ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПОГРЕШНОСТЕЙ) ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ. Неопределенностей (погрешностей)при физических измеренияхфизические величины и их измерения
 Скачать 213.44 Kb.
|
|
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПОГРЕШНОСТЕЙ) ПРИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЯХ ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЯ Измерить физическую величину – это значит сопоставить её тем или иным способом с другой, однородной с нею физической величиной, принимаемой за единицу. Результатом измерения является числовое значение физической величины формула А = хВ устанавливает связь измеряемой физической величины А, её числового значениях и единицы измерения В. Измерения физических величин можно разделить на два различных типа: прямые и косвенные. Прямыми измерения являются тогда, когда измеряется сама исследуемая физическая величина непосредственно каким-либо инструментом или прибором линейкой, штангенциркулем, весами, секундомером, амперметром, вольт- метром. Под косвенными измерениями понимают такие измерения, при которых искомые значения физической величины находят на основании зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, для того чтобы определить площадь круга, требуется измерить его диаметр и рассчитать площадь по формуле 4 Всякое прямое измерение неизбежно сопровождается неопределенностью (погрешностью), и поэтому числовые значения физической величины надо рассматривать как приближенные. Приступая к измерению какой-либо физической величины надо определить, какие требования следует предъявлять к его точности. При этом следует иметь ввиду, что излишние требования к точности измерений неоправданно увеличивают их стоимость, так как требуют более дорогой аппаратуры и более тщательных измерительных процедур. Методы оценки точности измерений даются математической теорией, называемой теорией неопределенностей (погрешностей). ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ (ПОГРЕШНОСТЕЙ). ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ Так как ни одна физическая величина принципиально не может быть измерена абсолютно точно, то истинное х ист и измеренное х изм значения величины не равны. Модуль разности между измеренными истинным значением физической величины называется абсолютной неопределенностью (погрешностью) измере- ния. изм ист х x х . (Абсолютная неопределенность (погрешность) имеет туже размерность, что и измеряемая величина. Величина абсолютной неопределенности (погрешности) ещё не дает возможности охарактеризовать качество выполненного измерения. Так, при измерениях времени t 1 = 28,6 си с, проведенных с погрешностью 0,2 с, второе измерение следует считать значительно более грубым, так как здесь ошибка может составлять 25%, тогда как в первом она меньше 1%. Следовательно, качество измерения определяется не только абсолютной неопределенностью (погрешностью, но и значением самой величины. Мерой качества точности результатов измерений является относительная неопределенность (погрешность). Относительной неопределенностью (погрешностью) называется отношение абсолютной неопределенности (погрешности) к модулю измеряемого значения величины х | х | х изм . (2) 3 Относительную неопределенность (погрешность) часто выражают в процентах, тогда: 100 | х | х изм %. (Если диапазон измерения прибора охватывает и нулевое значение измеряемой величины, что относительная неопределенность (погрешность) обращается в бесконечность в этой точке шкалы. Поэтому часто пользуются понятием приведенной неопределенности (погрешности. Она равна отношению абсолютной неопределенности (погрешности) к предельному значению величины, то есть наибольшему ее значению, которое можно измерить по используемой шкале прибора. Задача теории неопределенностей (погрешностей) – оценка абсолютной и относительной (или приведенной) неопределенностей (погрешностей) измерений. Так как способы оценки точности измерений оказываются принципиально различными для прямых и косвенных измерений, то необходимо рассматривать отдельно методы их отыскания. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ Если произвести прямое измерение какой-либо физической величины один раз, то о точности измерений вообще ничего нельзя сказать. Результат измерения может считаться надежным только в том случае, если измерение повторено несколько раз при одинаковых условиях и отдельные значения различаются не очень сильно. Измерив многократно какую-либо физическую величину, можно убедиться, что результаты не совпадают, а отличаются друг от друга в большую или меньшую сторону. Данный факт объясняется тем, что на результат каждого измерения может влиять одновременно множество различных причин. В зависимости от характера этих причин неопределенности (погрешности) при прямых измерениях делятся на 3 группы 1. Систематические