неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл Первообразная функции на промежутке
![]()
|
Неопределенный интеграл 1. Первообразная функции на промежутке Операция нахождения производной F (x) заданной функции F(x) называется дифференцированием. Обратную операцию – отыскания функции F (x) по заданной её производной F (x) (обозначим её через f(x)) ставит перед собой интегральное исчисление. Например, ![]() ![]() Определение. Функцию F (x) называют первообразной функции f(x), заданной на некотором отрезке [a,b], если F(x) дифференцируема и F (x)=f(x) и для всех xϵ[a,b]. ![]() Справедливо следующее утверждение: Если функция F(x) есть первообразная функции f (x) на отрезке [а, b], то всякая другая функция вида F(x)+С (С – произвольная постоянная) также является первообразной функции f(x), поскольку (F(x)+С)= F(x)+0=f(x). Таким образом, выражение F (x) + С представляет собой совокупность всех первообразных функции y=f(x). Другого вида нет. 2. Свойства первообразных Свойство 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Пример: Найти первообразную для функции а) f (x) = 2 х + cos x; б) f (x) =5 + х8; в) f (x) = х4 + sin x. Решение. а) ![]() б) ![]() Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной. Пример: Найти первообразную для функции: а) f (x) = 6 cos x; б) f (x) = 12 х2 + 4 х – 2; в) f (x) =8 х2 + 3 sin x Решение. а) ![]() б) ![]() Свойство 3. Если F (x) первообразная для функции f (x), то первообразной для функции g (x) = f (kx+ b) служит функция ![]() 3. Неопределенный интеграл Определение. Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так: ![]() Таким образом, ![]() Так как (F (x)+С) = f (x), то из формулы (1) следует ![]() 4. Свойства неопределенного интеграла 1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. ![]() 3. Если ![]() ![]() При вычислении неопределенного интеграла будем сводить его к табличному. Таблица основных интегралов
Справедливость формул этой таблицы легко проверить дифференцированием. 5. Геометрическое истолкование неопределенного интеграла Известно, что ![]() ![]() Соотношение ![]() ![]() ![]() ![]() Если построена одна такая кривая, то, перемещая её на любой отрезок параллельно оси Ох, мы снова получаем интегральные кривые, т.к. угол наклона касательной вдоль них будет изменяться по одному и тому же закону: ![]() ![]() ВЫВОД: Неопределенный интеграл геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, наклон касательных к которым задан. При этом через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая. ![]() 6. Методы вычисления неопределенного интеграла 6.1. Непосредственное интегрирование Вычисление интегралов с помощью использования свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов называется непосредственным интегрированием. Пример: Вычислить неопределенные интегралы: а) ![]() б) ![]() в) ![]() г) ![]() Решение: а) ![]() б) используя свойство линейности, получаем: ![]() Первый, второй, четвертый и пятый интегралы вычисляются по формуле 2 из таблицы интегралов, а третий интеграл вычисляется по формуле 3. В результате получаем: ![]() б) ![]() в) ![]() 6.2. Метод замены переменных Во многих случаях свести неопределенный интеграл к табличному удается введением новой переменной интегрирования. Такой метод называют методом замены переменных или методом подстановки. Этот метод позволяет интеграл, не берущийся непосредственно, свести к интегралу табличному. Суть метода в том, что в интеграле ![]() ![]() ![]() ![]() Часто встречаются интегралы вида ![]() Замечания 1. Для интегралов вида ![]() а) в случае, когда хотя бы один из показателей целое нечетное число: если m нечетно, то целесообразно делать замену переменной t = cos x, если n – нечетно, то полагают t = sin x. Например, ![]() ![]() б) в том случае, когда оба числа m и n – четные, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул: ![]() Например, ![]() 2. Для интегралов вида ![]() ![]() ![]() 3. При интегрировании выражений с радикалами, содержащими одну и ту же линейную функцию, эту линейную функцию заменяют так, чтобы радикалы исчезли. Если подынтегральное выражение содержит дробные степени одного только х, то подстановка ![]() Например, ![]() 6. 3. Метод интегрирования по частям Этот метод основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций. Теорема. Если u(x) = u и v(x) = v дифференцируемые функции, то справедлива формула ![]() Формула (2) называется формулой интегрирования по частям. Интегрирование по частям предполагает правильный выбор множителей u(x) и dv под интегралом. Общий принцип здесь такой: за u(x) надо принимать dv — множитель, который от дифференцирования упрощается, а за множитель, который легко интегрируется. Рассмотрим интегралы ![]() ![]() ![]() Интегралы следующего вида: ∫P(x)ln(kx+b)dx, ∫P(x)arcsin(kx+b)dx, ∫P(x)arccos(kx+b)dx, ∫P(x)arctg(kx+b)dx, ∫P(x)arcctg(kx+b)dx также вычисляются с помощью формулы (2), причем всегда полагают dv=P(x)dx , а u — все остальное, стоящее под знаком интеграла (см. примеры 3, 4). |