрезки степенных рядов – алгебраические полиномы. При таком соглашении можно сказать, что уравнение (2) проще, чем уравнение (1)/ Mетод наименьших квадратов Пусть в результате измерений получена таблица некоторой зависимости f (x):
Требуется найти формулу, выражающую данную зависимость аналитически. Один из подходов состоит в построении интерполяционного многочлена, значения которого в узлах интерполяции i x совпадают со значениями данной функции f (xi) fi . Если значения функции f (x) известны с некоторой погрешностью, то требование совпадения значений в узлах интерполяции не оправдано, поскольку оно не означает совпадение характеров исходной и интерполирующей функции. Поэтому поставим задачу следующим образом – найти функцию вида y F(x), которая в точках x1 , x2 , , xn принимает значения, близкие к табличным значениям y1 , y2 , , yn .  Предположим, что приближающая функция F(x) в точках x1 , x2 , , xn имеет значения y1 , y2 , , yn . Тогда нужно найти функцию F(x) определенного вида так, чтобы сумма квадратов  была наименьшей.  Заключение Вторая половина XX века связана с появлением и широким распространением новой методологии исследования сложных объектов и систем. В ее основе лежит метод математического моделирования и реализованные на его основе вычислительные эксперименты. Математические модели использовались и раньше. Они позволяли уже тогда анализировать недоступные или несуществующие объекты и процессы. Например: планета Уран была открыта путем анализа возмущений орбит трех планет (Леверье), К.Э. Циолковский показал, что для преодоления земного притяжения требуется первая космическая скорость, а не скорость света. Однако считалось, что методы математического моделирования не пригодны для исследования сложных технических, экономических, биологических и социальных систем. В области техники отсутствие объективных математических методов привело, с одной стороны, к созданию многочисленных частных, так называемых инженерных методик расчета, носивших рецептурный характер, а с другой - к полному безраздельному господству эмпирики (натурных экспериментов). Недостаточно полная проработка вариантов приводила к субъективным решениям. Положение начало меняться во второй половине XX в. при развитии средств вычислительной техники, в частности современных ЭВМ, которое дало в руки исследователей новое эффективное средство моделирования сложных систем. В настоящее время не существует объектов, при изучении которых не применялись бы методы математического моделирования. Разработаны и активно используются математические модели технических устройств, модели разнообразных технологических процессов, экономические модели предприятий, регионов и целых государств, экологические модели, модели геологических и геофизических процессов, модели социальных систем, биологические и медицинские модели. Список используемых источников Ракитин В. И., Первушин В. Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров. – М.: «Высшая школа», 1998 г. Ханова А. А. Интерполяция функций. – Астрахань: Институт информационных технологий и коммуникаций, 2001 г. Ващенко Г. В. Вычислительная математика: основы алгебраической и тригонометрической интерполяции. – Красноярск: СибГТУ, 2008 г. Кириллова С.Ю. Вычислительная математика/Кириллова С.Ю. Изд-во Владим. гос. ун-та, 2009. -102с. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики/ Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда и др.; под ред. Л.И. Бородич.- М.: Высшая школа, 1986. -189с. Тюканов, А.С. Основы численных методов: учеб. пособие для студентов. Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2007. -226с. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. 368 с. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. 432 с. |
