Теория вероятностей и мат статистика. Теория вероятностей контрольн. Нормальное распределение 3 Задача Тема Интервальные оценки 3
 Скачать 55.4 Kb.
|
|
Оглавление Задача 1. Тема: «Нормальное распределение» 3 Задача 2. Тема: «Интервальные оценки» 3 Задача 3. Тема: «Проверка статистических гипотез» 4 Задача 4. Тема: «Критерий согласия Пирсона» 5 Задача 5. Тема: «Ранговая корреляция» 6 Задача 6. Тема: «Линейная корреляция и регрессия» 7 Задача 1. Тема: «Нормальное распределение» Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у автомобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклонением 16 мес. Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько месяцев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, чтобы число бесплатных ремонтов не превышало 2,275% проданных автомобилей? Решение Дано  Срок службы должен оказаться в интервале  при условии  Вероятность попадания величины X в заданный интервал   , где Ф – интегральная функция ЛапласаИмеем:   Ответ:число бесплатных ремонтов не превысит 2,275% проданных автомобилей при условии, что производитель даст гарантию на коробку передач на срок 24 месяца. Задача 2. Тема: «Интервальные оценки» С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени просмотра передач составило 40 мин., а отклонение выборочной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 мин. с вероятностью 0,9? Решение По условию:  Для определения объема повторной выборки, необходимого для того, чтобы гарантировать определенную точность оценки генеральной средней, задаваемую предельной ошибкой выборки , при заданной надежности , используем формулу:  По условию задачи доверительная вероятность равна  , что соответствует  , Таким образом, объем повторной выборки приблизительно будет равен:  Учитывая, что необходимо не превышать заданную ошибку, округляем результат до большего целого:  Итак, чтобы с вероятностью 0,9 и точностью  минут оценить среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 час., требуется обследовать не менее 174 абонентов.Задача 3. Тема: «Проверка статистических гипотез» Компания по производству безалкогольных напитков предполагает выпустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70% ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напиток был предложен на пробу 2000 человек, и 1422 из них сказали, что он вкуснее старого. Может ли компания отклонить предположение о том, что только 70% всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Уровень значимости 0,01. Решение Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная генеральная доля точно равна числовому значению. Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условиям задачи.  только 70% потребителей предпочтут новую модификацию напитка новый напиток предпочтут более 70% потребителей. Критическая область - правосторонняя Вычислим наблюдаемое значение статистики K по формуле:  где  относительная частота появления события; гипотетическая вероятность появления события; гипотетическая вероятность непоявления события; объем выборки.При заданных значениях:   По таблице функции Лапласа найдем критическую точку для правосторонней критической области (при гипотезе  по уровню значимости  :  откуда  Так как  , следовательно, на данном уровне значимости нет оснований отклонять нулевую гипотезу в пользу конкурирующей. По данным проверки с более чем 99%-ной надежностью компания не может отклонить предположение о том, что только 70 процентов всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой.Задача 4. Тема: «Критерий согласия Пирсона» С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости α = 0,05 выяснить, можно ли считать случайную величину X, заданную в виде сгруппированного статистического ряда, нормально распределенной с параметрами  и , рассчитанными по выборке.
Решение Для нахождения характеристик выборки от заданного интервального распределения признака X перейдем к дискретному распределению, выбирая в качестве значений признака  серединычастичных интервалов. Для удобства дальнейших расчетов заполним таблицу:
Выборочная средняя  Выборочная исправленная дисперсия:  Выборочное исправленное с.к.о:  Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.  случайная величина X подчиняется нормальному закону с параметрами  истинные значения параметров не известны, используем их наилучшие оценки, рассчитанные по выборке. случайная величина X не подчиняется нормальному закону с данными параметрами.Используя данные интервального ряда и вычисленные значения  , по формуле  где   начало и конец  го интервала,  функция Лапласа, найдем слагаемые статистики Пирсона. Начало первого и конец последнего интервалов примем 
 Число степеней свободы:  где  количество параметров, оцененных по выборке Для уровня значимости  и  находим критическое значение  Так  то гипотезу о нормальном распределении Х принимаем.Задача 5. Тема: «Ранговая корреляция». По заданной таблице рангов найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить значимость полученного результата при α = 0.05. Десять спортсменов-бегунов проранжированы по двум признакам: X — рост спортсмена, Y — скорость бега.
