неопределенный интеграл. Неопределенный интеграл Первообразная функции на промежутке
 Скачать 190.62 Kb.
|
|
Неопределенный интеграл 1. Первообразная функции на промежутке Операция нахождения производной F (x) заданной функции F(x) называется дифференцированием. Обратную операцию – отыскания функции F (x) по заданной её производной F (x) (обозначим её через f(x)) ставит перед собой интегральное исчисление. Например,   .Определение. Функцию F (x) называют первообразной функции f(x), заданной на некотором отрезке [a,b], если F(x) дифференцируема и F (x)=f(x) и для всех xϵ[a,b].  Справедливо следующее утверждение: Если функция F(x) есть первообразная функции f (x) на отрезке [а, b], то всякая другая функция вида F(x)+С (С – произвольная постоянная) также является первообразной функции f(x), поскольку (F(x)+С)= F(x)+0=f(x). Таким образом, выражение F (x) + С представляет собой совокупность всех первообразных функции y=f(x). Другого вида нет. 2. Свойства первообразных Свойство 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Пример: Найти первообразную для функции а) f (x) = 2 х + cos x; б) f (x) =5 + х8; в) f (x) = х4 + sin x. Решение. а)  .б)  .Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной. Пример: Найти первообразную для функции: а) f (x) = 6 cos x; б) f (x) = 12 х2 + 4 х – 2; в) f (x) =8 х2 + 3 sin x Решение. а)  б)  Свойство 3. Если F (x) первообразная для функции f (x), то первообразной для функции g (x) = f (kx+ b) служит функция  .3. Неопределенный интеграл Определение. Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается так:  Таким образом,  (1)Так как (F (x)+С) = f (x), то из формулы (1) следует  4. Свойства неопределенного интеграла 1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов. 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.  3. Если  то  При вычислении неопределенного интеграла будем сводить его к табличному. Таблица основных интегралов
Справедливость формул этой таблицы легко проверить дифференцированием. 5. Геометрическое истолкование неопределенного интеграла Известно, что  где  Соотношение  можно геометрически истолковать как задание наклона касательной в точке с абсциссой х к кривой  которая называется интегральной кривой. Задавая  — наклон касательной, мы отыскиваем  т.е. восстанавливаем интегральную кривую, наклон касательной к которой задан.Если построена одна такая кривая, то, перемещая её на любой отрезок параллельно оси Ох, мы снова получаем интегральные кривые, т.к. угол наклона касательной вдоль них будет изменяться по одному и тому же закону:  При этом уравнение каждой кривой имеет вид  ВЫВОД: Неопределенный интеграл геометрически представляет собой семейство интегральных кривых, наклон касательных к которым задан. При этом через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая.  6. Методы вычисления неопределенного интеграла 6.1. Непосредственное интегрирование Вычисление интегралов с помощью использования свойств неопределенного интеграла и таблицы основных интегралов называется непосредственным интегрированием. Пример: Вычислить неопределенные интегралы: а)  б)  в)  г)  Решение: а)  б) используя свойство линейности, получаем:  Первый, второй, четвертый и пятый интегралы вычисляются по формуле 2 из таблицы интегралов, а третий интеграл вычисляется по формуле 3. В результате получаем:  б)  в)  6.2. Метод замены переменных Во многих случаях свести неопределенный интеграл к табличному удается введением новой переменной интегрирования. Такой метод называют методом замены переменных или методом подстановки. Этот метод позволяет интеграл, не берущийся непосредственно, свести к интегралу табличному. Суть метода в том, что в интеграле  полагают В результате получают новый интеграл  который является табличным. Вычисляют его и затем возвращаются к старой переменной, определив t из уравнения  Часто встречаются интегралы вида  Замечания 1. Для интегралов вида  где m, n = 0,1,2,3,… а) в случае, когда хотя бы один из показателей целое нечетное число: если m нечетно, то целесообразно делать замену переменной t = cos x, если n – нечетно, то полагают t = sin x. Например,  . .б) в том случае, когда оба числа m и n – четные, то подынтегральное выражение преобразуют с помощью формул:  Например,  2. Для интегралов вида  где n – натуральное число подынтегральное выражение преобразуется с помощью формул   3. При интегрировании выражений с радикалами, содержащими одну и ту же линейную функцию, эту линейную функцию заменяют так, чтобы радикалы исчезли. Если подынтегральное выражение содержит дробные степени одного только х, то подстановка  где q — общий знаменатель дробных показателей х.Например,  6. 3. Метод интегрирования по частям Этот метод основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций. Теорема. Если u(x) = u и v(x) = v дифференцируемые функции, то справедлива формула  (2)Формула (2) называется формулой интегрирования по частям. Интегрирование по частям предполагает правильный выбор множителей u(x) и dv под интегралом. Общий принцип здесь такой: за u(x) надо принимать dv — множитель, который от дифференцирования упрощается, а за множитель, который легко интегрируется. Рассмотрим интегралы    где P(x) есть некоторый многочлен. Эти интегралы вычисляются с помощью формулы (2), причем всегда полагают u = P(x) , а dv — все остальное, стоящее под знаком интеграла (см. примеры 1, 2).Интегралы следующего вида: ∫P(x)ln(kx+b)dx, ∫P(x)arcsin(kx+b)dx, ∫P(x)arccos(kx+b)dx, ∫P(x)arctg(kx+b)dx, ∫P(x)arcctg(kx+b)dx также вычисляются с помощью формулы (2), причем всегда полагают dv=P(x)dx , а u — все остальное, стоящее под знаком интеграла (см. примеры 3, 4). |
;
;
,
,
;
;
,
,
;
;
;
,
;
,
;
.