неопределенности (погрешности. Грубые неопределенности (погрешности) (промахи. Случайные неопределенности (погрешности). ГРУБЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) ИЗМЕРЕНИЯ (ПРОМАХИ) Грубые неопределенности (погрешности) возникают вследствие нарушения основных условий измерения или в результате недосмотра (грубой ошибки) экспериментатора. Внешним признаком промаха является его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений. Заметив такой результат, его следует отбросить и не учитывать в расчетах. СЛУЧАЙНЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) Случайными погрешностями прямых измерений называют составляющие неопределенности (погрешности, изменяющиеся случайным образом при повторных прямых измерениях одной и той же величины прибором высокой чувствительности. Возникают они вследствие множества мелких причин. Такими причинами могут оказаться, к примеру, незначительные колебания температуры различных деталей и узлов установки, скачки напряжения, вибрации, турбулентные движения воздуха, трение в механизмах, ошибки считывания показаний приборов и т.п. Единственно возможный способ объективного учета случайных неопределенностей (погрешностей) состоит в определении их статистических закономерностей, проявляющихся в результатах многократных измерений. Рассчитанные статистические оценки вносят в окончательный результат измерения. Пусть в результате измерения некоторой физической величины ист х получен ряд значений х, х, х 3 …х n общее число которых равно n. В этом случае, как 5 показывает теория, наиболее правильным принять за результат среднее арифметическое из всех частных значений: N i i n ср изм x n n x x x x х х 1 3 2 Насколько велика абсолютная неопределенность (погрешность) х, то есть насколько близки значения изм х и ср х , зависит от разброса измеряемых значений i х относительно ср х , а также от числа измерений n. При этом теория может предсказать лишь вероятность того или иного значения величины х Расчет абсолютной неопределенности (погрешности) может быть сделан с помощью статистического метода. Важнейшим результатом его применения является вывод о том, что абсолютные неопределенности (погрешности) частных измерений, будучи вполне независимыми друг от друга и случайными каждая сама по себе, в своем множестве подчиняется вполне определенной закономерности, называемой законом статистического распределения или законом нормального распределения (законом Гаусса. Смысл этого закона заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой х. Используя какой-нибудь прибор, мы n раз пытаемся определить эту величину, но из-за случайных неопределенностей (погрешностей, возникающих в процессе измерения, вместо х получаем набор значений х, х 2 …,х i , х n Оказывается, что с помощью закона распределения мы хотя и не можем точно указать, чему равно х, но можем найти, с какой вероятностью Р величинах окажется в интервале значений в х а 0 . Вероятность того, что х имеет данное значение называется доверительной вероятностью (надежностью, а интервал значений ( х х ) до ( х х ) называется доверительным интервалом, то есть область значений в х а 0 – это доверительный интервал. Например, если говорится, что доверительной вероятностью 0,95 доверительный интервал при измерении напряжения равен 0,1 В, а измеренное напряжение изм U оказалось равным 20 В, то мы можем сказать, что с надежностью 0,95, то есть в 95 6 случаях из 100 истинное значение напряжения находится в диапазоне В, то есть где то между 19,9 В и 20,1 В. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией распределения 2 2 2 2 1 ср i x x exp x f (и равна в х а P 0 = b a dx x f . (Здесь х – набор значений, которые мы получаем в результате экспериментах – среднее арифметическое, вычисленное по формуле (4); s – величина, характеризующая метод измерения, она называется средним квадратичным отклонением. Величина s 2 называется дисперсией 1 2 n ) x x ( s n i ср i (Представив зависимость (5) графически для трех разных значений s (s 1 >s 2 >s 3 ), получим характерную колоколообразную кривую, называемую кривой нормального распределения Рис. 1 7 Из рисунка видно, что с ростом s увеличивается рассеяние результатов наблюдений, вероятность больших случайных неопределенностей (погрешностей) возрастает, а малых – уменьшается. Вероятность попадания в интервал в х а 0 графически изображается площадью соответствующей криволинейной трапеции под кривой распределения вероятностей. Величина s связана с чувствительностью метода измерений и как видно из графика характеризует ширину кривой – степень разброса неопределенно- стей (погрешностей). Важнейшим следствием теории неопределенностей (погрешностей) является то, что независимо от числа измерений, средняя квадратичная неопределенность (погрешность) ряда, вычисляемая по формуле (7), выразится одними тем же числом. Именно поэтому данная