Нестац_теплопроводность. Нестационарная теплопроводность с источником теплоты. Нестационарная теплопроводность с источником теплоты Рассматривается
 Скачать 234.3 Kb.
|
|
Нестационарная теплопроводность с источником теплоты Рассматривается задача о динамике теплопроводности с источником теплоты в заданной области. Необходимо найти распределение температур в области, сравнить со стационарным распределением. Модель реализуется в программном пакете FreeFem++. Заданная область:  Параметры области: W = 30кВт/м2 мощность источника ta = 25 C температура окруж среды mu = 16 m2/s температуропроводность Нестационарное уравнение теплопроводности, описывающее изменение температуры u(x,y,t) с течением времени, имеет вид:  Для простоты рассматриваем случай, когда на границе области заданы граничные условия первого рода.  Начальное распределение температуры удовлетворяет краевым условиям в начальный момент времени. Тогда вариационную формулировку для этой задачи можно записать в FreeFem++ как: // начальное распределение func h = 25; // внешние источники мощности тепла func f = 30; // функции для граничных условий func g11 = 25; func g22 = 25; func g33 = 25; func g44 = 25; func g55 = 25; func g66 = 25; // слабая (вариационная) формулировка problem Heat(u,v) = int2d(Th)( u * v + mu*dt*(dx(u)*dx(v) + dy(u)*dy(v)) ) - int2d(Th)( (uOld + dt * f) * v ) + on( g1, u = g11 ) + on( g2, u = g22) + on( g3, u = g33 ) + on( g4, u = g44 ) + on( g5, u = g55 ) + on( g6, u = g66 ) Результаты  Распределение температуры в начальный момент времени t =0  Распределение температуры в момент времени t = 0.5 с  Распределение температуры в момент времени t = 3 секунды  Распределение температуры в момент времени t = 12 секунд   Распределение в момент времени t = 24 сек(вверху), стационарное распределение(внизу). Вывод: Таким образом, мы изучили методы численного решения задачи теплопроводности с источником теплоты и получили результаты в программном пакете FreeFem++. Как видно из изображений, стационарное распределение наблюдается на 24 секунде. Листинг – Программа «Нестационарное распределение теплопроводности» real t, dt; real mu = 16; int k = 0; border g1(t=0,pi/2){x=30*cos(t);y=30*sin(t);}//Граница g1 border g2(t=pi/2,pi){x=30*cos(t);y=30*sin(t);} //Граница g2 border g3(t=-30,-15){x=t;y=-t-30;} //Граница g3 border g4(t=-15,15){x=t;y=-15;} //Граница g4 border g5(t=15,30){x=t;y=t-30;} //Граница g5 border g6(t=0,2*pi){x=8*cos(t);y=8*sin(t);} //Граница g6 // ñòðîèì ñåòêó, íà êàæäîé ãðàíèöå ïî 5*n-óçëîâ mesh Th = buildmesh(g1(10)+g2(10)+g3(10)+g4(10) +g5(10)+g6(-20)); fespace Vh(Th, P2); // èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ: u=u(x,y,(m+1)*dt), uOld=u(x,y,m*dt) Vh u, v, uOld; // îïðåäåëÿåì ôóíêöèþ -- íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå func h = 25; // îïðåäåëÿåì ôóíêöèþ -- ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ func f = 30; // îïðåäåëÿåì ôóíêöèè äëÿ çàäàíèÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé func g11 = 25; func g22 = 25; func g33 = 25; func g44 = 25; func g55 = 25; func g66 = 25; problem Heat(u,v) = int2d(Th)( u * v + mu*dt*(dx(u)*dx(v) + dy(u)*dy(v)) ) - int2d(Th)( (uOld + dt * f) * v ) + on( g1, u = g11 ) + on( g2, u = g22) + on( g3, u = g33 ) + on( g4, u = g44 ) + on( g5, u = g55 ) + on( g6, u = g66 ) ; t = 0; dt = 0.1; uOld = h; for (int m=0; m<240; m++) { t = t + dt; k = k+1; Heat; // âûçîâ ïðîöåäóðû uOld = u; if (k==10) { k = 0; plot(u,fill = 1,value =1); } plot(u, fill=1, value=1); } |