Решение Составим матрицу рангов и найдем сумму квадратов разностей рангов 
Вычислим значение коэффициента Спирмена по формуле  По шкале Чеддока связь между ростом спортсмена и скоростью бега умеренная  и обратная  Для проверки значимости найденного значения  , выдвинем следующие статистические гипотезы:  Вычислим наблюдаемое значение статистики:   критическая точка двусторонней критической области, которую находим по таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости  и числу степеней свободы   Так как эмпирическое значение коэффициента корреляции Спирмена меньше критического:  нулевую гипотезу отвергаем: между ростом спортсмена и скоростью бега не существует значимой ранговой корреляционной связи. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена статистически незначим. Задача 6. Тема: «Линейная корреляция и регрессия». Исследуется связь между общим весом некоторого растения (Y, %) и весом его семян (X, г) на основе выборочных данных.
Построить диаграмму рассеяния и определить по ней характер зависимости. Рассчитать выборочный коэффициент корреляции Пирсона, проверить его значимость при α = 0.05. Записать уравнение регрессии и дать интерпретацию полученных результатов. Решение Факторный признак Y — общий вес растения; результирующий признак X — вес его семян. Построим диаграмму рассеяния, изобразив в прямоугольной системе координат точки с координатами, соответствующими каждой паре наблюдений   По виду диаграммы можно предположить, что существует линейная корреляционная связь между показателями. Оценим тесноту линейной корреляционной зависимости между признаками и составим выборочные уравнения прямой регрессии. Для удобства проведем все необходимые предварительные расчеты в таблице.
Рассчитаем числовые характеристики выборки, используя итоговую строку расчетной таблицы и учитывая, что объем выборки  .Выборочные средние:    Выборочные дисперсии:   Выборочные среднеквадратические отклонения:   Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:  Найдем уравнение линейной регрессии Y на X:  , вычислив параметры уравнения по формулам:   Найдем уравнение линейной регрессии X на Y:  , вычислив параметры уравнения по формулам:   Второй способ. Выборочное уравнение прямой регрессии Y на X и X на Y имеет вид:   )  Подставим полученные значения:  Окончательно получаем, что уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:  ауравнение прямой регрессии X на Y:  Коэффициент корреляции близок к единице, поэтому прямые регрессии на графике практически совпадают.  Коэффициент регрессии  показывает среднее изменение результативного показателя X (вес семян) с повышением или понижением величины фактора Y (общий вес растения). В данном примере с увеличением общего веса растения на 1 %, вес семян повышается в среднем на 0,4 г. Коэффициент  формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если  находится близко с выборочными значениями. Можно рассматривать коэффициент  как меру влияния на вес семян других факторов, не включенных в уравнение регрессии.Коэффициент корреляции  показывает, что зависимость между весом растения и весом семян прямая и весьма высокая по шкале Чеддока  Коэффициент детерминации  свидетельствует о том, что 98,5% различий в весе семян объясняется общим весом растения, а остальные 1,5% - влиянием других факторов.Так как регрессивный анализ зависимости между признаками проводится по выборочным данным, необходимо проверить значимость выборочного коэффициента корреляции. Выдвигаем нулевую гипотезу - величина коэффициента корреляции в генеральной совокупности равна нулю:  .Проверку нулевой гипотезы проводим с помощью критерия t – Стьюдента. Наблюдаемое значение критерия t находим по формуле:  По таблице Стьюдента с уровнем значимости и степенями свободы  , где  количество объясняющих переменных, находим критическое значение  Так как  , то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым. Нулевая гипотеза отвергается, коэффициент корреляции признается статистически значимым или существенно отличным от нуля в генеральной совокупности. Таким образом, общий вес растения оказывает статистически существенное влияние на вес семян. |