величина может характеризовать метод измерения. Как видно из рис, гауссова кривая характеризуется двумя параметрами положением вершины х ср и шириной 2 s – расстоянием между точками изгиба. Значение х ср обычно и принимают за ту величину, которую надо было измерить, а s характеризует степень влияния случайных неопределенностей (погрешностей) на результаты измерения. Обработка результатов серии измерений сводится к возможно более точному нахождению параметров гауссовой кривой х ср и s. Может показаться, что если произвести большое число измерений, то эти параметры можно определить со сколь угодно высокой точностью и, следовательно, можно в пределах одной методики измерений получить сколь угодно близкое к истинному численное значение измеряемой величины. Однако это не так. Следует ещё раз подчеркнуть, что х ср – это не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в этот интервал. Так вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой х ср не более чем на s равна 0,683, 8 то есть результат измерения с вероятностью 68% попадает в интервал следовательно, примерно каждое третье измерение даст результат за пределами этого интервала не более чем на 2s – 0,955, не более чем на 3s – то есть для интервала 3 только один из трехсот результатов окажется за пределами этого интервала. Значит, интервал s 3 является почти достоверным, так как подавляющее большинство отдельных результатов многократного измерения случайной величины оказывается сосредоточенным именно в нем. Часто используемое при измерениях правило s 3 , или правило трех стандартов основано на свойствах нормального распределения. При обработке результатов лабораторных работ рекомендуется применять доверительную вероятность = 0.68. – это принятый в мировой практике уровень доверительной вероятности, который не оговаривают специально. Мера s, то есть приближение измеренного значения величины х ср к истинному значению х определяется физической сущностью измеряемой величины, а также физическими и конструктивными принципами, заложенными в методику измерений. Эти принципы в рамках данной методики не зависят от экспериментатора, следовательно, бесконечное увеличение числа измерений не дает заметного увеличения точности. Зависимость достоверности результатов от числа измерений сложна и не выражается в элементарных функциях. Существуют специальные таблицы (таблицы коэффициентов Стьюдента), по которым можно определить во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую надежность. За стандартный принимается доверительный интервал ср x S n , P t x . (Здесь х числовое значение величины, получаемое при стандартном измерении число измерений ) n ( n ) x x ( x S n i ср i ср 1 1 2 (9) 9 – среднее квадратичное отклонение (СКО) результата серии из n измерений от среднего арифметического значения (х ср ). В международных стандартах СКО обозначается термином стандартная неопределенность. Порядок обработки результатов измерений в этом случае должен быть следующим выполнив n измерений и записав их результаты в таблицу, вычисляют среднее арифметическое значение измеряемой величины х ср . Затем по формуле (9) вычисляют хи находят по таблице коэффициент Стьюдента ) , ( n P в зависимости от требуемой надежности и числа изменений Результат записывают в виде x ср S ) n , P ( t х х Это означает, что истинное значение измеряемой величины находится винтер- вале x х ; x х ср ср с вероятностью (надежностью) Наиболее важными в практическом отношении являются следующие выводы из теории неопределенностей (погрешностей. Абсолютная случайная неопределенность (погрешность) одиночного результата прямого измерениях, выбранного случайным образом из ряда повторных наблюдений не может превышать s 3 , т.е. n i i ср ср x x n x 1 2 ) ( 1 1 3 . (10) 2. Предельное значение ошибки среднего из всех повторных наблюдений равно n i i ср ср x x n n x 1 2 ) ( ) 1 ( 1 3 . (Из сравнения формул (9) и (10) следует, что случайная неопределенность (погрешность) среднего результата в n меньше неопределенности (погрешности) одиночного наблюдения, следовательно, для улучшения точности результата желательно проводить большее число наблюдений. Таблица 1 10 Значение коэффициентов Стьюдента n p t , p n 0.7 0.8 0.9 0.95 0.98 0.99 0.999 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 100 1.3 1.3 1.2 1.2 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.0 1.0 1.9 1.6 1.5 1.5 1.4 1.4 1.4 1.4 1.3 1.3 1.3 6.31 2.92 2.35 2.13 2.02 1.94 1.90 1.86 1.83 1.7 1.7 1.6 12.71 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45 2.36 2.31 2.26 2.0 2.0 2.0 31.82 6.69 4.54 3.75 3.36 3.14 3.00 2.90 2.82 63.66 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 2.7 2.6 2.6 636.62 31.60 12.94 8.61 6.86 5.96 5.40 5.04 СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) Систематической называется неопределенность (погрешность, которая остаётся постоянной на протяжении одной серии экспериментов. Когда изучается какое-либо явление, то обязательно приходится выделять главные факторы и опускать второстепенные, так как иначе из-за большой сложности не удалось бы разобраться в основном явлении. Пренебрежение ка- кими-либо явлениями, различные упрощения, а также факторы, о существовании которых экспериментатор просто не знает, приводят к систематическим ошибкам. Например, если после измерений обнаружена неправильная регулировка прибора, которая привела к смещению начала отсчета, то все снятые показания будут смещены. Такие систематические неопределенности (погрешности) исключаются периодической калибровкой (проверкой) прибора. Другими примерами систематической ошибки могут быть изменения внешних условий, таких как температура, влажность или несовершенство измерительных приборов. Правильно учесть систематические ошибки – значит понять что именно измеряется, те. какое отношение имеет результат измерения к величине, которую надо измерить. Важно уметь выделить изученное явление на фоне побочных Классическим примером точного проведения эксперимента с учетом большинства возможных ошибок являются опыты Л.Н.Лебедева по определению давления света. Систематическая ошибка либо занижает, либо завышает значение измеренной величины, причем увеличением числа измерений нельзя исключить систематическую неопределенность (погрешность. Чтобы оценить величину систематической ошибки и ввести необходимые поправки приходится делать дополнительные измерения, например, измерять силы трения, массы нитей и блоков и решать сложные системы уравнений, в которых учитываются все факторы. В зависимости от причин возникновения выделим три вида систематических неопределенностей (погрешностей, которые не устраняются проверкой прибора и должны учитываться при оценке неопределенности (погрешности) измерений. 1. Неопределенности (погрешности) метода или теоретические неопределенности (погрешности, проистекающие от ошибочности или недостаточной разработки принятого метода измерений в целом или от допущенных упрощений при проведении измерений. Например, считая диаметр вала с эллиптическим сечением равным результату, полученному при измерении водном сечении ив одном направлении, мы допускаем систематическую неопределенность (погрешность, определяемую отличием формы исследуемого вала от круговой. Инструментальные неопределенности (погрешности, зависящие от неопределенностей (погрешностей) применяемых средств измерений. Неопределенности (погрешности, обусловленные неправильной установкой и взаимным расположением средств измерения, например шкалы указателей, несогласованностью их характеристик, установкой некоторых измерительных приборов без помощи отвеса или уровня и т.д. Обычно анализ систематической погрешности выполняют разработчики средства или метода измерений ив соответствующем описании приводят формулы для ее расчета. С учетом этой погрешности выбирается цена деления при- бора. ПРИБОРНЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) Возникновение приборных неопределенностей (погрешностей) обусловлено свойствами используемых измерительных приборов. В паспорте прибора указывают предел допустимой неопределенности (погрешности) , означающей максимально возможную неопределенность (погрешность) при рекомендованных условиях работы прибора. Если бы приборная неопределенность (погрешность) была распределения по нормальному закону, то из такого определения пр следовало бы, что распределение характеризуется средним квадратичным отклонением 3 пр пр s . (Для электроизмерительных стрелочных приборов принято указывать класс точности. Класс точности определяется приведенной неопределенность (погрешностью) прибора. Электроизмерительные приборы делятся на несколько классов точности 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,8; 2,5; 4,0. Класс точности обозначается на лицевой стороне прибора. За класс точности приближенно можно принять наибольшее значение приведенной неопределенности (погрешности, соответствующее максимальной абсолютной неопределенности (погрешности, допустимое данным прибором. Приведенной неопределенность (погрешностью) называется отношение абсолютной неопределенности (погрешности) измерительного прибора к верхнему пределу измерений данного прибора. Приведенная неопределенность (погрешность) необходима в том случае, если диапазон измерения прибора охватывает и нулевое значение измеряемой величины, так как в этом случае относительная неопределенность (погрешность) обращается в бесконечность. 13 Зная класс точности можно найти набольшую абсолютную неопределенность (погрешность) средства измерения. (13) Например, класс точности 0,5 означает, что систематическая неопределенность (погрешность) равна 0,5% от максимального значения шкалы. При отклонении стрелки наполовину шкалы относительная неопределенность (погрешность) возрастает в 2 раза при отклонении на треть шкалы – в три раза и т.д. Поэтому для измерений с меньшей относительной неопределенность погрешностью) надо выбирать такой диапазон измерительного прибора, чтобы измеряемая величина вызывала отклонение стрелки прибора более чем наполовину шкалы. Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с неопределенность (погрешностью) самого прибора. Если класс точности используемого прибора неизвестен, то за неопределенность (погрешность) прибора всегда принимают половину цены его наименьшего деления. В случае работы с линейками, шкалами других приборов, осциллографами за неопределенность (погрешность) прибора также принимают половину цены его наименьшего деления. Предел неопределенности (погрешности) цифрового измерительного прибора рассчитывают по паспортным данным, содержащим формулу для расчета неопределенности (погрешности) именно данного прибора. При отсутствии паспорта за оценку неопределенности (погрешности) прибора принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора. Так при показаниях на индикаторе мА неопределенность (погрешность) миллиамперметра оценивают как 0,001 мА. Граница доверительного интервала определяемая систематическими ошибками, определяется по формуле: 3 t x пр , (14) 14 где t ∞ – коэффициент Стьюдента при n = Суммарная неопределенность (погрешность) Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, таки приборную неопределенности (погрешности. Случайная неопределенность (погрешность) уменьшается с увеличением количества отдельных измерений, а приборная неопределенность (погрешность) не меняется, оставаясь в пределах . При выполнении многократного измерения желательно получить столько отдельных измерений, сколько необходимо для того, чтобы случайная неопределенность (погрешность) была заметно меньше приборной. В таком случае неопределенность (погрешность) окончательного результата будет в основном определена лишь приборной неопределенностью (погрешностью). Однако часто встречается ситуация, когда случайная и приборная неопределенности (погрешности) близки по значению и поэтому обе влияют на окончательный результат. Тогда их необходимо учитывать совместно ив общем случае за суммарную неопределенность (погрешность) принимают величину х, равную 2 ) x ( ) х ( х приб случ . (Поскольку случайную неопределенность (погрешность) обычно оценивают с доверительной вероятностью P = 0.68, а – оценка максимальной неопределенности (погрешности) прибора, то можно считать, что выражение (15) задает доверительный интервал с вероятностью не меньшей 0.68. При выполнении однократного измерения оценкой неопределенности (погрешности) результата служит значение х, учитывающее только предельно допустимую приборную неопределенность (погрешность). При обработке прямых измерений предлагается следующий порядок операций: 15 1. Если одно или два измерения резко отличаются по своему значению от остальных значений, то следует проверить, не является ли оно промахом. Если да – то исключить его. Результаты каждого измерения заносятся в таблицу. Вычисляется среднее значение из n измерений n i i ср имз x n х х 1 1 4. Находятся неопределенности (погрешности) отдельных измерений i ср i х x x 5. Вычисляются квадраты неопределенностей (погрешностей) отдельных измерений 2 ) ( i x 6. Определяется средняя квадратичная неопределенность (погрешность) результатом серии измерений по формуле (9). 7. Задается значение надежности P. 8. Определяется коэффициент Стьюдента n p t , для заданных надежности и числа произведенных измерений n. 9. Находятся границы доверительного интервала Если величина неопределенности (погрешности) результата измерений (определяемая в пункте 9) окажется сравнимой с величиной неопределенности (погрешности) прибора, тов качестве абсолютной неопределенности (погрешности) измерения следует взять величину, рассчитываемую по формуле 2 2 ) s ( ) х ( х приб случ . (ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ При косвенных измерениях измеряемая величина f находится не непосредственно, а рассчитывается по некоторой формуле f = (х, y, z), где х, y, z – величины, значения которых определяются измерениями либо берутся из таблиц (заряд электрона, скорость света в вакууме Неопределенность (погрешность) косвенных измерений величины f зависит от неопределенностей (погрешностей) величин хите. от х, Δy, Для оценки результатов косвенных измерений величины f будем полагать, что неопределенности (погрешности) хне зависят друг от друга. При косвенных измерениях значение измеренной величины находят по формуле ) z , y , x ( f f f ср ср ср ср изм , (где ср ср ср z , y , x – средние значения величин х, y, Неопределенность (погрешность) измерения величины f, возникающая только из-за погрешности величины х только из-за погрешности величины y: y f f y y ; только из-за погрешности величины z: Здесь z y x f , f , f – частные производные функции f(х,y,z…)по аргументам х, Среднее квадратичное отклонение совместного распределения, вычисляемое как корень из дисперсии, следует находить следующим образом 2 2 2 2 2 2 2 2 z f y f x f f f f f z y x z y x . (Это выражение имеет общий характер и его можно использовать для оце- нивания погрешности косвенного измерения, выполненного при любом виде функции х, y, z…). Однако следует твердо помнить, что при непосредственных расчетах в (19) необходимо подставлять погрешности х, Δy, Δz…, найденные для одного итого же значения доверительной вероятности. Погрешность косвенного измерения f также будет соответствовать этому значению доверительной вероятности. Рекомендуется использовать значение вероятности 0,68. Применяя формулу (19) можно установить функциональную связь между погрешностями (неопределенностями) прямых измерений и неопределенностью косвенного измерения. Некоторые примеры такой связи приведены в таблице 2. 17 Таблица Рабочая формула Формула погрешности z C y B x A f 2 2 2 z C y B x A f z y x A f 2 2 2 z y x f x ln f x x f Относительная неопределенность при косвенных измерениях рассчитывается по формуле 2 2 z z fz ln y y fy ln x x fx ln . (Формулу (19) применяют в тех случаях, когда в формулу (18) измеряемые величины входят, в основном, в виде слагаемых, а формула (20) используется когда в правой части (18) оказывается произведение. Учитывая связь между доверительным интервалом и относительной неопределенностью (21) зная одно легко найти другое. Затем определяется доверительный интервал по формуле: ср f f . (Окончательный результат следует представить в стандартной форме . f f ; f f ср ср УЧЕТ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ (ПОГРЕШНОСТИ) В ЗАПИСИ ОКОНЧАТЕЛЬНОГО РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ Завершением обработки данных измерения при заданной доверительной вероятности являются два числа среднее значение измеренной величины и его неопределенность (погрешность. Оба числа есть окончательный результат многократного измерения и должны быть записаны в стандартной форме х х х ср , которая должна содержать только достоверные, то есть надежно измеренные цифры этих чисел. Заблуждением было бы полагать, что высокая точность вычислений при обработке данных может способствовать получению более точного результата измерения. Например, компьютер может выдать с десяток ненулевых цифр среднего и неопределенности (погрешности, но всели они будут достоверными Ведь обработка данных, какой бы сложной и трудоемкой она ни была, является вторичной по отношению к природе изучаемого объекта и процессу измерения. В окончательных числовых значениях это следует учитывать, что и делают путем их округления. Необходимость округления есть простое следствие неопределенности при оценивании окончательных результатов, находимых поданным эксперимента. Ограниченное количество измерений вносит неопределенность как в среднее значение, таки в неопределенность (погрешность. В математической статистике показано, что при числе изменений n = 10 относительная погрешность оце- нивания может достигать 30%. Понятно, что тогда теряет смысл приводить в неопределенности (погрешности) лишние цифры, которые окажутся заведомо ненадежными. Правда, при выполнении промежуточных расчетов полезно иметь одну или две дополнительные цифры, которые понадобятся в процессе округления. ВЫЧИСЛЕНИЯ С ПРИБЛИЖЕННЫМИ ЧИСЛАМИ Точность результата математических операций с приближенными числами определяется количеством значащих цифр в этих числах. Округление надо производить следующим образом 1) при сложении и вычитании все слагаемые округляются до цифры стоящей в самом высшем разряде какого-то из слагаемых, а затем производят сложение: . , , , , , , , , , , , х 04 5 04 0 07 0 94 0 85 0 14 3 0383 0 0746 0 936 0 847 0 14 3 2) приумножении и делении в полученном результате будет столько значащих цифр, сколько в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр 2 3 62 0358 0 3 62 035835 0 , , , , , х Здесь предварительно следует округлять все числа, оставляя одну запасную) при возведении в степень и извлечении корня у приближенного числа должно быть оставлено значащих цифр столько, сколько их в основании 84 , 2 х х) при логарифмировании в мантиссе приближенного числа берется столько значащих цифр, сколько их в логарифмируемом числе 2 0 10 , , ln х ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ОКРУГЛЕНИЯ Выполнить предварительную запись окончательного результата измерения в виде х х х ср и вынести за общую скобку одинаковые порядки среднего и неопределенности (погрешности, те. множитель вида 10 k , где k – целое число. Числа в скобках переписать в десятичном виде с использованием запятой, убрав тем самым оставшиеся порядковые множители. Пример. Округлить в скобках число, соответствующее неопределенности (погрешности до одной значащей (ненулевой) цифры слева, если эта цифра больше 2, или до двух первых цифр в противном случае. При округлении используют правило если цифра, расположенная за оставляемой, меньше 5, то ее просто отбрасывают, Если больше иначе оставляемую цифру увеличивают на единицу. Если же отбрасываемая цифра равна 5, то наименьшая ошибка достигается при округлении по правилу Гаусса до ближайшего четного числа. К примеру округляют до 4, в то время как 3,5 также округляют до 4. Например если 11 0 112 0 , , x , те. оставляем 2 цифры, а если 2) 4 0 383 0 , , x , то одна цифра. Округлить в скобках число, соответствующее среднему значению последними справа оставляют цифры тех разрядов, которые сохранились в погрешности после ее округления. Например если х = 348,745 мм, ах мм, то х следует округлить х ср = 348,75 мм. Окончательно записать х х х ср с учетом выполненных округлений. Общий порядок и единицы измерения величины приводят за скобками, либо в виде х x х x ср ср Например: если х ср = 348,75 мм, ах мм, то х = (348,75 0,04) мм = (34875 4) 10 -2 мм или х = (34871; 34879) мм. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Часто приходится производить измерения с целью исследования характера зависимости между какими-либо физическими величинами. В результате получают таблицу чисел, состоящую из ряда парных значений, где с каждым выбранным при измерении значением одной величины х (аргумента) оказывается сопоставленным значение второй величины у (функции от х). Для того, чтобы составить представление о характере функциональной зависимости между измеренными величинами, можно пользоваться либо аналитическими, либо графическими методами обработки результатов. Чаще всего графический метод является более простыми наглядными его применение дает в большинстве случаев достаточные для практических целей результаты. В основе графического метода лежит график – кривая, выражающая зависимость между двумя переменными величинами. При построении графиков следует руководствоваться следующими правилами. Для построения графиков лучше всего использовать миллиметровую бумагу. По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают значение независимой переменной – аргумента, по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависящую от аргумента. На осях графика следует указать символ величины и её единицы. Следует правильно выбрать масштаб и интервал величин при разметке осей. Выбор числовых значений масштаба для обеих осей произволен, но эти значения следует согласовывать так, чтобы пределы измерений обоих величин ограничивали на осях отрезки примерно равной длины, охватывающей на осях большую часть ее длины на графике. Иначе график окажется сжатым по одной из осей, и измерения по нему будут сопряжены с большой неопределенность (погрешностью). Если изменение изображаемых величин (или одной из них) невелико по сравнению со значением самих величин, тонет смысла помещать отметки нулевых значений этих величин в начало координат неверно правильно. Экспериментальные данные наносятся на график хорошо выделяющимися точками. Если строятся несколько кривых – используются различные значки – крестики, кружочки и т.д. 6. Проводимая экспериментальная кривая должна быть плавной, проходить так, чтобы по обе стороны её оказывалось приблизительно одинаковое количество точек неверно правильно При построении графика следует учесть, что положение точки, отмеченной на графике, не является абсолютно точным – её можно нанести ниже или выше, правее или левее настолько, насколько изображаемые её величины могут вследствие неопределенности (погрешности) уклоняться от измеренного значения в выбранном масштабе. Чтобы получить представление о том, насколько значительным может быть уклонение точки от её истинного положения, следует построить прямоугольник абсолютных неопределенностей (погрешностей), стороны которого параллельны осями равны в выбранном масштабе хи у. Располагать прямоугольник надо так, чтобы пересечение диагоналей совпадало с отметкой экспериментальной точки, к которой относятся неопределенности (погрешности) хи у Далее надо построить уже не кривую, а область значений хи у можно выполнить ряд измерительных и вычислительных операций. Исходя из графика, можно сделать заключение о теоретической связи между у и х. Литература 1. Миллер А.М. Механика и молекулярная физика. Пособие по лабораторным работам. – Л, 1971. 2. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. М, 1971. 3. Тюрин НИ. Введение в метрологию. – М, 1985. 4. Кассандрова ОН, Лебедев В.В. Обработка результатов наблюдений. – М. Обработка экспериментальных данных в физическом практикуме. Методические указания. – Л СЗПИ, 1985. 6. Деденко Л.Г., Керженцев В.В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. – Издательство Московского Университета. 1977. 7. Шишкин И.Ф. Качество и единство измерений. – Л, 1982. 8. Руководство по выражению неопределенности измерения. – С-Пб., 1999. 25 |